2022年圆锥曲线经典教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案圆锥曲线1. 圆锥曲线的两个定义：（1）第肯定义中要重视“ 括号” 内的限制条件：椭圆中,与两个定点 F ,F 的距离的和等于常数,且此常数 肯定要大于,当常数等于 时,轨迹是线段 F F ,当常数小于时,无轨迹；双曲线中, 与两定点 F ,F 的距离的差的肯定值等于常数,且此常数 肯定要小于 |F F | ,定义中的“ 绝对值” 与|F F | 不行忽视；如|F F | ,就轨迹是以 F ,F 为端点的两条射线,如 |F F | ,就轨迹不存在；如去掉定义中的肯定值就轨迹仅表示双曲线的一支；比如：已知定点,在满意以下条件的平

2、面上动点P的轨迹中是椭圆的是A B D（答： C）；C方程表示的曲线是 _（答：双曲线的左支）（2）其次定义中要留意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“ 点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率；圆锥曲线的其次定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,对它们进行相互转化；要善于运用其次定义如已知点及抛物线上一动点 P（x,y ）, 就 y+|PQ| 的最小值是 _（答： 2）2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为 对称轴时的标准位置的方程） ：（1）椭圆：焦点在轴上时轴上时（）（参数方程,其中为参数） ,焦点在 1（）；方程表示椭圆的充要

3、条件是什么？（ABC 0,且 A,B,C同号,A B）；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案比如：已知方程表示椭圆,就的取值范畴为_（答：）；如,且,就的最大值是 _,的最小值是_（答：）轴上： =1 ,焦点在轴上：1（ 2）双曲线：焦点在（）；方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0,且 A,B 异号）；比如：双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,就该双曲线的方程 _（答：）；设中心在坐标原点,焦点、在坐标轴上,离心率 的双曲线 C过点,就 C的方程为 _（答：）（3）抛物线：开口向右时,开

4、口向左时,开口向上时,开口向下时；3. 圆锥曲线焦点位置的判定（第一化成标准方程,然后再判定）：（1）椭圆：由 , 分母的大小打算,焦点在分母大的坐标轴上；如已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆,就 m的取值范畴是_（答：,）项系数的正负打算, 焦点在系数为正的坐标轴上；（2）双曲线：由（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号打算开口方向；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案特殊提示：（1）在求解椭圆、 双曲线问题时, 第一要判定焦点位置, 焦点 F ,F 的位置,是椭圆、双曲线的定位条件

5、,它打算椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的外形和大小,是椭圆、双曲线的定形条件； 在求解抛物线问题时, 第一要判定开口方向；（2）在椭圆中,最大,在双曲线中,最大,；4. 圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：范畴：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴,一个对称中心（0,0 ）,四个顶点,其中长轴长为 2,短轴长为 2；准线：两条准线； 离心率：,椭圆, 越小,椭圆越圆；越大,椭圆越扁；比如：名师归纳总结 如椭圆的离心率,就的值是 _（答： 3 或）；第 3 页,共 12 页以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时,就椭圆长轴的最小值为

6、 _（答：）（2）双曲线（以（）为例）：范畴：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴,一个对称中心（0,0 ）,两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特殊地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：,双曲线,等轴双曲线,越小,开口越小,越大,开口越大；两条渐近线：；比如：双曲线的渐近线方程是,就该双曲线的离心率等于_（答：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 或）；名师精编优秀教案 双 曲 线 的 离 心 率 为,就= （答： 4 或）；设双曲线（a0,b0）中,离心率 e ,2, 就两条渐近线夹角 的取值范畴是 _

7、（答：）；（3）抛物线（以 为例）：范畴：；焦点：一个焦点,其中 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点（ 0,0 ）；准线：一条准线； 离心率：,抛物线；如设,就抛物线 的焦点坐标为 _（答：）；5、点 和椭圆（）的关系：（ 1）点 在椭圆外；（2）点 在椭圆上 1；（3）点 在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不肯定有 线相交且只有一个交点,故,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要名师归纳总结 条件；直线与抛物线相交, 但直线与抛物线相交不肯

8、定有,当直线第 4 页,共 12 页与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件；比如：如直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点, 就 k 的取值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 范畴是 _（答： -名师精编优秀教案,-1 ）；直线 ykx1=0 与椭圆恒有公共点,就m 的取值范畴是 _（答： 1 ,5）（ 5,+）；过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B 两点,如 AB 4,就这样的直线有 _条（答： 3）；（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛

9、物线相切；（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离；特殊提示：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交；假如直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交 , 但只有一个交点；假如直线与抛物线的轴平行时 , 直线与抛物线相交 , 也只有一个交点；（2）过双曲线1 外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情形如下： P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条； P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条；P

10、在两条渐近线上但非原点,只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线； P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线；比如：过点作直线与抛物线只有一个公共点, 这样的直线有 _（答： 2）；过点 0,2 与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范名师归纳总结 围为 _（答：）；第 5 页,共 12 页过双曲线的右焦点作直线交双曲线于 A、B两点,如4,就满意条件的直线有_条（答： 3）；对于抛物线 C：,我们称满意的点在抛物线的内部,如点在抛物线的内部,就直线：与抛物线 C的位- - - - - - -精选学

11、习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案置关系是 _（答：相离）；过抛物线,就的焦点作始终线交抛物线于P、Q两点,如线段 PF与FQ的长分别是、_（答： 1）；设双曲线的右焦点为,右准线为,设某直线交其左支、右支和右准线分别于,就和的大小关系为 _填大于、小于或等于 （答：等于）；求椭圆上的点到直线、的最短距离（答：）；直线与双曲线交于两点；当为何值时,、分别在双曲线的两支上？当 为何值时,以 AB为直径的圆过坐标原点？ （答：；）；7、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的运算方法：利用圆锥曲线的其次定义,转化到相应准线的距离,即焦半径,其中表示 P到与F

12、所对应的准线的距离；比如：已知椭圆上一点 P到椭圆左焦点的距离为3,就点 P 到右准线的距离为 _（答：）；,如抛物线上一点到轴的距离等于5,就它已知抛物线方程为到抛物线的焦点的距离等于_；的坐标为 _（答：如该抛物线上的点到焦点的距离是 4,就点）；点 P在椭圆 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,就点 P 的横坐标为 _（答：）；抛物线 上的两点 A、B到焦点的距离和是 5,就线段 AB的中点到 轴的距离为 _（答： 2）；名师归纳总结 椭圆内有一点,F 为右焦点,在椭圆上有一点M,使第 6 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

13、 名师精编 优秀教案之值最小,就点 M的坐标为 _（答：）；8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第肯定义和正弦、余弦定理求解；设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点 的距离分别为,焦点 的面积为,就在椭圆 中, ,且当 即 为短轴端点时,最大为；,当 即 为短轴端点时,的最大值为 bc；对于双曲线 的焦点三角形有： ；比如：短轴长为,离心率 的椭圆的两焦点为、,过 作直线交椭圆于 A、B 两点,就 设 P 是等轴双曲线的周长为 _（答： 6）；右支上一点, F1、F2 是左右焦点,如, |PF1|=6 ,就该双曲线的方程为（答：）；双曲线的虚轴长为4,离心率 e,

14、F1、F2是它的左右焦点,如过F1的直线与双曲线的左支交于A、B 两点,且是与等差中项,就_（答：）；已知双曲线的离心率为2,F1、F2 是左右焦点, P 为双曲线上一点,且,求该双曲线的标准方程（答：）；9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切； （2）设 AB为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,就 AMF BMF；（3）设 AB为焦点弦, A、B在准线上的射影分别为 A ,B ,如 P为 AB 的中点,就 PAPB；（4）如 AO的延长线交准线于C,就 BC平行于 x 轴,反之,名师归纳总结 如过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于C点,就

15、A,O,C三点共线；分别第 7 页,共 12 页10、弦长公式：如直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为 A、B 的横坐标,就AB1k名师精编优秀教案2x 1x 224x x 21k2a2,2x 1x 21k如分别为 A、B的纵坐标,就,比如：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于如 x1+x2=6,那么 |AB| 等于 _（答： 8）；A（x1,y1）,B（x2,y2）两点,过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B 两点,已知 |AB|=10 ,O为坐标原点,就 ABC重心的横坐标为 _（答： 3）；11、圆锥曲线的

16、中点弦问题：遇到中点弦问题常用“ 韦达定理” 或“ 点差法” 求解；在椭圆 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k=；在双曲线 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k=；在抛物线中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k=；比如：假如椭圆 弦被点 A（4,2）平分,那么这条弦所在的直线方程是（答：）已知直线 y=x+1 与椭圆相交于 A、B 两点,且线段 AB的中点在直线 L：x2y=0 上,就此椭圆的离心率为 _（答：）；试确定 m 的取值范畴,使得椭圆 上有不同的两点关于直线对称（答：）；特殊提示：由于是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验！12你明白以下

17、结论吗？名师归纳总结 （1）双曲线的渐近线方程为；第 8 页,共 12 页（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数, 0）；的双曲线方程为 _ 如与双曲线有共同的渐近线,且过点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （答：）名师精编优秀教案（3）中心在原点, 坐标轴为对称轴的椭圆、 双曲线方程可设为,焦准距；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为（焦点到相应准线的距离）为,抛物线的通径为,焦准距为；（5）通径是全部焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）如抛物线；的焦点弦为 AB,就（7）如 OA、OB是过抛物线 直线 AB恒

18、经过定点 13动点轨迹方程：顶点 O的两条相互垂直的弦,就（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范畴；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点 P到定点 F1,0 和直线的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程（答：或）；待定系数法：已知所求曲线的类型,求曲线方程先依据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数；如线段 AB过 x 轴正半轴上一点 M（m,0）,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、 O、 B 三点作抛物线,就此抛物线方程为（答：）；定义法：先依据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定

19、义直接写出动点的轨迹方程；如1 由动点 P向圆作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,APB=60 0,名师归纳总结 就动点 P 的轨迹方程为（答：第 9 页,共 12 页）；（ 2）点 M与点 F4,0 的距离比它到直线的距离小于 1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案就点 M的轨迹方程是 _ （答：）；3 一动圆与两圆 M：和N：都外切,就动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点 依靠于另一动点 的变化而变化,并且又在某已知曲线上,就可先用 的代数式表示,再将 代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P是抛物线 上

20、任一点, 定点为 , 点 M分 所成的比为 2,就 M的轨迹方程为 _（答：）；参数法： 当动点 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将 均用一中间变量（参数）表示,得参数方程,再消去参数得一般方程）；如（1）AB是圆 O的直径,且 |AB|=2 a,M为圆上一动点,作 MNAB,垂足为N,在 OM上取点,使,求点 的轨迹；（答：）；（2）如点 在圆 上运动,就点 的轨迹方程是 _（答：）；（ 3）过抛物线 的焦点 F 作直线 交抛物线于 A、B 两点,就弦 AB的中点 M的轨迹方程是 _（答：）；留意：假如问题中涉及到平面对量学问,那么应从已知向量的特点动身,考虑挑选向量

21、的几何形式进行 “ 摘帽子或脱靴子”式进行“ 摘帽子或脱靴子” 转化；转化,仍是挑选向量的代数形如已知椭圆 的左、右焦点分别是 F1（ c,0）、F2（c,0）,Q是椭圆外的动点,满意 点 P 是线段 F1Q与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满意（ 1）设 为点 P 的横坐标,证明；（2）求点 T 的轨迹 C的方程；（3）试问：在点 T 的轨迹 C上,是否存在点 M,使 F1MF2 的面积 S=如存在,求 F1MF2的正切值；如不存在,请说名师归纳总结 明理由 . （答：（1）略；（2）；（3）当时不存在；当时第 10 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 -

22、- - - - - - - - 名师精编 优秀教案存在,此时 F1MF22）曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应留意轨迹上特殊点对轨迹的“ 完备性与纯粹性” 的影响 . 在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“ 平面几何性质” 数形结合 如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式 、“ 方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“ 分类争论思想” 化整为零分化处理、 “ 求值构造等式、求变量范畴构造不等关系” 等等 . 假如在一条直线上显现“ 三个或三个以上的点” ,那么可挑选应用“ 斜率或向量” 为桥梁转化 . 14、解析几何与向量综合时可能显现的向量内容：（1

23、） 给出直线的方向向量 或；（2）给出 与 相交 , 等于已知 过 的中点 ; （3）给出 , 等于已知 是 的中点 ; （4）给出 , 等于已知 与 的中点三点共线 ; （5） 给出以下情形之一：；存在实数；如存在实数 , 等于已知 三点共线 . （6） 给出,等于已知 是 的定比分点,为定比,即（ 7 ）给 出 , 等 于 已 知 , 即 是 直 角 , 给 出, 等 于 已 知是 钝 角 , 给 出, 等 于 已 知是锐角；（8）给出, 等于已知是的平分线 / ,等于已知（9）在平行四边形中,给出是菱形 ; 名师归纳总结 （10） 在平行四边形中,给出,等于已知第 11 页,共 12 页

24、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案是矩形 ; （11）在中,给出,等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在中,给出,等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中,给出；,等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）等于已知通过（14）在中,给出的内心；（15）在中,给出等于已知是；的内心（三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）（16） 在中,给出, 等于已知是中边的中线 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页