2022年完整word版,浙江大学-数学分析-试卷及答案2.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 浙江高校 20 11 -20 12 学年 秋冬 学期 数学分析（ ）课程期末考试试卷（A）课程号： 061Z0010 ,开课学院： _理学部 _ 考试形式：闭卷,答应带 _笔_入场 考试日期： 2022 年 1 月 11 日,考试时间： 120 分钟. 考生姓名：一学号：三四所属院系： _ 题序二五六总 分得分评卷人一、表达 “lim x x 0f x A”的定义并用 “” 语言证明lim x 25 x13.（6 分）x1设f x 在o U x0内有定义,假如存在常数A,对0,A .0,当 0xx 0时,f x A；就称f x 在x0 处有极限

2、记作：x lim x 0f A .不妨令1x3,就：2x14.对0,min1,0,当0x2,有：5x132x2x2.因此,lim x 25x13.x1x1x1二、 运算以下极限： （每题 6 分,共 18 分）1.lim xcos1x 2.1x2令x1lim 1 u 0cosu111cosu1e1.xu2.lim x 0lim xcoscosuu22xx2arctantdt0arcsinxx1/5 共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - lim x 0x2arctantdtlim x 0xx 20arctantd

3、txlim x 0x2arctantdtx3x3300arcsinxxx3o x3x3o x663.6 lim x 02 arctanx6 lim x 02x24.1、n的值.1,3x23x2设当x0 时,tan exex 与xn 为等价无穷小量,求：常数x3lim x 0tan exxnexlim x 0x tane exx1lim x 0tanxx3 xnlim x 0xn3 xx3xn因此,1,n3.3三、 导数及应用： （每题 7 分,共 21分）1.2.3.设yarctan1xx,求：该曲线在x1处的切线方程.2y11xx21xx1122x1x ,11x 1就：yx11.故,在x1处

4、的切线方程为yx41.222设函数yy x 是由参数方程xt2cos2 u du所确定,求：dy2,d y 2 dx.0ysint4dx1dydy3 4 cos t42 2 . 22 d ydy4 t424.dt dxdt dxdx2 cos t4dx22 cos tcos tdtdt设yx22 x ex,运算：y2022x0.y2022x22 x ex20221 C 20222 x2 ex20222 C 2022x22 ex20222022 1x22 x ex2022 120222x2ex2022 12022 2022 exx22 x ex20222x2 ex20222022 ex.因此,y

5、2022x0=20222 013=4050156.四、 运算以下积分： （每题 7 分,共 28 分）1.xlnx1 dx2/5 共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - xlnx1 dx1lnx1 dx21x2lnx11x21dx222x1x2lnx11x1x11dxD.221x2lnx11x121lnx1C.2422.6 02x1 6xx dx 2 .62x1 6 x2 x dx62x1 9x2 3dx 令x3u00332 u7 92 u du73392 u du63.23.1x1xxdx .01令：1xxu,

6、就：xuu21,dx u2u2 1du.221 就：0x1xxdx=0uu21uu22 u2 1duutant22sin4tdt2023 123.4 282令：xsin2u,就：dx2sinucosudu.1 就：0x1xxdx2sin2utanu2sinucosudu22sin4udu3.0084.设f x xet2dt,运算：1f x dx .101f x dxxf x 11xf x dx1xex 2dxex21e11.0000202五、从原点引曲线C:yx1 的切线 ,曲线C、切线 及 轴所围平面图形为运算：1D的面积；2D绕直线x2旋转一周所得立体的体积.（9 分）3/5 共 5 页名

7、师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1切线 的方程为y1x,切点A 2 1.22D 的面积S12 12 1x1 dx1 3.4y22x.1x3dx4.23V122222x 1x1 dx1 211335或：V412x 2dy4112 2 dy4303054/5 共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 六、 证明题： （每题 6 分,共 18 分）1.设x 11,x n13x n1nN,证明：lim nx n存在并运算其极限.1.4x n1【方

8、法一】：1令f x 3x1,就：1f 4x1120.就：f x 单调递增4x2下面证明：x n1.明显x 111；假设x n1,就：xn1fx nf1 222223下面证明：x n单调递减.x22x 1,假设x nxn1,就：x n1f xnfx n1xn.3由此可得,xn单调递减且有下界,因此,数列x n收敛.4设n limx nx,就：x3x1x1.故,n limx n1.4x122【方法二】：1数列x n有下界：对nN,xn1.2.x 111；假设x n1,就：xn113 xn112xn10.2224xn1224x n1因此,x n11.即：数列x n有下界1.222数列xn单调递减.x

9、22x 1,假设x nxn1,就：3xn1xn3x n13x n114x nx nx n1110.因此,xn单调递减.4x n14x n1114xn3由1 2可得,数列x n单调递减有下界,因此,xn收敛.令：n limxnx,就：x3x1x1.故,n limxn1.4x1225/5 共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.表达函数f x 在区间I上一样连续的定义.设f x 在a,上一样连续,g x 3.在a,上连续,且x limf x g x 0. 证明：g x 在 a, 上一样连续.1对0,0,当 、xI

10、,且xx时,fxf x,就称f x 在区间 上一样连续.2由于f x 在a,内一样连续,就对0,0,当xx时,f xf x3.由于x limf x g x 0,对0,G0,当xG时,f x g x 3.就：对0,0,当x、xG1,且xx时,g xg xg xf xf xf xf xg xg xf xf xf xf xg x.因此,g x 在 G1,内一样连续.而,g x 在 ,G1 上一样连续,因此,g x 在a,内一样连续.设f x 在 ,上连续,在0 2,内可导,且24 ex 2f x dx2 2.0证明：0 2,使得f 2f .2xf x .,20 21令：F x e2 xf x ,就：F ex2f 2依据积分中值定理,0 2, 使得,2 e 42f 2 2e2f e22f2.即：F F2.Rolle 定理,3又F x 在 ,上连续,在,内可导,依据使得F 0.即：f 2f .6/5 共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页