2022年完整word版,线性代数超强的总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 线性代数超强总结A 不行逆 A 可逆Ar A nAr A nAx有非零解Ax0 只有零解0 是 的特点值A 的特点值全不为零A 的列（行）向量线性相关A 的列（行）向量线性无关A A T 是正定矩阵A 与同阶单位阵等价Ap p 2,p s,p i是初等阵RnAx总有唯独解向量组等价相像矩阵具有反身性、对称性、传递性矩阵合同 关于 e e 2 , , e ：称为 .的标准基,. n 中的自然基,单位坐标向量； e e 2 , , e 线性无关； e e 2 , , e n 1； tr E = n ；任意一个 n 维向量都可以用 e e 2 , ,

2、 e 线性表示 . 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 行列式的运算：AAABA BnKa n 1 如 A 与B都是方阵（不必同阶） , 就BBBAmn 1A Bn n 1 21a a 2. 上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积a 1na 1n关于副对角线：Na 2n1Na 2n1a n 1a n 1 逆矩阵的求法 : A1AE A1O1 a nABTATCTNa2a 111 a 11 a 2N1 a nAA E初等行变换ab11dbbccaCDTTcdadBD1 a 11 a 21a 1a2a nOan

3、2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 11A 11A 11A n1的列向量为A 2OA 21ONA 2A 21NA nA n1A nA 11 方阵的幂的性质：A A m nA m nAmn mn 设f x a xmam1xm1La xa 0,对 n 阶矩阵 A 规定：fA a Amam1Am1La Aa E为 A 的一个多项式 . 设A m n,B n s,A的列向量为1,2,n,B的列向量为1,2,s,AB就：r iAi,i1,2, L, ,即A 1,2,sA1,A2, L,As用A B 中简r r2,L,r

4、s,即：如b b 2, L,b nT ,就Ab 11b 22Lb nni单的一个提AB 的第 个列向量r i是 的列向量的线性组合, 组合系数就是的各重量；高运算速度AB 的第 个行向量r i是 的行向量的线性组合, 组合系数就是i 的各重量. 用对角矩阵左乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, A 11B 11与分块对角阵相乘类似 , 即：AA 22O,BB 22OA kkB kk3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共

5、14 页精选学习资料 - - - - - - - - - A B 11A B 22ABOA B kk 矩阵方程的解法：设法化成 I AX B 或 II XA B当 A 0 时, 初等行变换（当 为一列时 ,I 的解法：构造 A B E X 即为克莱姆法就）II 的解法：将等式两边转置化为 A X T T B T,T用I 的方法求出 X,再转置得 XAx 和 Bx 同解（A B 列向量个数相同） , 就：它们的极大无关组相对应 , 从而秩相等；它们对应的部分组有一样的线性相关性； 判定1,2,L,s是Ax它们有相同的内在线性关系. . 0的基础解系的条件： 1,2,L,s线性无关； 1,2,L,

6、s是Ax0的解； snr A每个解向量中自由变量的个数4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 零向量是任何向量的线性组合, 零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关 . 部分相关 , 整体必相关；整体无关 , 部分必无关 . 原向量组无关 , 接长向量组无关；接长向量组相关 , 原向量组相关 . 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 . 向量组 1 , 2 , , n中任一向量 i1 i n 都是此向量组的线性组合 . 向量组 1 , 2 , , n线性相关 向

7、量组中至少有一个向量可由其余 n 1 个向量线性表示 . 向量组 1 , 2 , , n线性无关 向量组中每一个向量 i都不能由其余 n 1 个向量线性表示 . m 维列向量组 1 , 2 , , n线性相关 r A n；m 维列向量组 1 , 2 , , n线性无关 r A n. r A 0 A . 如 1 , 2 , , n线性无关,而 1 , 2 , , n , 线性相关 , 就 可由 1 , 2 , , n线性表示 , 且表示法惟一 . . 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩 . 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数 . . 矩阵的行初等变换不转变矩阵的秩 , 且不转变列向量间的线性关系

8、 . 矩阵的列初等变换不转变矩阵的秩 , 且不转变行向量间的线性关系 . 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 向量组等价1,2,n和1,2,n可以相互线性表示 . 记作：1,2,n%1,2,n矩阵等价A 经过有限次初等变换化为B . 记作： A% Bn. .矩阵 A与 B 等价r A r BA B 作为向量组等价 , 即：秩相等的向量组不肯定等价矩阵 A与 B 作为向量组等价r1,2,nr1,2,nr1,2,n,1,2,矩阵 A与 B 等价. .向量组1,2,s可由向量组1,2,n线性表示r1,2,n,1,2,s

9、r1,2,nr1,2,sr1,2,n. .向量组1,2,s可由向量组1,2,n线性表示 , 且 sn ,就1,2,s线性相关 . .向量组1,2,s线性无关 , 且可由1,2,n线性表示 , 就 s n. 向量组1,2,s可由向量组1,2,n线性表示 , 且r1,2,sr1,2,n, 就两向量组等价；.任一向量组和它的极大无关组等价. .向量组的任意两个极大无关组等价, 且这两个组所含向量的个数相等. .如两个线性无关的向量组等价, 就它们包含的向量个数相等. .如 A是 mn矩阵 , 就 r A minm n , 如 m, A 的行向量线性无关；如 r An , A 的列向量线性无关 , 即

10、：1,2,n线性无关 . 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 线性方程组的矩阵式Ax向量式x 11x 22Lx nnAa 11a 12La 1 n,xx 1,b 1j1j,j1,2, L,na 21a 22La 2nx 2b 22jMMLMMMMa m 1a m 2a mnx nb mmj7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - nAx有无穷多解Ax有非零解当 为方阵时A0可由1,2,L,n线性表示Ax有解r A r AMn1,2,L,n

11、线性相关BAxA只有零解当 为方阵时A0Ax有唯独组解1,2, L,n线性无关不行由1,2, L,n线性表示Ax无解r A r AMM当 为方阵时克莱姆法就TTBTr A r AMr A 1r AT AAA矩阵转置的性质：ATTAABTT TB AkATT kA矩阵可逆的性质：A11A2AAB1B1A1kA1k1A1A1A1AT1TAT1AA1kAk1AkAAA AA E相伴矩阵的性质：1kAAn11A1AAAnABB AkAkn1AAkAkAAATn如r A nABA BkAnAk AAkr A1 如r An0 如r A n1 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14

12、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11,2是Ax0 的解,12也是它的解2 是 Ax 0 的解 对任意 , k k 也是它的解齐次方程组3 1 , 2 , L , k 是 Ax 0 的解 对任意 , k 个常数1 , 2 , L , k , 1 1 2 2 k k 也是它的解线性方程组解的性质：4 是 Ax 的解 , 是其导出组 Ax 0 的解 , 是 Ax 的解5 1 , 2 是 Ax 的两个解 , 1 2 是其导出组 Ax 0 的解6 2 是 Ax 的解 就 , 1 也是它的解 1 2 是其导出组 Ax 0 的解7 1 , 2 , L , k 是 Ax 的解 就 ,1

13、1 2 2 k k 也是 Ax 的解 1 2 k 11 1 2 2 k k 是 Ax 0 的解 1 2 k 0 设 A为 m n矩阵 , 如 r A m, 就 r A r AM , 从而 Ax 肯定有解 . 方程个数 未知数的个数当 m n 时, 肯定不是唯独解 . , 就该向量组线性相关 . 向量维数 向量个数m 是 和 r AM 的上限 . 矩阵的秩的性质： r A r ATT r A A: r AB r A r B r AB minr A r B , r kA r A 如k00如k0 rABr A r B 如A0,就r A 1 如A m n,Bn s,且r AB0,就r Ar B n 如

14、P Q 可逆 , 就r PAr AQr A 如 可逆 就r ABr B 如 可逆 就r ABr A 如r A n,就r ABr B ,且 A在矩阵乘法中有左消去律9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - AB0BABACBC标准正交基n 个 n 维线性无关的向量 , 两两正交 , 每个向量长度为 1. 与正交 ,0. 是单位向量 ,1. 内积的性质：正定性： ,0,且,0对称性： ,双线性： ,12 ,1 ,212,1,2,c,c, ,c施密特1,2,3线性无关 , 11正交化222,11113,13,23311122

15、2单位化：112233123正交矩阵T AAE . A是正交矩阵的充要条件：A的 n个行（列）向量构成n . 的一组标准正交基 . 正交矩阵的性质： T A1 A ； T AAT A AE ； A是正交阵 , 就T A （或A ）也是正交阵；两个正交阵之积仍是正交阵；A的特点矩阵E正交阵的行列式等于1 或-1. A . 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - A的特点多项式EAf . A的特点方程 E A 0 . Ax x Ax 与 线性相关 上三角阵、下三角阵、对角阵的特点值就是主对角线上的 n 各元素 . 如

16、 A 0 , 就 0为 A的特点值 , 且 Ax 0 的基础解系即为属于 0 的线性无关的特点向量 . nA 1 2 L n i tr A1a 1 如 r A1, 就 A 肯定可分解为 A =a 2b 1,b 2,L,b n、A2a b 1 1a b 2La b nA, 从而 AMa n的特点值为：1 tr A a b 1 1 a b 2 L a b n , 2 3 L n 0 . 如 A的全部特点值 1 , 2 , L , n,f x 是多项式 , 就: f A 的全部特点值为 f 1 , f 2 , L , f n ； 当 A可逆时 , A 的全部特点值为 11 , 12 , L , 1n

17、 , A A AA 的全部特点值为 1 , 2 , L , n . kA kaA bE a b1 1A是 的特点值 就 : 2 分别有特点值 2 .Am mAAAkA kaA bE a b1 1Ax 是 关于 A 的特点向量 , 就 也是 x 2 关于 2 的特点向量 .Am mAAA1A与 B 相像 B P AP（ P 为可逆阵）记为： A : BA 相像于对角阵的充要条件：A 恰有 n 个线性无关的特点向量 . 这时 , P 为 A 的特点向量拼成11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的矩阵,1 P AP

18、为对角阵 , 主对角线上的元素为A 的特点值 . A可对角化的充要条件：nriEAkiik 为i的重数 . 如 n阶矩阵 A有 n 个互异的特点值 , 就 A与对角阵相像 .A与 B 正交相像B1 P AP（ P 为正交矩阵）. 相像矩阵的性质：A1:B1如A B 均可逆T A:BTk A:k B（ k 为整数）EAEB , 从而A B 有相同的特点值 , 但特点向量不肯定相同即: x 是 A 关于0的特点向量 ,P1x 是 B 关于0的特点向量 . AB从而A B 同时可逆或不行逆r Ar Btr trB 数量矩阵只与自己相像 . 对称矩阵的性质： 特点值全是实数 , 特点向量是实向量； 与

19、对角矩阵合同； 不同特点值的特点向量必定正交； k 重特点值必定有 k 个线性无关的特点向量； 必可用正交矩阵相像对角化（肯定有的特点值 , 重数=nrEA ）. n 个线性无关的特点向量 , A 可能有重A可以相像对角化 A 与对角阵 相像 . 记为： A :（称 是 A的相像标准型） 如 A为可对角化矩阵 , 就其非零特点值的个数（重数重复运算）r A . 设 i为对应于 i的线性无关的特点向量 , 就有：12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1A 1,2, L,nA1,A2, L,An11,22, L,n

20、n1,2, L,n2On. 1 44 2 4 43 P1 4 44 2 4 4 43 如 A:B, C:D, 就：AC:BD. i2标准型 . 如 A:B, 就f A :f B ,f A f B . 二次型f x x 2,L,xnXTAXA为对称矩阵Xx x2, L,x nTA与 B 合同BC AC . T记作： A;B（A B 为对称阵, C为可逆阵 ） 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. 两个矩阵合同的充分条件是：A:B 两个矩阵合同的必要条件是：r Ar B f x x2,L,x nT X AX经过正交变换XCY 化为f x x 2,L,x nnd y合同变换可逆线

21、性变换1 正惯性指数 负惯性指数 二次型的标准型不是惟一的, 与所作的正交变换有关 , 但系数不为零的个数是由惟一确定的 . 当标准型中的系数 id 为 1,-1 或 0 时, 就为规范形 . 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特点值的个数 . 1 O 1 1 任一实对称矩阵A与惟一对角阵O合同 . 1 0 O 013 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 用正交变换法化二次型为标准形 : 求出 A的特点值、特点向量； 对 n 个特点向量单位化、正交化； 构造 C （正交矩阵） ,C1AC；,L,x nnd

22、 yi2,的主对角上的元素id 即为 A 的 作变换 XCY , 新的二次型为f x x 21特点值 . 正定二次型x 1,x 2,L,xn不全为零,fx x2,L,xn0. 正定矩阵正定二次型对应的矩阵 . 合同变换不转变二次型的正定性. 成为正定矩阵的充要条件（之一成立） ： 正惯性指数为 n ；A的特点值全大于 0 ；T Q AQE ；）；A的全部次序主子式全大于0；A合同于 E ,即存在可逆矩阵Q 使 存在可逆矩阵 P ,使AT P P（从而A01 存在正交矩阵,使T C ACC1AC2O（i大于 0 ）. n 成为正定矩阵的必要条件：iia0；A0. 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页