2022年信号时域频域及其转换收集 .pdf

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1、实用文档文案大全信号分析方法概述：通用的基础理论是信号分析的两种方法：1 是将信号描述成时间的函数2 是将信号描述成频率的函数。 也有用时域和频率联合起来表示信号的方法。时域、频域两种分析方法提供了不同的角度， 它们提供的信息都是一样，只是在不同的时候分析起来哪个方便就用哪个。思考：原则上时域中只有一个信号波（时域的频率实际上是开关器件转动速度或时钟循环次数，时域中只有周期的概念），而对应频域（纯数学概念 ）则有多个频率分量。人们很容易认识到自己生活在时域与空间域之中 （加起来构成了三维空间），所以比较好理解时域的波形（其参数有：符号周期、时钟频率、幅值、相位）、空间域的多径信号也比较好理解。

2、但数学告诉我们，自己生活在N维空间之中， 频域就是其中一维。时域的信号在频域中会被对应到多个频率中，频域的每个信号有自己的频率、幅值、相位、周期（它们取值不同，可以表示不同的符号，所以频域中每个信号的频率范围就构成了一个传输信道。时域中波形变换速度越快（上升时间越短），对应频域的频率点越丰富。所以： OFDM 中，IFFT 把频域转时域的原因是：IFFT 的输入是多个频率抽样点（即各子信道的符号），而IFFT 之后只有一个波形，其中即OFDM 符号，只有一个周期。时域时域是真实世界，是惟一实际存在的域。因为我们的经历都是在时域中发展和验证的， 已经习惯于事件按时间的先后顺序地发生。而评估数字产

3、品的性能时，通常在时域中进行分析，因为产品的性能最终就是在时域中测量的。时钟波形的两个重要参数是时钟周期和上升时间。时钟周期就是时钟循环重复一次的时间间隔，通产用ns 度量。时钟频率Fclock ，即 1 秒钟内 时钟循环的次数，是时钟周期Tclock 的倒数。Fclock=1/Tclock 上升时间与信号从低电平跳变到高电平所经历的时间有关，通常有两种定义。一种是10-90 上升时间，指信号从终值的10% 跳变到 90% 所经历的时间。这通常是一种默认的表达方式， 可以从波形的时域图上直接读出。第二种定义方式是20-80 上升时间， 这是指从终值的 20% 跳变到 80% 所经历的时间。时域

4、波形的下降时间也有一个相应的值。根据逻辑系列可知，下降时间通常要比上升时间短一些，这是由典型CMOS 输出驱动器的设计造成的。在典型的输出驱动器中，p 管和 n管在电源轨道Vcc 和 Vss 间是串联的， 输出连在这个两个管子的中间。在任一时间， 只有一个晶体管导通，至于是哪一个管子导通取决于输出的高或低状态。假设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为，脉冲幅度为E, 重复周期为T，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 24 页 - - - - - - - - -

5、 实用文档文案大全频域频域最重要的性质是：它不是真实的， 而是一个数学构造。时域是惟一客观存在的域，而频域是一个遵循特定规则的数学范畴。正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述， 因为 时域中的任何波形都可用正弦波合成。这是正弦波的一个非常重要的性质。然而，它并不是正弦波的独有特性，还有许多其他的波形也有这样的性质。正弦波有四个性质使它可以有效地描述其他任一波形：（1）时域中的任何波形都可以由正弦波的组合完全且惟一地描述。（2）任何两个频率不同的正弦波都是正交的 。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。这说明可以将不同的频率分量相互分离开

6、。（3）正弦波有精确的数学定义。（4）正弦波及其微分值处处存在，没有上下边界。使用正弦波作为频域中的函数形式有它特别的地方。若使用正弦波， 则与互连线的电气效应相关的一些问题将变得更容易理解和解决。如果变换到频域并使用正弦波描述，有时会比仅仅在时域中能更快地得到答案。而在实际中，首先建立包含电阻，电感和电容的电路，并输入任意波形。一般情况下，就会得到一个类似正弦波的波形。而且，用几个正弦波的组合就能很容易地描述这些波形，如下图 2.2 所示：图 2.2 理想 RLC电路相互作用的时域行为频域的图如下? 时域与频域的互相转换名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

7、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。 时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系； 频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说， 时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。时域与频域的对应关系是：时域里一条正弦波曲线的简谐信号，在频域中对应一条谱线 ，即正弦信号的频率是单一的，其频谱仅仅是频域中相应f0 频点上的一个尖峰信号。按照傅里叶变换理论：任何时域信号， 都可以表示为不同频率的正弦波

8、信号的叠加。1、正弦波 时域信号 是单一频率信号；2、正弦波以外的任何波型的时域信号都不是单一频率信号；3、任何波型都可以通过不同频率正弦波叠加得到；解释 1：初学者一个经常的困惑是：无法理解信号为何会有多个频率，加上许多书中的描述不够严谨，比如：语音信号的频率是在4k 以下，是34 千赫正弦波。正确的解释是：一个信号有两种表示方法，时域和频域。 在时域，信号只有周期，正是因为有了傅立叶变 换 ，人们才能理解到信号频域的概念。（先有傅立叶变换的结果才让你认识到声音信号里包含了某种频域的正弦波, 它仅仅是声音信号里的一个分量. 用你的眼睛你可能永远看不出这些幅度变动里包含了你所熟悉的34KHZ的

9、正弦波 ! ）注：大家应牢记： 频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。频域实际上是时域信号进行傅立叶变换的数学结果。通过数学方法， 可以更方便的观察到信号内含的信息、可以分解合成信号。无线通信中传输资源包括了时间、频域、空间等。时间比较好理解， 就是： 时间周期 1 发送符号 1， 时间周期 2发送符号 2. 。 ，时域的波形可以用三角函数多项式表示，函数参数有：时间、幅度、相位。在载波传输中，载波信号由振荡器产生，它的时钟频率是固定的，倒数就是时间周期。频域比较难理解， 按傅立叶分析理论，任何时域信号都对应了频域的若干频率分量（称为谐波） 的叠加，频域的频率与时域的时钟频率不同

10、。可以认为： 时域不存在频率，只存在时间周期。信号处理与通信中所指的频率一般都是指频域的频率分量。而每个频率分量都可从数学意义上对应时域的一个波形（称为谐波， 基波是一种特殊的谐波，它的频率与时域波形的时钟频率相同）。因为载波一般都是正弦波，所以定义信号在 1 秒内完成一个完整正弦波的次数就是信号的频率（以Hz为单位 ) ，即 1Hz。时间周期T=1/f 。载波的功能参见调制解调部分内容。这里可以先不理解何为载波，关键是时域与频域的对应关系。以这个时域波形为例名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

11、- - - - - 第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全设时域波形（图中的合成波）的时间周期=T（如 2 秒），其时钟频率则为 f0=1/2 Hz 。那么基波的频率、周期与合成波一样。每个谐波之间频率间隔=基波频率。而谐波 1 的频率 f1=1/2+1/2=1Hz ，周期 T1=1。谐波 2 的频率 f2=1+1/2=3/2 Hz，周期 T2=2/3 。谐波 8 的频率 f8=1/2+(1/2)*8=4.5Hz，周期 T8=0.2222 在频域中， 每个频率分量都有自己的幅度与相位。按谐波的频率、 幅度、相位信息可以得到谐波所对应时域的波形。将各谐波的

12、时域波形叠加起来，即得到时域中合成波。解释 2： 时域信号的数据传输速率，常用 bps ，如 100Kbps，指 1s 内传输了100K bits的二进制数据。即：时域的传输效率。引入频域后，带来一个新的数据：频谱效率，作为频域的传输效率。如 80bps/Hz 指 1Hz频率上能传输80bps 数据。按信息论，带宽越大，数据速率越高。解释 3：为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。 用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。 一个正弦曲线信

13、号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化， 但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。注：此处仍要牢记：频域是数学构造， 只要有助于我们分析信号，对应的数学方法就是有用的。- 傅立叶变换原理傅立叶变换分类根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别：周期性连续信号傅立叶级数 (Fourier Series) 非周期性连续信号傅立叶变换（ Fourier Transform）非周期性离散信号离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform ）周期性离散信号离散傅立叶变换(Disc

14、rete Fourier Transform) -DFT 下图是四种原信号图例：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢？没有。因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难， 方法是把长度有限的

15、信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法。还有，也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离解信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。 这里我们要学的是离散信号 ，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。但是对于 非周期性 的信号，我们需要用 无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能 实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT ）才能被适用， 对于计算机来说只

16、有离散的和有限长度的数据才能被处理， 对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，后面我们 要理解的也正是 DFT方法。这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，但是 复数方法 就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过， 如果理解了实数离散傅立叶变换 (real DFT)，再去理解复数傅立叶就更容易了，所以我们先把复数的傅立叶放到一边去， 先来理解 实数傅立叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后

17、在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。还有，这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP ），有许多的变换：傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。傅立叶原理表明： 任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位

18、。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理， 这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说， 傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱） ，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。 最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。傅立叶级数的五个公式( 周期性函数 )

19、傅立叶（19 世纪的法国人 ) 认为：任何周期函数 f(t)总是可以变成下面的傅立叶级数（傅立叶公式 1）它等价于下面的公式（傅立叶公式2）两个公式的关系是：公式中 a0,an 、bn 都是常数。 AkCosWkt+BkSinWkt 即时域信号的第k 个频率分量对应的正弦波（即谐波）表示。an,bn 也称为傅立叶系数。时域的信号用f(t)表示，下面介绍这个信号如何转换到频域的表示方法。因为三角函数间有正交关系，如下1，两个不同三角函数的乘积在-pi,+pi上的定积分为0。即正交 。2，两个相同函数的乘积在-pi,+pi上的定积分为2Pi 或 pi.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

20、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全解释：上图中的x 对应傅立叶公式中的时间参数t。pi 可对应时间周期T。首先：我们考虑如何对于时域信号 f(t) 分解出 其中的各个子信号( 子谐波 ) ：AkCosWkt+BkSinWkt 。然后可以得到各个谐波在频域 的表示方法 : 频率 W ，幅度 Cn、相位。 这三项就是傅立叶变换的结果：频域信号表示按上述的三角函数关系，要得到ak，就把 f(t)乘以 coswkt ，并在整个周期内取积分。得图中的

21、an就是ak.得到（下图中的an就是ak. ）根据AkCosWkt+BkSinWkt 这个波形的表示方法可以推导出：1, 就是这个正弦波的最大幅值（最大振幅）( 也即幅值频谱图的y 轴) 。2, 就是这个正弦波的相位。经过简单的三角函数运算，可以得到傅立叶级数f(t)的另一个表达方式：（傅立叶公式3）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全它可以更方便的计算出振幅和相位（分别对应幅度谱与相位谱）傅立叶级

22、数f(t)的另一种表示方式是复指数形式, 它也是最简捷的表达方式。（傅立叶公式4）Cn是复数，定义为从上面的f(t)推导出复指数形式的过程略，基本思想是利用了欧拉公式 ejx = cos(x) + jsin(x)及解释：频域分量转成的时域信号都是复信号（含实部与虚部），虽然实际信号都是实的。实际上信号的传输都用实信号，而接收信号的处理中则使用复信号。三角函数运算法则是：，从上面的复指数傅立叶级数公式中，可以直接得到各子频率分量对应正弦波（谐波） 的振幅 和相位。复指数傅立叶级数公式（傅立叶公式4 ） 可以推导出三角函数形式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

23、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全傅立叶公式5 另外，在傅立叶公式4 中看起来出现了“负频率”，但实际上它们是不存在，只是数学的一种表示方法。所以在傅立叶公式5 中就消除了 “负频率”这里给出了五种傅立叶级数f(t)的表示方式，它们都是等价的，并可互相推导出来。傅立叶积分 (非周期性函数 )非周期性函数使用傅立叶积分来得出频谱。因为这个函数总可以在时间间隔之外按其本身形状来重复，这里可使用傅立叶级数来计算频谱。而当时间间隔不断增大，在极限情况下就变为傅立叶积分。考虑一

24、个周期函数f(t)，用傅立叶级数表示。其频谱图如下，其相邻各谐波频率之间间隔为所以这个f(t)可以写为，将W 代入原 f(t)公式而得。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全当 T- 无穷大时，而 Wn也-0 ，所以频谱会由离散频率点变为连续频谱 。则 Cn作为谐波Wk的幅值也会变为连续函数F(w) 则我们得到非周期函数 f(t) 的傅立叶积分表示方法f(t)。非周期函数f(t)的时域、频域图举例如下

25、：把 F(w) 的计算公式称为傅立叶积分公式。 F(w) 称为 f(t)的傅立叶变换。 f(t)公式即傅立叶反变换公式。F(w) 与 f(t)的计算公式看起来很像， 甚至可以互相调换f(t)与 F(w). 由 F(w) 公式得出时域信号f(t)的频率分量。 频率、频谱从本质上说是某种数学抽象。振幅谱和相位谱的关系上面的频谱图实际上是振幅谱，看不出相位与频率间的关系。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案

26、大全F(w) 是频率的复函数。F(w) 也可分解为振幅谱和相位谱。, 它随频率变化。它们有奇怪的对称性。振幅谱是频率的偶对称函数。相位谱是频率的奇对称函数。可以推导出：即相位就是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全解释：时域中的相位，与频域中的相位完全不同。频域中相位是指各谐波的相位，它随频率而时间变化。所以：1，频域中完全看不出时间，只有谐波的各频率、幅值、相位。这些谐波在非稳定信号中可能并不会

27、在所有时间中存在，这是另一个信号处理领域的问题。2，时域信号中看不出频率，只有各谐波叠加后的信号。时域信号的周期=各谐波信号中的最大周期，即基波的周期。频率也相当于基波的频率。相位则是各谐波叠加后形成（相位在时域与频域没有固定的、可按公式计算出的关系）。时域信号的一个周期中的符号 包括了以下信号的叠加（且可通过正交分解出来）：一个基波在一个周期内的符号，一次谐波在2 个周期内的符号，二次谐波在3 个周期内的符号，三次谐波在4 个周期内的符号。在快速傅立叶变换中，因为时域抽样点必须是2 的 K次方，所以偶次谐波的幅值总为 0，即不携带信息或空符号功率谱从电路分析可知，如代表 1 欧电阻上的电压，

28、则在此电阻内损耗的平均功率为（An2+Bn2)/2 瓦。所以振幅频谱的平方就是不同频率上（n=0,1,2.)1欧电阻内所损耗功率的测量。各个频率上的功率相加，就得到周期性电压加到电阻上的平均损耗功率。任意电压 f(t)加到 1 欧电阻上的瞬时功率就是f(t)2傅立叶变换推导出：时移原理与频移原理，对偶性质傅立叶变换有两个重要的原理：1，时间移位原理将时域时间原点从t=0 处移到 t=t0 处， 则相当于频域F(w) 的相移，即2，频谱搬移原理如果 F(w) 的角频率移动了W0弧度 / 秒，则 f(t)要乘上，即：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

29、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全推导公式是：在调制技术中，信号f(t)要调制到载波上产生的频率移动，即通过上述关系确立。基带信号 (带有信息 )f(t)对载波信号CosW0t的调幅结果（即已调制信号），可表示为f0=W0/2pi ，为时域载波信号的频率已调制信号的傅立叶变换结果为：即：调制之后，f(t)的频谱被移动了，比如：先将一段音乐的离散时间信号做傅里叶变换(FFT) ，再将得到的频谱向高处搬移，最后做傅里叶反变换(IFFT) ，恢复到时域，听到的声音会比原来的声调高。

30、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全时间-频率 间的对应关系对应关系1：时间变化速率( 即时域信号的变化速率) 与 频谱呈正比关系时域信号波形中，振幅的变化构成整个信号的包络。下面是一个调幅信号在一个周期内波形的例子，振幅的变化代表了传送的信息。，2A 是最大振幅上式经简单的三角运算后，得到其频谱如下：当原信息信号变化更快时（Wm 增大），使得振幅调制后的信号也变化更快，边带频率 (W0-Wm,W

31、0+Wm)也更远的离开载波。所以： 较快速的变化相当于较高频率的变动。即：时间变化速率增加，频率也增高了( 这点在上升时间与带宽关系中也可见 )对应关系2，时间周期T 与频谱 呈反比关系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全下面用矩形脉冲序列来深入讨论时间 - 频率之间的关系。它的频谱可以表示成再写成给出一个归一化的无量纲变数，则函数 sinx/x 在 x=0 处有最大值，此处sinx-x, (si

32、nx/x)-1，而当 x- 无穷大时，它-0 函数 sinx/x 的形状如下名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全因为 n 是离散的， 所以 Wn也取离散值 （W1=2pi/T 的各谐波） ，所以归一化参数x 也是离散点，但Cn的包络无疑与上图一致。虽然周期函数包括有基本频率的所有整数倍的频率分量，但在较高频率上，振幅的包络减小。并且基本周期T 越小（即每秒的脉冲数增多），频率谱线越移越开。时间函数

33、比较快速的变化则相当于比较高的频率分量：周期 T 减少，则频谱变大 （因为f=2pi/T 变大）由于集中在低频区的谱线有较高的幅度，所以这个周期波所具有能量的大部分都分布在较低的频率分量上。当函数变化增快（T减小）时，在较高频率范围内所包含的能量所占的比重将增大。对应关系 3：脉冲宽度与 频谱：呈反比关系从上图可见，随着脉冲宽度的减少，信号的频率分量分布的更宽思考：因为那么因为sinxx 的图形不变，当sinxx=0 时的 x 不会变，则此时减少，表示Wn会变大。同时在处的第一个零交点在频率轴上移远。因此，在脉冲宽度或持续时间与脉冲的频率展布之间，有反比关系存在。用脉冲宽度定义带宽如（即很窄的

34、脉冲），则大部分信号能量将落在下式的范围内:这个点也当作信号的带宽。解释：上面三点其实与上升时间越小， 对应带宽越大的关系是一致的。频谱、幅度谱、相位谱、功率谱与 周期性函数的频谱名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全频谱就是时域信号经过傅立叶变换后的复信号；因为Cn是复数。幅度谱就是复频谱取幅度后得到的幅度与频率之间的关系曲线；相位谱就是复频谱取出相位后得到的相位与频率之间的关系曲线；功率谱就是功

35、率与频率之间的关系曲线。周期性函数 按上面傅立叶级数的推导方法来得到频谱（以频率Wn为 x 轴、幅值Cn为 y 轴）按 傅立叶公式1 中定义，可知每个频率点间的间隔是2Pi/T,那么第 0 个频率点即基波，它的频率=2Pi/T 。T 是时域信号的周期，所以基波频率 =时域信号的时钟频率，基波表示时域信号的直流分量。从频谱图也能看出，相邻各谐波频率之间间隔为, 它就是基波角频率。（角频率与频率之间就是多了个2pi 的关系，那么基波频率就是时域信号的频率）W0在傅立叶级级数中用常数a0 表示。周期 =2pi/W0. 一次谐波分量W1 ：周期是基波分量周期的1/2 ，频率是基波频率的2 倍。二次谐波

36、分量W2 ：周期是基波分量周期的1/3 ，频率是基波频率的3 倍。所以： 频域各谐波频率一定是时域信号时钟频率的倍数。基波的定义是：将非正弦周期信号按傅里叶级数展开，频率与原信号频率相同的量。在复杂的周期性振荡中, 包含基波和谐波。和该振荡最长周期相等的正弦波分量称为基波。相应于这个最长周期的频率称为基本频率。频率等于基本频率的整倍数的正弦波分量称为谐波。周期为 T 的信号中有大量正弦波，其频率分别为1/T Hz 、2/T Hz 、n/THz， 称频率为 1/THz 的正弦波为“基波”，频率为等 n/THz（n1）的正弦波为n 次“谐波”。解释：基波谐波来自于原时域信号的频谱中各频率点的频率、

37、相位在时域中体现为各正弦波，它们叠加在一起形成了原时域信号。在简谐振动中， 在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用 f 表示。频率也表示单位时间波动传播的波长数。频率的2 倍叫角频率，即 =2 f 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全在国际单位制中，角频率的单位也是弧度/ 秒。频率是描述物体振动快慢的物理量，所以角频率也是描述物体振动快慢的物理量。频率、角频率和周期的关系为 = 2 f =

38、2/t 。在简谐振动中，角频率与振动物体间的速度 v 的关系为 v =asin( t + ) 。圆周运动中的角速度 与简谐振动中的角频率，虽然单位相同且都有 = 2 /T 的相同形式，但它们并不是同一个物理量。角频率对时间的积分等于相位的改变量。周期函数、非周期函数的频谱总结，与对称频谱的意义动态信号从时间域变换到频率域主要通过傅立叶级数和傅立叶变换实现。周期信号靠傅立叶级数，非周期信号靠傅立叶变换。两个域都有自己的测量工具：时间是示波器，频域是 频谱分析仪。而在一个域进行测量，通过换算可求得另一个域的结果。傅立叶级数公式中，Cn表示了各次谐波的振幅随频率变化的情况，一般所指的频谱是幅度谱，

39、指频率和振幅的关系，表示每个频率分量及其所占的比重大小，如振幅大小或功率大小。周期函数的频谱是离散的。它的频率是一个不连续的离散值。因为频谱函数Cn的公式由傅立叶级数公式（实际上是一个三角函数级数）推导出，其中的n=0,1,2.，n是整数，那么Wn=W1,W2,W3.Wn 也是离散值。非周期函数的频谱是连续的。由于频谱函数F(W)的公式由傅立叶积分推导出，根据积分的定义，所以：其中的W 是连续变化的。这说明非周期函数的频率成分比周期函数的频率成分丰富。 傅立叶级数、 傅立叶积分可以取出两种函数的不同频率成分及其幅值。上图是共轭复数的出发点，它说明了频谱图中出现的负频率只是数学上的方便写法。 (

40、注：必须记住频域只有数学意义，在现实中是不存在的) 频谱图中会得到一个关于y 轴对应的频谱图。 现实中负频域是不存在的。这是因为在由傅立叶级数到指数形式的转化过程中，欧拉公式对傅立叶级数系数重新分析，即Cn对名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全an 和 bn 进行了共轭对称调整，使得各频率分量的幅度折半按y 轴分配，使之出现了对称的频谱和负频域形式。离散傅立叶变换与抽样：时域的抽样点数与频域点数的

41、关系所谓信息，是指信号随时间的变化。奈奎斯特定理已经证明。为了从抽样信号中无失真的再现原信号，当原信号 ( 为频带有限的模拟信号) 带宽为 BHz时， 最小抽样速率， 应该为每秒 2B个样值。即抽样时间间隔=1/2B秒。这些样值包含了原信号的全部信息。具体证明过程如下：以下的信号以频带有限的信号。设其带宽为BHz 。即理想情况下，频域中，超过 f=B 就绝对没有任何频率分量（实际波形中，超过BHz后，频率分量幅度迅速下降，也可视为信号带宽 =B）。1，原信号转换成抽样点时，即抽样速率为多少对周期信号f(t)抽样时，只要抽样速率f0=2B，则抽样不会损害其信息含量。1/2B为抽样间隔。设周期脉冲

42、信号为S(t) ，脉冲幅度为1，宽度为，周期 T=1/f0 则抽样后信号为fs(t)=f(t)S(t)。f(t),S(t)都可以展开成傅立叶级数( 公式 1），根据傅立叶频谱搬移原理，可以得到 fs(t)的傅立叶变换为每一项的中心位于抽样频率的倍数点上。所以：对 f(t)抽样的效果是使其频谱搬移到抽样频率的所有谐波上。频谱沿原先的频率线对称的分布。而对于非周期函数f(t)抽样，也有类似效果。频谱如下：当抽样速率下降时，f0 及所有谐波都会互相靠拢，则上图中各频谱分量会重叠在一起，比如中心位于f0 的分量 F(W+W0) 会同中心位于原点的未偏移项 F(W)相混，这样就不能从Fs(W)中分出 F

43、(W)，也就不可能从fs(t)中恢复 f(t)。这种因抽样间隔太宽而引起频谱重叠并导致失真的现象称为混淆。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全而开始相混的极限频率，可从上图中看出f0-B=B ，即 f0=2B。这就是奈奎斯特抽样速率。解释：上面说明了， 抽样的过程即周期脉冲信号 （抽样信号） 与原信号（信息信号）相乘，产生的结果信号: 在频域上，会保留原信号的所有信息（即其频域分量会全部保留），但

44、频谱搬移到抽样频率的所有谐波上。即：以 抽样信号的频谱各频率点为中心，每个频率点的上下边带都会保留全部的 原信号频谱信息。因为上下边带的存在，所以从数学上看，要避免频谱分量重叠的办法只有让抽样信号的频谱间隔为2B， 即f=2B ， 它也是抽样信号的基波频率（见基波的定义部分） ，即时域信号的速率. 如果抽样速率较小，则抽样信号的带宽变小，谐波的频率分量会更紧密的靠在一起。则很容易发生，原信号抽样后，频谱分量容易重叠在一起。如抽样速率较大， 则抽样信号谐波的频率分量间隔会增大，如上图中的间隔。 原信号抽样后，不易发生重叠。抽样速率不需要越大越好。因为那样带宽太大。并且只需要一个频率分量的上下边带

45、就可完全恢复原信号，比如 上图中 fc 、2fc 左右边带就是无用的，在反傅立叶变换时只需要 0 点左右的频谱分量作为输入数据即可。2，从抽样点可以得到周期信号的证明过程如下：注：抽样点可以是非周期性的取得，比如每隔几秒开始抽样也可以。已证明：每秒任何2B个独立样值就可完全表示一个频带有限的信号。或：完全规定一个 T 秒长间隔上的信号，只需要任何2BT个单独的（独立的）信息样值。证明过程如下：设 T 秒时间上频带有限信号为f(t)，（即非周期信号），它可以展开成以T 为周期的傅立叶级数，由于频带有限，则傅立叶级数中的项数是有限的，即谐波是有限的，也即频谱中频率点是有限的。由于，因为 B是 f(

46、t)的最高频率分量，则Wn=2piB （当 n 最大时），此时2piB=2pi*n/T，得出 n=BT 所以： n 的最大值是BT 。基波 C0是直流项，仅改变f(t)的平均电平，不提供任何信息（因为信息表示信号随时间的变化）。由于频谱的对称性，所以傅立叶系数共有2BT个，即 频谱上的频率分量共有2BT个。解释：1，抽样点的个数*2 = 频域中频率点的个数 ( 含正频率与负频率)2，当 T=1s 时，只需要2B 个频谱分量即可恢复原信号，即：抽样后信号，从频域变换到时域后的信息与 抽样前信号一样。3，抽样信号的解调即：如何从2BT个样值中恢复原信号f(t)。通过傅立叶变换可以证明，在各个抽样点

47、 ( 时间点分别为：1/2B ，2/2B.n/2B）给定信号 f(t)时，对它们分别FFT之后可以得到相应的傅立叶系数Cn或 F(w) 。如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 24 页 - - - - - - - - - 实用文档文案大全而对 Cn或 F(w) 进行傅立叶反变换，可以得到所有可能时间上的f(t) 解释：反变换之前是频域，没有时间参数。反变换之后则是时域的连续信号。这里的方法是 ：从 频域的离散频谱反变换后生成时域的连续信号。而频域信号来自

48、于时域的抽样值。所以，连续信号f(t)先抽样，再FFT，然后再 IFFT 可以得到原时域信号f(t)。上述过程已经证明： 用 时间相隔 1/2B 的各个抽样点上的f(t)信号就足以确定所有时间的 f(t)。上述过程已经证明，让信号样值通过一个带宽为B hz 的理想低通滤波器，可以再现原信号 f(t)。这就是解调。即： N个采样点，经过FFT之后，频谱上得到N个频率点的幅值，反变换到时域得到连续函数f(t)。采样速率越高或采样点数越多，相当于从频域反变换到时域时得到的谐波越多，叠加后得到的 f(t)更像原信号。比如： 原信号带宽500Hz，时域的采样频率则应为1024Hz （则 1 秒内得到的采

49、样点为1024 个），那么根据采样点变换到频域后最大带宽应该为1024（解释：因为发生了频谱搬移。）1 秒时间的采样，得到1024 个采样点， FFT变换到频域后得到1024 个频率点，横坐标的频率的最大值是采样频率1024Hz，从小到大分别是：0Hz，1Hz，2Hz.1024Hz。而 2 秒时间的采样，得到2048 个采样点， FFT变换到频域后得到2048 个采样点，横坐标的频率的最大值仍是采样频率1024Hz，从小到大分别是：0Hz，0.5Hz ，1Hz，1.5Hz，2Hz.1024Hz 。频率点之间的间隔是0.5hz 。因为，最大带宽W与采样时间无关，总是恒定值，当频谱上频率点n 的次

50、数增加时，频率点之间间隔只能缩短。所以： 在采样率确定的情况下：采样时间越长， 频域的频率点越多， 即频率分辨率（即：两个频率点之间的间隔）越高。恢复到时域后谐波更多。结论： 频域频率分辨率要精确到xHz，则需要采样长度为1/x 秒的信号，再做FFT 变换到频域。实际应用中， 对实时处理的要求较高，可采用： 采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定量的0 作为采样点，使其长度达到需要的点数。这也可以提高频率分辨率。如果想用时分复用的方式来同时传送多路信号，在每路信号的抽样间隔中，可以用来传送其它信号的抽样点。傅立叶变换与正交性在第一个傅立叶级数公式中，通过时域f(t)信号求频谱Cn（先求 an