2022年小学数学奥林匹克竞赛裂项法3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本裂项法（一）同学们知道：在运算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分 母分数后再运算；（一）阅读摸索例如1 311,这里分母3、4 是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积,412把这个例题推广到一般情形,就有一个很有用的等式：111n1n1 nn1n n1 n n即1 nn1n1n11 n n1 n n1n n1 或11 11n nnn1下面利用这个等式,奇妙地运算一些分数求和的问题；【典型例题】例 1. 运算：11198711988 19941199519851986198619871111

2、9951996199619971997分析与解答：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本1111 9 8 5 1 9 8 61 9 8 51 9 8 61111 9 8 6 1 9 8 71 9 8 61 9 8 71111 9 8 7 1 9 8 81 9 8 71 9 8 8 1 1 11 9 9 4 1 9 9 5 1 9 9 4 1 9 9 51 1 11995 1996 1995 19961 1 11996 1997 1996 1997上面 12 个式子的右面相加时,很简单看出有很

3、多项一加一减正好相互抵消变为 0,这一来问题解起来就非常便利了；19851198619861198719871198819951199619961199711997111111 111198519861986198719871988199519961996111199719971985像这样在运算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使运算简化的方法,我们称为裂项法；例 2. 运算：1112113123110012公式的变式名师归纳总结 121nn21 第 2 页,共 7 页n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

4、- 立身以立学为先,立学以读书为本当 n 分别取 1,2,3, , 100 时,就有1222121011121212231122334112344511221001001011113111212100223242991223100100101211221111334991001002111111111122334991001001012111012100 1012001011 99 101例 3. 设符号（）、代表不同的自然数,问算式111中这两个6符号所代表的数的数的积是多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身

5、以立学为先,立学以读书为本分析与解： 减法是加法的逆运算,111就变成1 611,与6前面提到的等式1n1111 相联系,便可找到一组解,即111nn n6742另外一种方法名师归纳总结 - - - - - - -设 n、 、y都是自然数,且xy ,当1 n11时,利用上面的变加为减的想法,xy得算式x nxn1 ；y这里1 y是个单位分数,所以xn 肯定大于零,假定xnt0 ,就 xnt ,代入上式得tt1 ,即 y yn2n；n nt又由于 y 是自然数, 所以 t 肯定能整除 n2 ,即 t 是 n2 的约数, 有 n 个 t 就有 n 个 y ,这 一 来 我 们 便 得 到 一 个

6、比1 nn1111 更 广 泛 的 等 式 , 即 当 xnt ,n nyn2n, t 是 n2 的约数时,肯定有111,即tnxy11tnntn nt上面指出当xnt , yn2n,t是 n2 的约数时,肯定有111,这里tnxyn6,n236,36 共有 1, 2,3,4,6,9,12,18,36 九个约数；当 t1时, x7, y42第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本当 t2 时,x8 , y24当 t3时, x9 , y1849,32,27,25；当 t4 时,x10 , y1512 , y10当 t6 时,x当 t9

7、 时,x15 , y10当t12 时, x18 , y9当 t18 时, x24 , y8当 t36 时, x42 , y7故（）和 所代表的两数和分别为【模拟试题】 （答题时间： 20 分钟）二.尝试体验：1. 运算：名师归纳总结 112213314981999911111第 5 页,共 7 页1002. 运算：1 31111111116101521283645556678911051203. 已知 x、y是互不相等的自然数,当111时,求 xy ；18xy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本【试题答案】1. 运算：112

8、2131319819911499100111111112233498999910011100991002. 运算：1 3111111111111116101521283645556678911051202222222222222261220304256729011013215618221024022131111189911113445566778101011211115151 16111213131414211 16211 878名师归纳总结 3. 已知 x、y是互不相等的自然数,当111时,求 xy ；11 11第 6 页,共 7 页18xyxy 的值为： 75,81,96, 121,147

9、, 200,361；1由于 18 的约数有1,2,3,6, 9,18,共 6 个,所以有11818 13636- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本112111818 12 5427542781111131818 13 722472249611116181816 1262121126147111191818 19 18020201802001111 181818 118 193421934236111123181823 453030457511129181829 99222299121仍有别的解法；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页