2022年小学数学趣题巧算--应用题部分教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学校数学趣题巧算应用题部分一、分数应用题用分数来解答的应用题叫做分数应用题,与百分数有关的应用题叫做百分数应用题；分数应用题有以下三种基本类型：求一个数是另一个数的几分之几；求一个数的几分之几是多少；已知一个数的几分之几是多少,求这个数；分数应用题一方面是在整数应用题基础上的延长和深化；另一方面, 他有其自身的特点和解题规律；在解分数应用题时,分析体中数量之间的关系,精确找出“ 量” 与“ 率” 之间的对应是解题的关键；实际上分数（百分数）应用题涉及的学问面广,数量关系千变万化,有时数量关系又比较隐藏,我们必需认真审题,通过分

2、析推理,弄清量与分率的对应关系,将复杂的分数应用题转化为上述三种类型,然后依据有关的数量关系解答应用题；在日常生活、 生产当中会常常需要利用分数应用题的解题方法解决实际问题；这两讲我们一起来探讨一下分数应用题的解题规律；例 1、新华书店运来一批图书 , 第一天卖出总数的1 多 16 本, 其次天卖出总数的 81 少 8 本, 仍余下 267 本；这批图书一共多少本 . 分析： 解答此题的关键是要找出实际数量的对应分率；从含有倍数关系的句子可以看出图书的总数为“ 单位 1”；现在找出题中所给的数量与“ 单位 1” 之间的关系,见线段图：从图中可以看出卖出总数的 1 和 1 后,余下的分率是 11

3、 1 = 3 ,与 3 相对应的数量是 67 88 2 8 2 8 816 ,从而可以求这批图书；解答： 67 816 11 1 =200（本）8 2说明： 我们仍可以通过另一种方法找出量率对应；依据题意,我们可以列出下面的等式：总数的1 16 本总数的 81 8 本余下的 67 本=“ 单位 1”2将等式变形,量率分别放在等号的两边：16 本 8 本余下的 67 本=“ 单位 1” 总数的1 总数的 811 = 23 ,因此列式为：82从上面的式子中可以看出,67 816 就是这批图书的 11 867 816 11 81 =200（本）2这种方法比较简洁直观,思维比较顺畅,只要把题目的表达翻

4、译成等式即可；例 2、某工厂第一车间原有工人 120 名,现在调出 1 给其次车间后,这是第一车间的人数比其次8车间现有人数的 6 仍多 3 名；求其次车间原先有多少人？7分析： 通过读题可知“ 从第一车间调出 1 的工人给其次车间” ,即调出 1201 =15 名,这时第一8 8名师归纳总结 第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载车间仍剩下 105 名工人； 这 105 名比其次车间现有人数的6 仍多 3 名；那么这 102 名工人就相当于第 7二车间的现有人数的 6 了；于是,其次车间现有人数与原先的人数就可以

5、求了；7解答：（1）第一车间剩下的人数： 120 （ 11 ）=105（名）8（2）其次车间现在的人数： （1053）6 =119（名）7（3）其次车间原先的人数： 1191201 =104（名）8答：其次车车间原有 104 名工人；数的例 3、学校图书室内有一架故事书,借出总数的 75%之后,有放上 60 本,这时架上的书是原先总1 ；求现在书架上放着多少本书？3分析：借出总数的 75%之后,仍剩下 25%,又放上 60 本,这时架上的书是原先总数的1 ,这就可以找出 60 本书相当于 3故事书总数的几分之几了,问题也就可以求出来了；仍可以画找量率对应；如下图：解答：（1）60 本书相当于故

6、事书总数的几分之几？1 （ 175%）= 311 与 75%的重 312（2）故事书的总数： 60 1 =720（本）12（3）现在书架上放有故事书多少本？ 720 1 =240（本）3说明： 此题中的量率对应仍可以依据图用别的方法求；从图中可以看出：故事书的叠之出就是 60 本所对应的分率；这个分率可以用下面的三种方法求出：（1）1 75%1；3（2）1 （175%）；3（3）75%（11 ）；3请你自己想想每种方法的道理；例 4、一块西红柿地,今年获得丰收；第一天收下全部的 剩下的全部收完,正好装了 6 筐；这块地共收了多少千克？3 ,装了 3 筐仍余 12 千克,其次天把 8分析：要求全

7、部西红柿有多少千克,只要求出 12 千克对应全部的几分之几就行了；已知 12 千克和 3 筐对应全部的 3 ,所以只要求出 3 筐对应全部的几分之几就行了； 已知 6 筐对应全部的 （13 ）,8 8所以 3 筐对应全部的几分之几就清晰了；解答： 12 3 （ 183 ） 6 3=192（千克）8答：这块地共收了192 千克；说明： 例 4 仍有多种解法,请你认真读题,自己找一找其他的对应关系,进行解答；例如可以先名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 找出 12 千克所对应的筐数,然后再找出每筐所对

8、应的分率；的例 5、库房有一批货物,第一天运走20 吨,其次天运走得吨数比第一天多6 ,仍剩下这批货物 179 ,这批货物有多少吨？17分析： 由题意可知,其次天运走了20 （ 16 ）吨,第一天和其次天共运走货物 1720 （ 116 ）吨；再由“ 仍剩下这批货物的 179 ” 克制,第一天和其次天运走的货物占总重量的（1719 ）；17由此找到了相对应的量,可以解题；解答： 20 （ 116 ） （ 19 ）=100（吨）答：这批货物有 100 吨；17 17例 6、有一块菜地和一块稻田,菜地的一半和稻田的三分之一放在一起是 13 公顷,稻田的一半 和菜地的三分之一合在一起是 12 公顷；

9、那么这块稻田有多少公顷？分析： 通过读题,将题目中的条件列成文字等式：菜地的1 稻田的 21 =13 公顷菜地的 31 稻田的 31 =12 公顷 2菜地的5 稻田的 65 =25 公顷 6这就是说,菜地和稻田的5 与 25 公顷相对应,因此可以求出两 6种地一共有多少公顷,再求稻田有多少公顷；解答： 两种地共有（ 1213） （1 21 ）=30（公顷）31 少 4 页,仍剩下 6那么菜地和稻田的1 是：30 2=15（公顷）2那么稻田有：（1513） （1 21 ）=12（公顷）3答：稻田有 12 公顷；例 7、小明看一本小说,第一天看了全书的1 仍多 21 页,其次天看了全书的 8102

10、 页；这本小说一共有多少页？分析与解答： 要想求出这本小说有多少页,需要找条件 里的“ 多 21 页” 、“ 少 4 页” 、“ 剩 102 页” 这三个条件所对应得分率是多少, 也就是这三个量占全书的几分之几；见图：7 ,并且比二 20（102421） （ 11 81 ）=168（页）6例 8、某学校五年级有三个班,一班和二班的人数相等,三班的人数占五年级的班多 3 人,问五年级共有多少同学？名师归纳总结 分析与解答： 依据条件“ 三班的人数占五年级的7 ,并且比二班多 203 人” 可知一班、二班都比第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

11、 - - 学习必备 欢迎下载全年级的 7 少 3 人,假设一班、二班都占全年级的 7 ,那么将比实际人数多出 3 2=6 人,比单位20 20“ 1” 多出（7 7 7 1）,两个数量正好对应； 因此全年级的人数为： 3 2 （7 7 720 20 20 20 20 201）=120（人）例 9、有一堆砖,搬走1 后又运来 306 块,这时这堆砖比原先仍多了 41 ,问原先这堆砖有多少块？5分析与解答： 依据题意画出线段图：从图中可以看出, 306 块正好与（1 41 ）相对应,所以 5列式为： 306 （1 41 ）=680（块）5答：原先这批砖共有680 块；例 10、车间共有工人 152

12、 名,选派男工的 好一样多；问车间的男、女工各有多少人？1 和 5 名女工参与培训班后,剩下的男女工的人数正 11分析与解答： 依据题意画出线段图, 找出量率对应：题中所给的已知数量虽然没有直接的对应关系,但从中可以看出,假如女工去掉 5 人就和男工人数的（ 11 ）相对应,因此总人数也应去掉 5 人,相应的与男工人数的（11 1）相对应；11 11因此男工有：（1525） （ 11 1）=77（名）女工有： 15277=75（名）11例 11、一本书,已看了 30 页,剩下的预备 8 天看完,假如每天看的页数相等,3 天看的页数恰好为全书的 5 ,这本书共有多少页？22分析与解答： 由于每天

13、看的页数相等,且 3 天看的页数恰好为全书的 5 ,故每天看全书的 5 22 223；从而 8 天将看全书的（5 3） 8,由此可以找到 130 页对应的分率为 1（5 3） 8；即22 22全书共有： 130 1 （5 3） 8=330 页 答：全书共有 330 页；22例 12、一瓶饮料, 一次喝掉一半饮料后, 连瓶共重 700 克；假如喝掉饮料的 1 后,连瓶共重 8003克,求瓶子的重量；分析与解答： 如下用文字等式表示题中的两个已知条件：名师归纳总结 瓶重饮料重的（11）=700克瓶重饮料重的（11）=800克第 4 页,共 11 页23- - - - - - -精选学习资料 - -

14、 - - - - - - - 比较上面两个等式,可以看出学习必备欢迎下载11）比（11）多的；800 克比 700 克多的 100 克就是饮料的（32找到了量与率的对应,就可以求出饮料重,从而可以求出瓶重；列式为：饮料重：（800700） （1 1）（1 1）=600 （克） 瓶重： 7006001 =400（克）3 2 2例 13、食堂有一桶油,第一天吃掉一半多 1 千克,其次天吃掉剩下的油的一半多 2 千克,第三天又吃掉剩下的油的一半多 3 千克,最终桶里仍剩下 2 千克油,问桶里原有油多少千克？分析与解答： 第三天吃掉一半多 3 千克,仍剩 2 千克；所以其次天吃掉后仍剩（23）1 ,这

15、2又是第一天吃掉后剩下的一半少 2 千克,所以第一天吃掉后剩下 （23）1 2 1 ,这又是这2 2桶油的一半少 1 千克,从而这桶油共有： （23）1 2 1 11 =50（千克）2 2 2例 14、菜地里黄瓜获得丰收,收下全部的 又刚好装满 8 筐,求共收黄瓜多少千克？3 时,装满了 4 筐仍多 36 千克,收完其余的部分时,8分析与解答： 其余部分装满 8 筐,所以每筐是总数的（ 13 ） 8；装满了 4 筐仍多 36 千克,8即这 36 千克占总数的 3 （13 ） 8 4= 1 ,所以共收黄瓜：8 8 1636 3 （ 13 ） 8 4=576（千克）答：共收黄瓜 576 千克；8

16、8例 15、甲乙丙三人到银行存款,甲存入的款数比乙多 1 ,乙存入的款数比丙多 1 ,问甲存入的款5 5数比丙多几分之几？分析与解答： 留意：“ 甲存入的款数比乙多 1 ,乙存入的款数比丙多 1 ” ,这两个 1 对应着不同的5 5 5单位“1”,因而如能直接相加；设丙存入的款数为单位“1” ,就乙存入的款数为丙的（11 ）,甲存5入的款数为丙的（ 11 ） （ 11 ）,于是,甲存入的款数比丙存入的款数多（11 ） （ 11 ）5 5 5 51= 11 ；答：甲存入的款数比丙多 11 ；25 25例 16、古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“ 他生命的六分之一是幸福的童年；再活十二分

17、之一,颊上长出了细细的胡须,又过了生命的七分之一他才结婚,再过了五年,他幸福的得了 个儿子；可这孩子光辉辉煌的生命只有他父亲的一半；儿子死后,老人在哀思中活了四年,终止了尘 世的生涯；” 你能依据这段话推算出丢番图活到了多少岁吗？多少岁结婚？分析与解答： 这道题中只显现了一个详细数量,即“ 再过了五年” 中的5,为明白决问题必需找到5 所对应的分率,即占丢番图一生的几分之几；看图：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（54） （ 11 21 61 121 ）=84（岁）784 （1 61 121 ）=

18、33（岁）7答：丢番图活到了84 岁,他 33 岁结婚；二、最值应用题在实际生活与生产实践中,人们总是想用最少的财力、物力、人力以准时间等在可能的范畴内取 得正确效益； 况且,在很多现实问题中有时很难确定或者就不需要详细的每个数值,有时只关怀最大、最小等极值；这一讲就来争论某个量在肯定条件下取得最大值或最小值问题；这类问题题目中常常显现“ 最小” 、“ 至少” 、“ 至多” 等术语；常常只能依据详细问题,综合运用所学学问进行求解；例 1、某校六年级一班预备用100 元钱买圣诞树装饰品；在花店这样的装饰品成束出售,由20朵花组成的花束每束价值4 元,由 35 朵花组成的花束每束价值6 元,由 5

19、0 朵花组成的花束每束价值9 元,请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？分析：想用 100 元钱买到最多的花朵,题目中有三种花束：A 种：由 20 朵花组成的花束价值4 元 B种：由 35 朵花组成的花束价值6 元C种：由 50 朵花组成的花束每束价值9 元平均 1 元钱可买 A种花朵 5 朵或 B种花朵 5.8 朵或 C种花朵 5.5 朵,为了买到最多的花朵, 应当 多买 B种花束 解：经分析可知由 35 朵花组成的 B 种花束中的花朵最廉价,宜多买；由于每束 6 元,故 100 元 钱可买 16 束,仍剩 4 元钱,这 4 元钱恰好买一束由 20 朵花组成的 A 种花束,这时共买花朵：1

20、6A种或 C种花束的数量,都不能使花朵数达到 580 朵；35+20=580（朵）,如 B种花束少买几束,增加 因此,应买由 35 朵花组成的花束 16 束和由 20 朵花组成的花束 1 束,可使花朵数量最多： 580 朵；说明：此题也可设 A种、B种、C种花束各买 x 束、y 束、z 束时,可使花朵最多,列方程：4x+6y+9z=100,x,y,z 是自然数可以先缩小字母的取值范畴；例如 12 元能买 3 束 A 种花束或 2 束 B 种花束,分别得到 60 朵花和70 朵花,于是很清晰在最优解中A 种花束不应超过2 束；同理,比较 B 种花束和 C种花束,发觉要使花朵最多, C种花束不应超

21、过 1 束,即 x2,z1,下面只有很少的几种情形了,可以一一列举,同样可以求得 x=1,z=0,y=16 例 2、有一类自然数,从第三个数字开头,每个数字恰好是它前面两个数字之和,如 134,1459 等等,求这类数中最大的自然数和最小的自然数；分析：要得到最大的自然数, 应使得这个自然数的位数尽可能地多；假如最前面的两个数字越大,就按规章构造的位数越少,所以如想按规章构造最大的自然数,前两个数字应取 10,这类数中,最 小的应是三位数, 先考虑百位为 1 的自然数,如十位数字为 a,就个位数字为（a+1）,只有当 a+（a+1）9 时,即 a5 时,才能保证按规章构造的数是三位数,取 a=

22、5；解：这类数中最大的是 10112358,最小的是 156；说明： 在自然数中求满意条件的某个量的最值问题（常称离散最值问题）往往解法比较敏捷,但名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载只要认真分析条件,进行深化细致的推理,是不难解决的；这对培育同学的创新思维才能是特别好的材料；例 3、设四个不同的正整数构成的四数组中,最小的数与其余三数的平均值之和为 17,而最大数与其余三数的平均值之和为 29,在满意上述条件的全部四数组中,找出最大的那个数；解：设此四个正整数分别为：a、b、c、d,且 abcd,

23、依题意有1abcd17a21 3bcd29d2a2931abc即：1abcd2d1733d1233a就用这两个方程相减得：即 a=18+d 3又 abcd,就 bd+2,Cd+1 由式得：118dd2 d1 d2d1733即：7+2d17,d5,由此得 a=18+d23 当 a=23,b=7,c=6,d=5时, a 取得最大值 23 说明：（1）此题也可以设这四个数的和为s,最小的数为x,最大的数为y,就前三个较大的数的平均数为s3x,后三个较小的数的平均数为x3y,也可以作类似的争论；（2）用不等式求离散最值,如如a23,就 a 有最大值 23,此时仍要构造出（或求出） a、b、c、d 的值

24、,说明的确能取到 23,留意这一步是必不行少的；A F D例 4、如图,一个边长为 10 厘米的正方形 ABCD,在两边 AB和 AD上分别有点 EE和点 F,AE=5厘米, AF=6厘米,请你在 BC或 CD边上选一点,并与原有的两点连成一个三角形,使三角形的面积尽可能地大,求这个三角形面积的最大值；B G C分析：先假设所求的点 G在 BC边上,并设 BG=x厘米,直接求EFG的面积比较困难,因此可由已知条件可用正方形的面积减去AEF、 BEG与梯形 FGCD的面积之和； EFG的面积 = 10101561 105 x 106 2 10x10152 .5x22类似地可以争论 G在 CD上的

25、情形 解：假设所求的点在 BC边上,设 BG=x厘米 EFG的面积 =100-15-2.5x-70-5x =15+2.5x 要使 EFG的面积最大,只要x 取最大值就行了；因此G 点应取在 C点,此时 BG=BC=10厘米； EFG（即 EFC）的面积最大,为15+2.5 10=40（平方厘米）在 CD边上仍有这样的点K也使得 EFK的面积最大吗？设 DK=y厘米,就 EFK的面积 =100-15-2y- （75-5y ） =10+3y 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载要使 EFK的面积最大,应

26、使y 的值最大, y 最大为 10,此时 K点就是 C点；综上所述,所求的点即为C点, CEF的面积最大,最大值是40 平方厘米；说明： 最值点往往在特别位置取得,或由极端情形动身,逐步调整到最值状态；此题也可以这来说,由于 E、F 两点肯定,所以以EF为 EFG的底,对应的高越长,EFG的面积越大,而过C 点作EF的高线是最长的,因此当G与 C重合时, EFG的面积最大；例 5、某甲于上午 9 时 15 分由码头划船出游,最迟于中午12 点返回原码头；已知河水的流速为1.4 千米 / 小时,划船时,船在静水中速度可达3 千米 / 小时,假如甲每划30 分钟就要休息 15 分钟,并且船在划行中

27、不转变方向,只能在某次休息之后往回划,求甲最多能划离码头多远；解：先假设甲向下游划,就他划行30 分钟,休息 15 分钟共航行的距离为：（3+1.4） 0.5+1.4 0.25=2.55 （千米）而返回时用 3 个 30 分钟, 2 个 15 分钟休息,可以航行的距离为：（3-1.4 ） 1.5-1.4 0.5=1.7 千米由此可见,甲假如开头向下游划,那么到12 点时将不能回到动身地；假如甲开头向上游划,划了3 个 30 分钟的时间段,并休息了2 个 15 分钟后,从第 3 个休息的15 分钟起就已经随水流向回去的方向漂了；因此,甲离开码头最远的距离为：（3-1.4 ） 1.5-1.4 0.

28、5=1.7 千米再验证一下剩下的时间他能否返回原码头：此时仍余一个 15 分钟的休息时间和一个30 分钟的划行时间,可行驶的距离为：1.4 0.25+（3+1.4） 0.5=2.55 千米,可见,他不到 所以甲最远只能离开码头 1.7 千米12 点时就能返回到动身点；说明：（1）当题目中没有指明航行的方向时,应分情形争论；（2）留意船向上游划了3 个 30 分钟,并休息了 3 个 15 分钟后,开头往回划,在第三个15 分钟休息开头后,船离码头已经逐步变近了,千万不能用（的最远距离；（3）留意题目中单位要一样；3-1.4 ） 1.5-1.4 0.25 3 当作船离开码头例 6、要把 1 米长的

29、优质铜管锯成长 38 毫米和长 90 毫米两种规格的小铜管,每锯一次都要损耗1 毫米的钢管,那么只有当锯得的 少？38 毫米的钢管和 90 毫米的钢管各多少段时,所损耗的钢管才能最分析： 要使损耗的钢管最少,应当使锯的次数最少,而且 1 米长的钢管不要有剩余；解：设 38 毫米、 90 毫米的钢管分别锯了x 段、 y 段,一共需要锯（ x+y-1 ）次,由题意得：38x+90y+（x+y-1 ）=1000,并且要使 x+y 最小,化简方程得 y=11-3 x,由于 x、y 都是正整数,得：7 要使锯的次数最少,应取 x=7,y=8 即当锯得 38 毫米的钢管 7 段,90 毫米的钢管 8 段时

30、,才能使钢管的损耗最少；例 7、一个自然数与 3 的和是 5 的倍数,与 3 的差是 6 的倍数,在这样的自然数中,最小的一个 是多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：与 3 的和是 5 的倍数的自然数从小到大依次为：2、7、12、17、22、27、32 与 3 的差是6 的倍数的自然数从小到大依次为：9、15、21、27、33、39、45 27 是第一个同时符合两个条件的自然数,故满意条件的最小的自然数是 27；说明： 将符合某条件的自然数一一列举,逐一比较,从中找出最值,这种方法叫枚举法

31、；例 8、用 10 元钱买 4 角、8 角、 1 元的画片共 15 张,就最多可买 1 元的画片几张？解：设 1 元的画片买了 x 张,8 角的画片买了 y 张,就 4 角的画片买了（ 15-x-y ）张,共用了 10元钱,可列方程： 0.4 （15-x-y ）+0.8y+x=10 即 2y+3x=20,x2032y62 13y,x 最大, y 应当最小,故 y=1,x=6,15-x-y=8 因此, 1 元的画片最多买 6 张说明： 此题也可以一一试验,从买 9 张 1 元的开头,逐步削减,直到买 6 张为止；例 9、某人从金坛动身去扬州、常 金坛 常州 扬州 苏州 杭州州、苏州、杭州各一次,

32、最终返回金坛；金坛 0 30 40 50 60 已知各城市之间的路费如表所示, 请为 常州 30 0 15 25 30 他设计一条路费最省的路线； （单位：扬州 40 15 0 15 25 元）苏州 50 25 15 0 15 分析 ：画张图,帮忙摸索,将两个 杭州 60 30 25 15 0 城市之间的旅费标在这两个城市的连线上,很简洁找到一条价钱是 130 元的路线；下面说明这是最少的费用；解：任一条路线都有一段是经过扬州、常州、苏州和杭州的折线；假如取都标 15 元的三段,从金坛进出就要 （15 3+30+60）元,总价钱超过130 元；假如这条折线上有两段标15,一段标25,那么从金坛

33、进出就要 （40+60+2 15+25）或（30+50+2 15+25）元,总价超过 130 元；而只有路线：金坛常州杭州苏州扬州金坛或 金坛扬州苏州杭州常州金坛共需130 元,这是最少的路费；例 10、六位同学数学考试的平均成果是92.5 分,他们的成果是互不相同的整数, 最高分是 99 分,最低分是 76 分,就按分数从高到低居第三位的同学至少得多少分？分析：六位同学的总分为 92.5 6=555 分,要使第三名同学得分尽可能少,其次名应仅次于第一名的得分 99 分,因此其次名同学得 得分接近；98 分,同时应使第四、第五名同学的得分尽可能与第三名同学的解：92.5 6-99-98-76=

34、282 第三、四、五名同学的总分是282 分；由于 282 3=94 分,因此要使这三名同学得分接近,应为 排列居第三名的同学至少得 95 分；95、94、93 分；所以按分数从高到低名师归纳总结 例 11、已知 2 不大于 A,A 小于 B,B 不大于 15,A 和 B 都是自然数,求AB的最小值；第 9 页,共 11 页AB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载5解：由题意知 2AB15,且 A、B都是自然数ABAB11ABABABAB要使AB最小,应使 A、B 尽可能大,故 A=14,B=15 AB141529ABAB1415210例

35、 12、有一个长方体的盒子,从里面量长40 厘米,宽 12 厘米,高 7 厘米,在这个盒子里放长厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块最多能放多少块？分析：由（40 12 7） （5 4 3）=56,可知最多可放 56 块,怎样才能不铺张一点空间呢？解：第一层摆长为 5 厘米、宽为 4 厘米、高为 3 厘米的长方体木块,（40 5） （ 12 4）=24 个,其次层摆长为 5 厘米、宽为 3 厘米、高为 4 厘米的长方体木块,（ 40 5） （ 12 3）=32 个,由于 7=4+3,恰好可以摆放两层,因此最多能放 56 块；56 块,仍必需要指明是如何摆放的；同一个小长方体木块既可以看

36、成高为 4 说明：最多可摆放厘米,也可以看成高为 3 厘米；例 13、将如干只鸡放入如干个笼中, 如每个笼中放 4 只,就有一鸡无笼可放； 如每个笼里放 5 只,就有一笼无鸡可放,求最少有几个笼？解：设有 x 个笼,就共有（ 4x+1）只鸡,当每个笼中放5 只鸡时,有一笼无鸡可放,这说明x 个笼中有一个空笼,仍有一个笼中不肯定放满5 只,但至少 1 只至多 5 只,有（ x-2 ）个笼里放满 5 只；故 14x+15（x-2 ）5,解得 6x10,由 x 是整数,就 x 最小取 6,且当 x=6 时,有鸡 25 只,满意题意,故至少有 6 个鸡笼；例 14、有一种电子嬉戏,从第一关开头打,打通

37、一关进入下一关,共有很多关,每关最多可得800 分,另外每获得 1000 分就可获得一次嘉奖（即在得到 1000 分、 2000 分、3000 分 以后各得一次嘉奖）,每一次嘉奖最多为 500 分,打到第四关,最多可得多少分？要得到 12000 分,至少要打到第几关？解：打通第一关得到 800 分,打通其次关得到 1600 分,其间得到嘉奖分 500 分,共 2100 分,在得到 2000 分时又获得嘉奖 500 分,共得 2600 分,第三关得到 2600+800=3400分,其间得到嘉奖分500 分,共得 3900 分,第四关得到 3900+800=4700分,其间在 4000 分时获得嘉

38、奖 500 分,共计 5200分,其间在 5000 分时获得嘉奖 500 分,所以在打通第四关时得分是 5700 分；假定打到某一关时得分超过 12000 分,那么由于满整千分就可以得到嘉奖分,因此在得到 12000分以前,已经获得了 11 次嘉奖,共得嘉奖分最多为 500 11=5500 分,所以各层打的分至少有12000-5500=6500 分,每关得分 800,6500 8=8 100,因此至少要打到第 9 关；例 15、由三个非零数字组成的三位数与这三个数字之和的商记为 K,假如 K 为整数,那么 K的最大值是多少？解：设这个三位数的各位数字之和为a,由三个数字均不为零,知3a27；当

39、 a9 时,对每一个确定的a,要使 K 最大,应使这个三位数最大,即十位数字和个位数字都取 1,百位数字取（ a-2 ）,当 a=3,4,5,6,7,8,9 时, K=37,52.75 ,62.2 ,68.5 ,73,101.83 ,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载79,因此当 a9 时,最大的整数 K=711 （7+1+1）=79；下面证明 K=79是最大的；如 a=10,就 aK 的个位数字是 0,即这个三位数的个位数字是0,与题意不符；如 a=11,就三位数最大是911,911 11=8

40、2.8,商不是整数；而81 11=891,82 11=902,80 11=880 均不合要求；如 a=12,最大的三位数是 921,而 921 1279 如 a13,由于 a 7913 79=10271000,这与题意不符；综上所述, K 的最大值是 79；例 16、假如 a,b 为正整数,且 24a+168b为完全平方数,求a+b 的最小值；分析：由于 a,b 为正整数,要求 a+b 的最小值；因此我们可以从最小的正整数开头试验；a=1,b=1；a=1,b=2；a=1,b=3 a=2,b=1；a=2,b=2；a=2,b=3 a=3,b=1；a=3,b=2；a=3,b=3 不难得出当 a=3,b=3时,24a+168b为 24的平方,就 a+b的最小值是 6；假如 a+b的最小值很大,明显这种方法是不太好的；下面我们换一种方法来做；解：24a+168b=2 2 2 3 （a+7b）,又 a,b 为正整数,就 a+7b8,要使 2 2 2 3 （a+7b）是完全平方数,就a+7b 必有因数 6 K 2,K 是正整数；要使 a+b 的值最小,就 K应当最小；因此K=2,当 K=2时, a+7b=24 即当 a=3,b=3时, a+b 的值最小是 6,此时 24a+168b是 24 的平方；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页