2022年分段函数的几种常见题型及解法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载分段函数的几种常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范畴内, 有不同的对应法就的函数, 它是一个函数 , 却又经常被同学误认为是几个函数 ; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集 . 由于它在懂得和把握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用 , 经常在高考试题中 “ 闪亮”登场 , 笔者就几种详细的题型做了一些摸索 , 解析如下：1求分段函数的定义域和值域2x2x 1,0;-1y12x例 1求函数f x 1 2xx0, 2;的定义域、33x2,;21值域 . o【解析

2、】易 知f x 的 定 义 域 为-1作 图 , 利 用 “数 形 结 合 ” 1, , 值域为 1,3 . 2求分段函数的函数值例 2（05 年浙江理）已知函数f x |x1|,2, |x| 1求f f . 11|x| 1x2【解析】由于f 1|1 21|23 2, 所以ff 1f3 2113 224. 133求分段函数的最值名师归纳总结 例 3求函数f x 4x3 x01的最大值 . 第 1 页,共 5 页xx30x5 x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】当x0时, f精品资料3欢迎下载x1 时 , fmax f14, max f0, 当

3、 0当x1时, x51 54, 综上有fmax 4. 4求分段函数的解析式例 4在同一平面直角坐标系中, 函数yf x 和yg x 的图象关于直线yx对称, 现将yg x 的图象沿 x 轴向左平移2 个单位 , 再沿 y 轴向上平移1 个单位 , 所得的图象是由两条线段组成的折线（如下列图）, 就函数f x 的表达式为（）A .f x 2x2 1x0x 220x2y 3 2 1B .f x 2x22 1x0x 20x2C.f x 2x12 1x2-2-1o1xx2x42D.f x 2x6 1x2x 232x4【解析】当x 2,0时, y1x1, 将其图象沿x轴向右平移2 个单位 , 再沿 y

4、轴向下2平 移1个 单位, 得解析式 为y1 2x21 11 2x1, 所以fx2x2x, 当x0,1时, y2x1, 将其图象沿x 轴向右平移221 12x4, 所以个单位 , 再沿 y 轴向下平移1 个单位 , 得解析式y2xf x 1 2综上可得f x 2x2 1xx0, 应选 A. x2 x0, 2, x 22025作分段函数的图像名师归纳总结 例 5函数y|ln | e|x1|的图像大致是（）第 2 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载y y1oA1x1B1xOyy11x11xOOC D6求分段函数得反函数例 6

5、 已知yyf x 是定义在 R 上的奇函数, 且当x0时 , f x 3 x1, 设f x 得反函数为g x , 求g x 的表达式 . 【解析】所以设xx0, 就x0, 所以fx3x1, 又由于f x 是定义在 R上的奇函数 , ff x , 且f00, 所以f x 13x, 因此f x x 31 x0log 3x1x00x0, 从而可得g x 0x0. 13xx0log 1x x07判定分段函数的奇偶性例 7判定函数f x x2xx1x0的奇偶性 . x21 x0【解析】名师归纳总结 f当xf0时 , 0, x当0, 0fx, x2 xx1x2x1f x , x当x0时 , 第 3 页,共

6、 5 页 00x, x0f2 x x1x21f x - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因此 , 对于任意 xR都有fx 精品资料欢迎下载f x , 所以f x 为偶函数 . 8判定分段函数的单调性例 8判定函数f x x32x x0的单调性 . xx0【解析】明显f x 连续 . 当x0时, f 3x211恒成立 , 所以f x 是单调递增函数, 当x0时 , f 2x0恒成立 , f x 也是单调递增函数, 所以f x 在 R上是单调递增函数; 或画图易知f x 在 R上是单调递增函数. 5 2例 9写出函数f x |12 | 2x 的单调减区间 .

7、 y3x1 x1 25【解析】f x 3x1 2x2, 画图易知单调3x1 x2减区间为,1 . -1o2x229解分段函数的方程例 10（01 年上海）设函数f x 2x81x,1, 就满意方程f x 1的 x 的logx x1,4值为【解析】如2x1, 就2x22, 得x2,1, 所以x2（舍去） , 如log81x1 4, 41就x814, 解得x31, 所以x3即为所求 . 10解分段函数的不等式例11 设 函 数f x 21x1 x0 , 如yx2x01名师归纳总结 -11x第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x01,

8、 就0x 得取值范畴是（精品资料欢迎下载）A . 1,1B. 1,C. , 20,D. , 11,【解析 1】第一画出y1,f x 和y1的大致图像 , 易知f x01时, 所对应的0x 的取值范围是 , 1 . 【解析 2】因 为f x01, 当x 00时 , 2x 01 1, 解 得x 01, 当x 00时 , 1x 021, 解得x 01, 综上0x 的取值范畴是, 11, . 应选 D. f x x2 1x1, 就使得f x 例 12设函数1的自变量 x 的取值范畴为（4x1 x1）A , 20,10 B. , 20,1C. , 21,10 D. 2,01,10【解析】当x1时 , f x x1x121x12或x0, 所 以x2 或0x1, 当x1时 , 310f x 14x11xx, 所以 1x10, 综, 上所述 , x2或 010应选 A 项. 【点评：】以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 如能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合名师归纳总结 思想、等价转化思想、分类争论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 成效明显 . 第 5 页,共 5 页- - - - - - -