2022年平面向量的基本定理及坐标表示导学案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 23平面对量的基本定理及坐标表示导学案【学习目标】1. 明白平面对量的基本定理及其意义；2. 把握平面对量的正交分解及其坐标表示；3. 会用坐标表示平面对量的加法 . 减法与数乘运算；4. 懂得用坐标表示的平面对量共线的条件；【重点难点】平面对量基本定理及其应用、平面对量的坐标运算及平面对量共线的坐标表示；【学问梳理】1. 两个非零向量的夹角（1）定义： 已知两个非零向量a 和 b , 作OAa OAb , 就_叫做向量 a与 b 的夹角；（2）范畴： 向量夹角 的范畴是 _ _, a 与 b 同向时 , 夹角 _; a 与 b 反向时 , 夹

2、角 _；（3）向量垂直： 假如向量 a 与 b 的夹角是 90 2. 平面对量基本定理及坐标表示0, 就 a 与 b 垂直 , 记作 a b ；（1）平面对量基本定理：假如 e e 是同一平面内的两个 _向量 , 那么对于这一平面内的任意向量 a , 有且只有一对实数 1, 2, 使 a _ _；不共线的向量 e e 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；（2）平面对量的正交分解：把一个向量分解为两个相互垂直的向量, 叫做把向量正交分解.（3）平面对量的坐标表示在平面直角坐标系中, 分别取与x 轴、 y 轴方向xi的两个单位向量,i j 作为基底 , 对于平面内的一个向量a, 有且只有一对实数

3、x,y, 使 ay j , 把有序数对（ x,y ）叫做向量 a 的坐标 , 记作 a =（x,y ）, 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标 ,y 叫做 a在 y 轴上的坐标；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设 OAxiy j , 就向量 OA的坐标（ x,y ）就是的坐标 , 即如 OA=（ x,y ）, 就A. 点坐标为（ x,y ）, 反之亦成立 . （O为坐标原点）3. 平面对量的坐标运算（ 1）加法 . 减法 . 数乘运算向量ax 2by 2a+ba - ba坐标x 1,y 1,（ 2）向量坐标的求法

4、已知A x 1,y 1,B x 2,y 2, 就 AB =_, 即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标. （ 3）平面对量共线的坐标表示设 a =x 1,y 1, b =x 2,y2, 其中 b 0, 就 a 与 b 共线a = b _. 【典例探究】（一）平面对量基本定理及其应用1. 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底 这组基底的线性组合 , 基底不同 , 表示也不同 ; , 该平面内的任意一个向量都可表示成2. 对于两个向量a, b , 将它们用同一组基底表示, 我们可通过分析这两个表示式的关系,来反映 a 与 b 的关系 ; 3. 利用已知向量表示未知向量 的加减运算或进

5、行数乘运算 . , 实质就是利用平行四边形法就或三角形法就进行向量名师归纳总结 注：由于基底向量不共线, 所以 0 不能作为一个基底向量. 第 2 页,共 5 页例 1如图：在平行四边形ABCD 中,M,N 分别为 DC , BC的中点 , 已知AMc ANd 试用c d 表示AB AD . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2如图, OA , OB 不共线, AP =t AB t（二）平面对量的坐标运算R用 OA , OB 表示 OP . 名师归纳总结 - - - - - - -1. 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法就进行, 如已知有向

6、线段两端点的坐标, 就应先求出向量的坐标, 解题过程中要留意方程思想的运用；2. 利用向量的坐标运算解题,主要是依据相等的向量坐标相同这一原就, 通过列方程（组）进行求解; 3. 利用坐标运算求向量的基底表示, 一般先求出基底向量和被表示向量的坐标, 再用待定系数法求出线性系数; 4. 向量的坐标运算, 使得向量的线性运算都可用坐标来进行, 实现了向量运算完全代数化, 将数与形紧密结合起来, 就可以使得许多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算. 例3. 已 知A2 , 4 B3, 1,C 3, 4. 设ABa BCb ,CAc且CM3 , c CN2 , b 求：（1） 3ab3 ;（2）满

7、意 ambnc 的实数 m,n; （3）M N 的坐标及向量MN 的坐标 . 第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - （三）平面对量共线的坐标表示向量共线的坐标表示供应了通过代数运算来解决向量共线的方法 , 也为点共线 . 线平行问题的处理供应了简单操作的方法. 解题时要留意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特点 , 应学会利用这一点来构造函数和方程 , 以便用函数与方程的思想解题 . 例 4. 已知 a 1,2, b 3,2, 当 k 为何值时 , ka b 与 a 3 b 平行 ; 平行时它们是同向仍是反向？（四）向量与其他学问的综合名师归纳总结 例 5.

8、已知向量u , x y 与向量v ,2yx 的对应关系用vf u 表示 . 第 4 页,共 5 页（1）设a1,1, b1,0, 求向量f a 与f b 的坐标 ; mf a nf b 成立 . （2）求使f c p q , p、q为常数 的向量 c 的坐标 ; （3）证明：对任意的向量a b、 及常数 m,n 恒有f manb- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例1 答：AB4d2c,AD4c2d3333例4 答案（ k=-1 , 反向）3变式：（11 年北京理 10）3 ）；如 a-2b 与 c 共线,就 k=_；已知向量 a=（3 ,1）, b=（0,-1）,c=（ k,【答案】 1 名师归纳总结 例 5 答案：fa1,1,fb0 ,1 ,c2pq,p,证明略第 5 页,共 5 页- - - - - - -