2022年微分方程求解.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一节 微分方程的基本概念学习目的： 懂得并把握微分方程的基本概念,主要包括微分方程的阶, 微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等 学习重点： 常微分方程的基本概念,常微分方程的通解、特解及初始条件 学习难点： 微分方程的通解概念的懂得 学习内容：1、第一通过几个详细的问题来给出微分方程的基本概念；（1）一条曲线通过点（1,2）,且在该曲线上任一点M（x,y）处的切线的斜率为2x,求这条曲线的方程；解 设曲线方程为yyx. 由导数的几何意义可知函数yyx满意（1）dy2xdx同时仍满意以下条件：x1时,y2（2）把（ 1）式两端积分,得y2

2、xdx即yx2C（3）其中 C 是任意常数；把条件（ 2）代入（ 3）式,得C1,由此解出 C 并代入（ 3）式,得到所求曲线方程：（2）列车在平直线路上以20m/syx210 .（4）4 m/s2.的速度行驶；当制动时列车获得加速度问开头制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程？数s解 设列车开头制动后t 秒时行驶了s 米；依据题意,反映制动阶段列车运动规律的函s t满意：d2s0 .4（5）dt2此外,仍满意条件：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 式两端积分一次得：t0时,s,0vds

3、20（6）dtvds.04 tC 1（7）（8）（9）（10）dt再积分一次得s0.2 t2C1 tC2其中C1,C2都是任意常数；把条件“t0时v20” 和“t0时s0” 分别代入（）式和（）式,得C120,C20把C 1,C2的值代入（ 7）及（ 8）式得v0 t20,s0.2 t220t在（ 9）式中令v0,得到列车从开头制动到完全停止所需的时间：t2050 s ；0 4.再把t5代入（ 10）式,得到列车在制动阶段行驶的路程s0 .25022050500m .上述两个例子中的关系式（1）和（ 5）都含有未知函数的导数,它们都是微分方程；2、 定义 一般地,凡表示未知函数、未知函数的导数

4、与自变量之间的关系到的方程,叫做微分方程； 未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程,叫做偏微分方程；本章只争论常微分方程；微分方程中所显现的求知函数的最高阶导数的阶数 ,叫做微分方程的阶； 例如,方程（ 1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程；又如,方程2xy44y 10y12y5ysin是四阶微分方程；一般地,n阶微分方程的形式是名师归纳总结 其中 F 是个n2Fx,y ,y ,yn,011）中,yn（11）第 2 页,共 20 页变量的函数；这里必需指出,在方程（是必需显现的,而- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

5、x ,y ,y,yn1 等变量就可以不显现；例如n 阶微分方程 n y 1 0 n 中,除 y 外,其他变量都没有显现；假如能从方程（11）中解出最高阶导数,得微分方程 n n 1 y f x , y , y , , y .（12）以后我们争论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程,且（12）式右端的函数 f 在所争论的范畴内连续；由前面的例子我们看到,在争论某些实际问题时,第一要建立微分方程,然后找出满意微分方程的函数,就是说,找出这样的函数,把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式；这个函数就叫做该微分方程的解；准确地说,设函数 y x 在区间 I 上有 n 阶连续导

6、数,假如在区间 I 上,nF x , x , x , , x 0 ,那么函数 y x 就叫做微分方程（11）在区间 I 上的解；例如, 函数（ 3）和（4）都是微分方程 （1）的解； 函数（ 8）和（10）都是微分方程（ 5）的解；假如微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做 微分方程的通解；例如,函数（ 3）是方程（ 1）的解,它含有一个任意常数,而方程（1）是一阶的,所以函数（3）是方程（ 1）的通解；又如,函数（8）是方程的解,它含有两个任意常数,而方程（5）是二阶的,所以函数（8）是方程（ 5）的通解；由于通解中含有任意常数,所以它仍不能完全确定地

7、反映某一客观事物的规律性,必需确定这些常数的值；为此,要依据问题的实际情形提出确定这些常数的条件；例如,例 1中的条件（ 2）,例 2 中的条件（ 6）,便是这样的条件；设微分方程中的未知函数为yyx,假如微分方程是一阶的,通常用来确定任意常数的条件是名师归纳总结 或写成x|xx0时,yy0,第 3 页,共 20 页y0yx 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其中0x ,y 都是给定的值；假如微分方程是二阶的,通常用来确定任意常数的条件是：xx0时,yy0,y y00或写成y|xx 0y0,y |xx 0y其中0x ,y 和0y都是给定的值；上述条件

8、叫做初始条件 ；例如（ 4）式是方程（ 1）满确定了通解中的任意常数以后,就得到了微分方程的特解足条件（ 2）的特解；（10）式是方程（ 5）满意条件（ 6）的特解；求微分方程 y f x , y 满意初始条件 y | x x 0 y 0 的特解这样一个问题,叫做一阶微分方程的 初值问题 ,记作y f x , y ,（13）y | x x 0 y 0 .微分方程的解的图形是一条曲线,叫做 微分方程的积分曲线；初值问题 （13）的几何意义是求微分方程的通过点 x 0 y 0 的那条积分曲线；二阶微分方程的初值问题y f x , y , y ,y | x x 0 y 0 , y | x x 0 y

9、 0的几何意义是求微分方程的通过点 x 0y 0 且在该点处的切线斜率为 0y 的那条积分曲线；3、 例题例 1验证：函数xC1cosktC2sinkt（14）是微分方程d2xk2x0（15）dt2的解；名师归纳总结 解求出所给函数（214）的导数kC 1sinktkC2coskt,ktC2sinkt第 4 页,共 20 页dxdtd2xkC 1cosktk2C2sinktk2C1cosdt2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 把d2x及 x 的表达式代入方程（15）得dt2k2 C1cosktC2sinkt+k2C1cosktC2sinkt015）函数

10、（ 14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式,因此函数（14）是微分方程（的解；小结：本节叙述了微分方程的基本概念,及一般形式,常微分方程的通解、特解及微分方程的初始问题其次节 可分别变量的微分方程学习目的： 娴熟把握可分别变量的微分方程的解法学习重点： 可分别变量的微分方程的解法学习难点： 可分别变量的微分方程的解法学习内容：本节开头 , 我们争论一阶微分方程yfx,y 1 的一些解法 . 一阶微分方程有时也写成如下的对称形式: x ,ydy02 Px,ydxQ在方程 2中,变量 x 与 y 对称 ,它既可以看作是以为x 自变量、 y 为未知函数的方程dyPx ,yQx ,y 0, d

11、xQx ,y也可看作是以x 为自变量、 y 为未知函数的方程Px,y0, dxQx ,ydyPx ,y在第一节的例1 中,我们遇到一阶微分方程,dy2xdx或dy2xdx.把上式两端积分就得到这个方程的通解：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - yx2C；但是并不是全部的一阶微分方程都能这样求解；例如,对于一阶微分方程dy2xy2（3）3）的右端含有未知dx就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解；缘由是方程（函数 y 积分求不出来；为我解决这个困难,在方程（2xy2dxdx ,使方程（ 3）变为 2 y3）的

12、两端同时乘以dy2xdx,y2这样,变量 x 与 y 已分别在等式的两端,然后两端积分得或y1x2C（4）yx21C其中 C 是任意常数；可以验证,函数（4）的确满意一阶微分方程（3）,且含有一个任意常数,所以它是方程（ 3）的通解；一般地,假如一个一阶微分方程能写成g y dy f x dx（5）的形式,就是说,能把微分方程写成一端只含 y的函数和dy,另一端只含 x 的函数和 dx,那么原方程就称为 可分别变量的微分方程；假定方程 （5）中的函数 g y 和 f x 是连续的, 设 y x 是方程的解, 将它代入 （ 5）中得到恒等式名师归纳总结 将上式两端积分,并由yxgxxdxffxd

13、x .第 6 页,共 20 页引进变量 y ,得x dxgy dy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设Gy及Fx依次为g y 和fx的原函数,于是有G y F x C（6）因此,方程（ 5）满意关系式（6）；反之,假如 y x 是由关系到式（6）所确定的隐函数 ,那么在 g y 0 的条件下,y x 也是方程（ 5）的解；事实上,由隐函数的求导法可知,当 g y 0 时,F x f x x ,G y g y 这就表示函数 y x 满意方程 （5）；所以假如已分别变量的方程（5）中 g y 和 f x 是连续的, 且 g y 0,那么（5）式两端积分后得

14、到的关系式（6）,就用隐式给出了方程（ 5）的解,（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解； 又由于关系式 （6）中含有任意常数, 因此（ 6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解,所以（6）式叫做微分方程（5）的 隐式通解 ；例 1 求微分方程dy2xy（7）dx的通解；名师归纳总结 解方程（ 7）是可分别变量的,分别变量后得第 7 页,共 20 页dy2xdxy两端积分dy2xdx ,y得lnyx2C 1,从而yex 2C 1e C 1x e2；又由于C e1仍是任意常数,把它记作C 便得到方程（ 7）的通解yCex2；例 2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素,铀的含量就不

15、断削减, 这种现象叫做衰变；由原子物理学知道,铀的误变速度与当时未衰变的原子的含量M- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 成正比；已知t0时铀的含量为M0,求在衰变过程中含量Mt随时间变化的规律；解铀的衰变速度就是Mt对时间 t 的导数dM ；由于铀的衰变速度与其含量成正 dt比,得到微分方程如下其中0是常数,叫做衰变系数；dMM,t 增加时（8）dtM 单调削减,即前的负号是指由于当dM0的缘故；dt由题易知,初始条件为M| t0M0方程（ 8）是可以分别变量的,分别后得两端积分MM0dMtdt .dt .MdMM以lnC表示任意常数,由于,得lnC,l

16、nM即Cet.是方程（ 8）的通解；以初始条件代入上式,解得故得M0Ceot.CMM0e由此可见,铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减；小结： 本节叙述了一阶微分方程中可分别变量的微分方程,及其解法；第三节 齐次方程学习目的： 娴熟把握齐次微分方程的解法 学习重点： 齐次方程的解法 学习难点： 齐次方程的解法 学习内容：1、 齐次方程的形式假如一阶微分方程名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - yfx ,y中的函数fx,y可写成y 的函数,即 xfx ,yxy x,就称这方程为齐次方程 ；例如xydxydy0是齐次方程

17、,由于其可化为dyxy1y.x ydxxy1x2、 齐次方程fx ,y y（1）x的解法；名师归纳总结 作代换uy,就yux,于是第 9 页,共 20 页x从而xdyuxdu.udx dudxu ,dxdu uu,dxx分别变量得duudxux两端积分得duudxux求出积分后,再用y 代替 u ,便得所给齐次方程的通解；如上例 xxduu1udx1u分别变量,得1u dudx1u2x积分后,将 u =y 代回即得所求通解；x例 1 解方程xyy1lnylnx ；解原式可化为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令 u =y ,就 xdyxduu,dyy

18、1lny,dxxxdxdx于是分别变量xduuu 1lnu Cdx dudxulnux两端积分得lnlnulnuln即lnuCxueCx；故方程通解为yCx xe；3、 练习1 x2 2y2y2xy2xydy0通解为lnyyyC1x2 3xdx通解为x22Cx小结： 本节叙述了齐次方程,及其解法第四节 一阶线性微分方程学习目的： 把握一阶线性微分方程的形式,娴熟把握其解法； 把握利用变量代换解微分方程的方法；明白贝努利方程的形式及解法 学习重点： 一阶线性微分方程的形式 , 及解的形式,利用变量代换解微分方程 学习难点： 一阶线性微分方程通解的形式,利用变量代换解微分方程 学习内容：一、 线性

19、方程名师归纳总结 1、定义方程dyPx yQ x （ 1）称为一阶线性微分方程；第 10 页,共 20 页dx特点 关于未知函数y 及其导数y 是一次的；如Qx0,称（ 1）为齐次的；如Qx0,称（ 1）为非齐次的；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如：（1）y2xy2xex 2（ 2）y2yx152x12、解法当Qx0时,方程（ 1）为可分别变量的微分方程；（2）当时,为求其解第一把Qx换为 0,即Qx0dyP xy0dx称为对应于（ 1）的齐次微分方程,求得其解为求（ 1）的解,利用常数变易法,用yCePx dxyu x ePx dxu x 代替

20、C ,即于是,dyu ePxdxuePxdxP x dx代入（ 1）,得故求方程yeuxdxQ xePxdxdxCC；（3）PQxePxdxdx3、例y2yx1 5（4）2x1的通解 . 解 这是一个非齐次线性方程；先求对应的齐次方程的通解；名师归纳总结 用常数变易法；把C 换成lndy2y0,（5）第 11 页,共 20 页dxx1dy2dx,yx1y2lnx1 lnCu x yCx1 2,即令- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yux1 2,就有dyux1 22 u x1,dx代入（ 1）式中得1两端积分,得u2xux12,1 3C；23再代入（ 4

21、）式即得所求方程通解另解我们可以直接应用（yx1 22xe1 3dxC；233）式yePx dxQxPxdxC得到方程的通解,其中,Pxx21,Qx x1 52代入积分同样可得方程通解yx1 22x1 3C,23此法较为简便,因此,以后的解方程中,可以直接应用（3）式求解；二、 贝努力方程名师归纳总结 1、定义dyP x yQ x ynn0 1, 称为贝努力方程；第 12 页,共 20 页dx当n01,时,为一阶线性微分方程；2、解法两边同除yn令z1 yyndyPx 1 ynQ x dxn,就有dz1n yndydxdx11ndzPx zQxdx- - - - - - -精选学习资料 - -

22、 - - - - - - - 而dz1n Px z 1nQ xdx为一阶线性微分方程,故ze 1nPxdx1nQxe1nPxdxdxC；贝努力方程的解题步骤（1）两端同 1nyn3y6x3Cx5；（2）代换zy1n（3）解关于 z 的线性微分方程（4）仍原例解方程xyyx解过程略,通解为y552三、 利用变量代换解微分方程解得例 解方程xyyylnxxlnyuulnu解令xyu,就du dxydy,于是dx duylnueCx,即xyeCxdxx例 解方程dy dx1Cey；xy1xy解过程略,通解为小结： 本节叙述了一阶线性微分方程,及贝努力方程的解法,利用常数变易法,和变量代换法来解微分方

23、程；第五节 全微分方程学习目的： 把握全微分方程成立的充要条件,法找积分因子把握全微分方程的解法, 会用观看学习重点： 全微分方程的解法,观看法找积分因子 学习难点： 全微分方程的解法,观看法找积分因子 学习内容：名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、定义如Px,ydxQx ,ydy0（1）恰为某一个函数的全微分方程,即存在某个 u x , y ,使有 du P x , y dx Q x , y dy,就称（ 1）为全微分方程；可以证明 u x , y C 是（ 1）式的隐式通解；2、解法 如 P x , y ,

24、Q x , y 在单连通域 G 内具有一阶连续偏导数,条件P Qy x是（ 1）式为全微分方程的充要要条件；就通解为u x,y4xPx ,y dxyQx ,y dyC；2dy02x 0y 0例 1 求解5x3xy2y3dx3x2y3xy2y解 令 P45x3xy2y3,Q3x2y3 xy2yP6xy3y2Qyx此方程为全微分方程；于是通解为x53x2y2ux,y xx5 x43xy23y3dx3yy2dy00xy3533x2y2xy1 3y21yC233、积分因子如P,yQ x,就（ 1）式不是全微分方程,但如有一个适当函数x ,y ,使（ 1）y式乘以x后为全微分方程,称函数x,y为积分因子

25、；一般积分因子不好求,我们只要求通过观看找到积分因子；名师归纳总结 例2方程ydxxdy0不是全微分方程,但第 14 页,共 20 页dxydx2xdy于是将方程乘以1,就有yyydxy2xdy0,y2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即dx0,从而xC为其通解；此时1为其积分因子；yyy2留意 积分因子一般不唯独；于是如上述方程,如同乘1 有 xyxdxdy0,1 也是其积分因子；xyxydlnxlny0,即C为其通解；y小结：本节叙述了全微分方程的解法,程的充要条件 ；用观看法长积分因子, 使之满意全微分方第六节 可降阶的高阶微分方程 学习目的：

26、把握三种简单降阶的高阶微分方程的求解方法 学习重点： 三种可降阶的高阶微分方程的求法 学习难点： 三种可降阶的高阶微分方程的求法 学习内容：一、ynyfx型,就原方程可化为dzfx ,令n1 zdx于是zyyn1 fx dxC 1C2同理nfx dxC 1 dx； ；n 次积分后可求其通解；名师归纳总结 二、其特点：只含有yn和 x ,不含 y 及 y 的1n1 阶导数；第 15 页,共 20 页例 1 解方程y12x1解得y12x15C1x2C2xC3为其通解；215yfx,yp,于是可将其化成一阶微分方程；令yp,就y 特点含有y,y ,x,不含 y ；- - - - - - -精选学习资

27、料 - - - - - - - - - 例 2 xyyx20三、解得通解为yy1x3C1lnxC2pdp,9yfy,令yp,就y dpdpdydxdydxdy于是可将其化为一阶微分方程；特点不显含 x ；0例 3 yy y2y解 化为一阶线性或可分别变量的微分方程,解得通解为ln1C1C 1xC2；小结： 本节叙述了三种简单降阶的高阶微分方程及其求解方法第七节 高阶线性微分方程学习目的： 把握二阶线性方程解的结构,特解及通解的形式；齐次线性方程的通解, 非齐线性方程的学习重点： 齐次线性方程的通解,非齐线性方程的特解及通解的形式；学习难点： 齐次线性方程的通解,非齐线性方程的特解及通解的形式；

28、学习内容：1、定义：方程02 d yP x dyQ x yf x 1 称为二阶线性微分方程；dx2dx当f x 时称为齐次的,当f x 0时称为非齐次的；为求解方程（ 1）需争论其解的性质2、解的性质2 d yP x dyQ x y0（ 2）C y2 x 也是（ 2）的解,dx2dx性质 1 如y x ,y2 x 是（ 2）的解,就yC y 1 其中C ,C 为任意常数；称性质 1 为解的叠加原理；名师归纳总结 但此解未必是通解,如y x 3y2 x ,就y x C23C 1y 2 x ,那么第 16 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

29、C y x C y 2 x 何时成为通解？只有当1y 与y 线性无关时；线性相关设y 1,y2,L,y n是定义在区间I 内的函数, 如存在不全为零的数k k2,L,kn使得k y 1k y 2Lk y n0恒成立,就称y 1,y 2,L,y n线性相关；线性无关不是线性相关；如：1,cos2x ,sin2x 线性相关,2 1, ,x x 线性无关；对两个函数,当它们的比值为常数时,此二函数线性相关；如它们的比值是函数时,线性无关；yy性质 2 如y 1 ,y 2 x 是（ 2）的两个线性无关的特解,那么y 1ctgx常 数 ； 因 此 ,yC y x C y 2 （C ,C 为任意常数）是方

30、程（2）的特解；此性质称为二阶齐次线性微分方程（2）的通解结构；如 ：y 1cos , x y2sinx 是yy0的 两 个 解 , 又y 2C 1cosxC2sinx 为yy0的通解；就又 x1 xyy0的解y 1x y2x e 亦线性无关；C xx C e 为其通解；下面争论非齐次微分方程（1）的解的性质 .称（ 2）为（ 1）所对应的齐次方程；名师归纳总结 就y性质 3 设y*是（ 1）的特解, Y 是（ 2）的通解,就yYy*是（ 1）的通解；第 17 页,共 20 页如：y0的通解, 又y*x22是特解,y2 x ,yC 1cosxC2sinx 为yyC 1cosxC2sinx 的通解；y 2*分别是性质 4 设（ 5）式中f x f1 f2 x ,如y 1*,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 d yP x dyQ x yf 1 ,dx2dx的特解,就y 1*2 d yP x dyQ x yf2 dx2dxy 2*为原方程的特解；称此性质为解的叠加原理；小结：本节叙述了二阶线性方程解的结