2022年初中平面几何中的定值问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平面几何中的定值问题开场白：同学们,动态几何类问题是近几年中考命题的热点,题目敏捷、多变,能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的才能；这类问题中就有一类是定值问题,下面我们来看几道题：【问题 1】已知一等腰直角三角形的两直角EAF边 AB=AC=1 ,P 是斜边 BC 上的一动点,过P 作 PEAB 于 E,PFAC 于 F,就PE+PF= ；方法 1：特别值法：把P 点放在特别的B 点或 C 点或 BC 中点；此种方法只适合小题；方法 2：等量转化法： 这是绝大部分同学能够想到的方法, PF=AE,PE=BE, 所以 PE

2、+PF=BE+AE ；B P C方法 3：等面积法：连接 AP,S ABC S ABP S APC AB AC AB PE AC PFAB PE PF总结语：这虽然是一道动态几何问题,难吗？不难,在解决过程中（方法 2 抓住了边长 AB 的不变性和 PE,PF 与 BE,AE 的不变关系； 方法 3 抓住了面积的不变性） ,使得问题迎刃而解；设计：大部分同学都能想到方法2,如其他两种方法同学没有想到,也不要深究,更不要自己讲掉；此题可叫差生或中等偏下的同学回答（赛比艳,艾科）（设计意图：由简到难,让程度最差的同学也有在课堂上展现自我的机会；）过渡： 这道题太简洁了, 由于等腰直角三角形太特别了

3、,等腰三角形,问题有没有变化,又该如何解决？请看：我如把等腰直角三角形换成一般的【变式 1】如把问题1 中的等腰直角三角形改为AFC等腰三角形,且两腰AB=AC=5 ,底边 BC=6,过 P 作 PE AB 于 E,PFAC 于 F,就PE+PF 仍是定值吗？如是,是多少？BEP如不是,为什么. 方法 1：三角形相像进行量的转化ABMPBEPCFAMPEPFPEAMPB,PFAM PCABPBPCABAB这条线PEPFAM PBPC AM BC4 624（板书）ABAB55（M 为 BC 中点）（解题要点：等腰三角形中,底边上的中线是常作的帮助线,抓住的长度 是不变量这个特点,建立方法 2：等

4、面积法：PE,PF 与 AM 之间的联系,化动为静）SABCSABPSAPCBC AMAB PEAC PF垂线段PEPFBC AM6 424（ M 为 BC 中点）（板书）AB55（解题要点： 抓住 三角形面积 是个不变量, 用等面积法求解,这是在三角形中求解与有关的量的常用方法； ）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如同学想不到,可提示：在此题中,不变的东西是什么？不变的这个量和变量 PE,PF 之间有什么联系,能不能用一个等式来表示？同学会三角形的边长,角度,周长,面积等都是不变量；（设计意图：

5、由特别到一般,引出求垂线段长度的常用方法：等面积法）（老师行为：出示题之后,让同学做,老师下去看；叫用方法再叫用方法2 的同学；以达到过渡到下一题的目的；）1 的同学先站起来回答,然后问：我把题中的 5 改为 a,6 改为 b,PE+PF 仍是定值吗？你能求出这个定值吗？答：是定值,求解方法不变；问：由这题,你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗？结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=b h aa 为腰长 ,b 为底边长,h 为的边上的高 （等面积法可以求解,留意当顶角为钝角的情形）（设计意图：培育同学探究的精神,养成勤总结的习惯）问题：通过前面几题, 你能说说在解答动

6、态几何问题时解题的关键是什么？应当留意什么问 题？答：不要被 动、 变困惑,通过观看,分析,动中窥静,变化之中求不变,从而明确图形之间的内在联系, 找到不变量或不变关系,找到解题的途径；在解题过程中要留意点或线在运动的过程中,是否需要争论；过渡：上面两题中的动点都是在肯定线段或直线上运动,有些同学可能仍是觉得不够刺激,下面再来一道刺激一点的,让点在一个区域内运动,请看：【变式 2】已知 P 为边长为a 的等边三角形ABC 内任意一动点,P 到三边的距离分别为Fh1,h2,h3,就 P 到三边的距离之和是否为定值？为什么？A（由上题的启示,同学可能很简洁想到等面积法）SABCSABPSACPSB

7、CPBC AMAB PEAC PFBC PDEPEPFPDAM为定值（M 为 BC 中点）（板书）P可以用几何画板度量长度,进行演示（设计意图：使同学更深一步懂得等面积法的应用）名师归纳总结 过渡：争论完了P 在三角形内部运动的情形,我们不防降低对P 点BDh1,h2,h3,C的约束,让这个好动的点P 动到三角形外部去, 情形又会有何变化？【变式 3】已知 P 为边长为 a 的等边三角形ABC 外任意一点,P 到三边的距离分别为就 P 到三边的距离之间有何关系？为什么？第 2 页,共 5 页AFAAEPPBEB CEDFCBFCDDP图 1 图 2 图 3 - - - - - - -精选学习资

8、料 - - - - - - - - - 在几何画板中操作,发觉当点学习必备欢迎下载h1,h2,h3 有没有P 移出三角形时,h1h2h3 发生转变,那么什么肯定的关系呢？等面积法仍可以用吗？PAB, PBC, PAC 的面积有何关系？这三个三角形的面积和不变的三角形 ABC 的面积有何关系？（直需讲解一种情形,其它让同学自己去补充）D图 1：SABCSABPSACPSBCPBC AMAB PEAC PFFBC PDCPEPFPDAM 为定值（板书）BC PDAB PE图 2：SABCSACPSBCPSABPBC AMAC PFPFPDPEAM 为定值（只把结论板书）BC PDAC PF图 3：

9、SABCSABPSBCPSACPBC AMAB PEPEPDPFAM 为定值（只把结论板书）PAAAEFECDBCBBDPEFP图 1 图 2 AB PF图 3 图 1：SABCSACPSABPSBCPBCAMAC PEBC PDPFPEPDAM 为定值（板书）BC PDAC PF图 2：SABCSABPSBCPSACPBCAMAB PEPEPDPFAM 为定值（只把结论板书）AB PEAC PF图 3：SABCSBCPSABPSACPBCAMBC PDPDPEPFAM 为定值（只把结论板书）（设计意图：渗透分类争论思想在平面几何中的应用；）（老师行为： 在几何画板中作出个三角形,面积关系；）

10、填充内部, 让同学直观地发觉几个三角形之间的过渡：前面我们争论的都是以三角形为背景的动态几何定值问题,下面再看一道以圆为背景的定值问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【问题 2】已知：已知弧学习必备欢迎下载M 不包括 A 、AB 为 120 度,在以 AB 为弦的弓形劣弧上取一点B 两点 ,以 M 为圆心作圆M 和 AB 相切,分别过A ,B 作 M 的切线,两条切线相交于 C点 C. 求证： ACB 有定值,并求出这个定值. 分析：问：这个图形中不变的是什么？不变的角是那一个？AEMFB答： 此题中的 不变量是

11、弧AB ,因此 AMB 也是不变量；不变关系是相切；问：已知直线和圆已经相切,我们会想到什么？D答：连接圆心与切线方法 1：问：要证 ACB 有定值,可以转化为求什么为定值？答：要证 ACB 有定值,只需证CAB+ CBA 是定值,只需证MAB+ MBA 是定值,只要AMB 是定值即可；证明：在ABC 中, MAB+ MBA=180 AMB ,M 是 ABC 的内心, CAB+ CBA=2180 AMB. 2180 AMB= 2 AMB 180 60. ACB=180（ CAB+ CBA ）=180 ACB 有定值 60 . 方法 2：问：要证 ACB 有定值,可以转化为求什么为定值？答：要证

12、 ACB 有定值,只需证EMF 是定值,只需证EMD+ FMD 是定值,只要 AMD+ BMD 即 AMB 是定值即可；证明：在四边形CEMF 中, C+EMF=180,M 是 ABC 的内心, DMA= EMA, FMB= DMB EMD+ FMD=2 AMB =240 EMF=120 C =180-EMF=60你可以先找找题中比较简洁看出的不变量,然后建立两者总结： 如要证的不变量比较困难,之间的联系；（设计意图：多角度,多方位地争论动态几何中的定值问题,值问题；）此题以圆为背景,争论角的定名师归纳总结 过渡： 上题是道有关定值的证明题,也就是已经明确方向确定是定值了,如不是证明题呢？第

13、4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【问题 3】学习必备欢迎下载,大小已知： O 是如图同心圆的圆心 ,AB 是大圆的直径 .点 P 是小圆上的一动点R 与 r.问:PA 2PB 2 是否有定值 ,如有 ,求出定值 ;如没有 ,说明理由 . 圆半径分别为分析：这道题是探究定值的问题,可以先用特位定值法,探究以下是否可能是定值；B点 P 放在直径 AB 上. 2r2）得 PA2PB2（ Rr）2（ . Rr）22（R 2r2）. 点 P 放在与直径AB 垂直的另一条直径上也可得 PA 2PB 2 R 2r 2R 2 r 22（R 2r说明

14、 PA 2PB 2 特别有可能是定值,而且这个值为2）. 2（RBBPOOOPAOHBPPAAA2+R-OH2 证明：（直角三角形运算法）2 2PH2OH+RPA 2PB2HA2PH2+PH2HB2PH2 2OH2+2R2=2PH2OH2 +2R2=2r22R2 解答动态几何定值探究问题的方法,一般有两种：第一种是分两步完成：. 先探求定值 .它要用题中固有的几何量表示再证明它能成立. 探求的方法,常用特别位置定值法,即把动点放在特别的位置,找出定值的表达式,然后写出证明 . 其次种是采纳综合法,直接写出证明 . 终止语： 数学因运动不再枯燥,数学因运动而布满活力；期望同学们能够把握动态几何的解 题规律；【小结】问：这节课我们学习了一类怎么样的问题？用什么方法解决？答：动态几何中的定值问题 特点：图形中的某个元素,按某种规律在运动 类型：（1）点动（2）线动（3）旋转、平移（4）形变 动、变困惑,通过观看,分析,动中窥静,变化之中求不变,从而明 解题思路：不要被 确图形之间的内在联系,找到解题的途径；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页