2022年初二数学因式分解知识点及基础练习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点整式乘除与因式分解概述定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式,分解,也叫作分解因式；意义： 它是中学数学中最重要的恒等变形之一,这种变形叫做把这个多项式因式它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决很多数学问题的有力工具；因式分解方法敏捷,技巧性强,学习这些方法 与技巧,不仅是把握因式分解内容所必需的,而且对于培育同学的解题技能,进展学 生的思维才能,都有着非常特殊的作用；学习它,既可以复习的整式四就运算,又为 学习分式打好基础；学好它,既可以培育同学的观看、留意、运算才能,又可以提高 同学综合分析和解决问题的才能；分解因

2、式与整式乘法互为逆变形；因式分解的方法因式分解没有普遍的方法,中学数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法；而 在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相 乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等；留意三原就 1 分解要完全 2 最终结果只有小括号3 最终结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x3x-1）基本方法提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式；假如一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成 两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做 提公因式法；详细方法：当各项

3、系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式,多项 式的次数取最低的；假如多项式的第哪一项负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数； 提出 “ -” 号时,多项式的各项都要变号；例如： -am+bm+cm=-ma-b-c；ax-y+by-x=ax-y-bx-y=x-ya-b；留意：把 2a2+1/2 变成 2a2+1/4 不叫提公因式公式法假如把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法；平方差公式： a 2-b 2 =a+ba-b；完全平方公式： a 22ab b 2 a b 2

4、；留意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必需是三项式,其中有两项能写成名师归纳总结 两个数 或式 的平方和的形式,另哪一项这两个数或式 的积的2 倍；第 1 页,共 16 页立方和公式： a3+b3=a+ba2-ab+b2；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点立方差公式： a 3-b 3 =a-ba 2 +ab+b 2 ；完全立方公式： a 33a 2b 3ab 2 b 3=a b 3 公式： a 3+b 3 +c 3 =a+b+ca 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 例如： a 2 +4ab+4b 2 =a+2b 2；（ 3

5、）分解因式技巧 1. 分解因式与整式乘法是互为逆变形；2. 分解因式技巧把握：等式左边必需是多项式；分解因式的结果必需是以乘积的形式表示；每个因式必需是整式,且每个因式的次数都必需低于原先多项式的次数；分解因式必需分解到每个多项式因式都不能再分解为止；注：分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考 虑；3. 提公因式法基本步骤：（ 1 ）找出公因式；（ 2 ）提公因式并确定另一个因式：第一步找公因式可依据确定公因式的方法先确定系数在确定字母；其次步提公因式并确定另一个因式,留意要确定另一个因式,可用原多项式除 以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式

6、分别除去原多项 式的每一项,求的剩下的另一个因式；提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同；一、学问点总结：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母 也是单项式；单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数；如：2 a2bc的 系数为2,次数为 4,单独的一个非零数的次数是0；2、多项式： 几个单项式的和叫做多项式；多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项 的次数叫多项式的次数；如：a 2 2 ab x 1,项有 a 、2 2 ab、 x 、1,二次项为 a 、2 2 ab,一次项为 x ,常数项为 1,各项次数分别为 2,2,

7、1,0,系数分别为 1,-2,1, 1,叫二次四项式；3、整式： 单项式和多项式统称整式；留意：凡分母含有字母代数式都不是整式；也不是单项式和多项式；4、多项式按字母的升（降）幂排列：名师归纳总结 如：x32x2y2xy2y312x2y2xx3第 2 页,共 16 页xy按 x 的升幂排列：12y3按 x 的降幂排列：3x32x2y2xy2y1按 y 的升幂排列：xy2y2y31x32x2按 y 的降幂排列：2y32x2y2xy31- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5、同底数幂的乘法法就：aman名师总结m,优秀学问点am n（n都是正整数）同底数幂相

8、乘,底数不变,指数相加；留意底数可以是多项式或单项式；如：ab2ab 3ab53106、幂的乘方法就：m a namn（m,n都是正整数）幂的乘方,底数不变,指数相乘；如：352幂的乘方法就可以逆用：即amnamnanm如：464234327、积的乘方法就：abnanbn（n是正整数）积的乘方,等于各因数乘方的积；如：（2x3y2z 5=25x35y25nz5432x15y10z53mn8、同底数幂的除法法就：amanam（a0,m ,n都是正整数,且同底数幂相除,底数不变,指数相减；如：ababab3a3b9、零指数和负指数；a0p1,即任何不等于零的数的零次方等于1；p 次方等于这个数的p

9、 次方的a1（a0,p是正整数）,即一个不等于零的数的ap倒数；如：23131单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只2810、单项式的乘法法就：在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为积的一个因式；留意：积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再运算肯定值；相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法就；只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法就对于三个以上的单项式相乘同样适用；单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式；如：2 x 2 y 3 z 3 xy11、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即 m a b c ma

10、mb mc m , a , b , c 都是单项式 留意：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同；运算时要留意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号；在混合运算时,要留意运算次序,结果有同类项的要合并同类项； 如：2 x 2 x 3 y 3 y x y 12、多项式与多项式相乘的法就；多项式与多项式相乘, 先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加；另一项互为相反如： 3a2 ba3 bx5 x6 13、平方差公式 ：abab a2b2留

11、意平方差公式绽开只有两项公式特点： 左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,数；右边是相同项的平方减去相反项的平方；如：xyzxyz b214、完全平方公式：ab2a22ab公式特点： 左边是一个二项式的完全平方,的平方,而另哪一项左边二项式中两项乘积的右边有三项, 其中有两项是左边二项式中每一项 2 倍；留意：a2b2ab22abab22abb2ab 2ab2ab2ab24abab 2ab2ab2a完全平方公式的口诀：首平方,尾平方,加上首尾乘积的2 倍；15、三项式的完全平方公式：abc2a2b2c22ab2 ac2 bc16、单项式的除法法就：单项式相除,把系数、同底数幂

12、分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,就连同它的指数作为商的一个因式；留意：第一确定结果的系数（即系数相除）字母,就连同它的指数作为商的一个因式如：7a2b4m49a2b17、多项式除以单项式的法就：,然后同底数幂相除,假如只在被除式里含有的多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加；即： ambmcm mammbmmcmmabc18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点三、学问点分析：1.同底

13、数幂、幂的运算：a ma n=a m+n m, n 都是正整数 . a m n=a mn m,n 都是正整数 . 2022x；如273n3 8,就 n= 例题 1. 如2a264,就 a= 例题 2. 如52x1125,求x2的值；例题 3.运算x2y3n2yx2m练习1.如a2n3,就a6 = . ；2.设 4 x=8y-1,且 9 y=27x-1,就 x-y 等于2.积的乘方ab n=a nb nn 为正整数 . 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 例题 1.运算：nm3pmnnmp43. 乘法公式平方差公式：ababa2b2完全平方和公式：ab2a22abb2完全

14、平方差公式：ab2a22 abb2例题 1. 利用平方差公式运算：2 2022 20072022例题 2.利用平方差公式运算：200722007200620223.（a2b 3cd）（a2b3c d）5. 因式分解：1.提公因式法： 式子中有公因式时,先提公因式；例 1 把 2 ax 10 ay 5 by bx 分解因式分析： 把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按 x 的降幂排列, 然后从两组分别提出公因式 2a 与 b ,这时另一个因式正好都是 x 5 y ,这样可以连续提取公因式解： 2 ax 10 ay 5 by bx 2 a x 5 b x 5 x 5 2 a b 说

15、明： 用分组分解法, 肯定要想想分组后能否连续完成因式分解,由此合理挑选分组的方法此题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 把ab c2d2a2b2名师总结优秀学问点cd 分解因式分析： 依据原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式解：ab c2d2a2b2cdabc2abd22 a cd2 b cdabc22 a cd2 b cdabd2adacbdac bcadbd bcadbc说明： 由例 3、例 4 可以看出,分组时运用了加

16、法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了安排律所起的作用2. 公式法： 依据平方差和完全平方公式例题 1 分解因式9x225y23.配方法：例 1 分解因式x26x16由此可以看出运算律在因式分解中解：x26x16x22x32 33216x3252x35x35x8x2配方后将二次三项式化为两个平说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,方式,然后用平方差公式分解当然,此题仍有其它方法,请大家试验4.十字相乘法：（1）x2pq xpq 型的因式分解这类式子在很多问题中常常显现,其特点是：1 二次项系数是1；2 常数项是两个数之积；3 一次项系数是常数项的

17、两个因数之和2 xp2q xpqx2pxqxpqqx xpq xpxpxq因此,xpq xpqxpx运用这个公式,可以把某些二次项系数为 例 1 把以下各式因式分解：1 的二次三项式分解因式名师归纳总结 1 x2 67x6 6,1 62 x213x361 6 第 6 页,共 16 页解： 1 17x27x6 x1 6 xx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 3649,49名师总结优秀学问点13x21 3 x3 6x 4 9 说明： 此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项 系数的符号相同例 2 把以下各式因式分解：1 x

18、25x242 x22x158 3 其中肯定值较大的解： 1 24 38,385x25x2 4x3 8 xx3 2 15 53, 532x22x1 5x5 3 xx5 说明： 此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,因数与一次项系数的符号相同例 3 把以下各式因式分解：名师归纳总结 1 x2xy6y22 x2x 282 xx12,第 7 页,共 16 页分析： 1 把x2xy62 y 看成 x 的二次三项式,这常常数项是2 6y ,一次项系数是y ,把2 6y 分解成 3y 与2y 的积,而 3y 2 y ,正好是一次项系数2 由换元思想,只要把x2x 整体看作一个字母a ,可不必

19、写出,只当作分解二次三项式a28 a12解： 1 x2xy6y2x2yx62x3 x2 2 x2x28x2x 12x2x6x2x2x3x2x2x1（2）一般二次三项式ax2bxc 型的因式分解大家知道,a xc 1a xc 2a a x2a c 2a c 1xc c 反过来,就得到：a a x2a c2a c xc c 2a xc 1a xc 2我们发觉,二次项系数 a 分解成a a ,常数项 c 分解成c c ,把a a c c 2写成a 1a 2c 1c 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到名师总结优秀学问点ax2

20、bxc 的一次项a c 2a c ,假如它正好等于系数 b ,那么ax2bxc 就可以分解成a xc 1a xc 2,其中a c 位于上一行,a 2,c 2位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法必需留意, 分解因数及十字相乘都有多种可能情形,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解例 4 把以下各式因式分解：1 12 x 25 x 2 2 5 x 26 xy 8 y 22 3 2解： 1 12 x 5 x 2 3 x 24 x 1 4 12 2 1 2 y2 5 x 6 xy 8 y x 2 5 x 4 5 4 y说明：

21、 用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难, 详细分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,如原常数为负数,用减法” 凑”,看是否符合一次项系数,否就用加法一、填空题：” 凑” ,先 ”凑” 肯定值,然后调整,添加正、负号金云梯训练基础练习题2 a 33 2a=_3 a3 2a ；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点12如 m23m2=mam b ,就 a=_,b=_；15、当 m=_时, x22m3x 25 是完全平方式16、分解因式：4 a21=_; 2、分解因

22、式：x29=_ x17、分解因式：x236 _；4、因式分解：3 x4x2y=_；18、分解因式：x45x24_ ； 6、分解因式：6x27x5=_. 19、分解因式：5x5x 3. 8、分解因式3x312x2y12xy220 、 分 解 因 式 ： ax2+ay2-2axy-ab2=_ ； 10 、 因 式 分 解 ：x32x2=_ 21、分解因式：2x3y8x2y28xy3=_ 22、分解因式：m2n22mnp2_23、如6427a3A43a,就 A=_ ；24、在实数范畴内分解因式：2x24x1_ 二、判定题名师归纳总结 （1）x2xyy2yxxyx2y2.（）第 9 页,共 16 页（

23、2）2（）x1 4x是完全平方式；25.252a1a11 a（3）a（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）5xy93x15yx3名师总结.优秀学问点（）5y3三、挑选题1以下各式的因式分解结果中,正确选项 Aa 2b7abbba 27a B3x 2y3xy 6y=3yx 2x 1 C8xyz6x2y 22xyz4 3xy D 2a 2 4ab6ac 2aa 2b3c 2多项式 mn 2 m 22 n 分解因式等于 An 2m m2 B n 2m m2 Cmn2m 1 Dmn2m 1 3在以下等式中,属于因式分解的是Aax y bmn ax bma

24、ybn 名师归纳总结 Ba 22abb 21=a b21 2a 1 第 10 页,共 16 页C 4a 2 9b2 2a3b2a 3b Dx27x8=xx 7 8 4以下各式中,能用平方差公式分解因式的是 Aa 2b2 B a2b 2C a2b2 D a 2 b25如 9x2mxy16y2是一个完全平方式,那么m的值是 A 12 B 24 C12 D 12 6把多项式an+4an+1 分解得 Aana4 a B an-1a3 1 Can+1a 1a2a1 D an+1a 1a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7如 a2a 1,就 a42a名师总结优秀学

25、问点33a 2 4a3 的值为 A8 B 7 C10 D12 8已知 x 2 y 22x6y10=0,那么 x,y 的值分别为 Ax=1,y=3 B x=1,y=3 Cx=1,y=3 D x=1,y=3 9把 m 23m 48m 23m 216 分解因 Am1 4m2 B m1 2m 2 2m 2 3m2 22 2Cm4 2m1 D m1 2m 2 2m 2 3m210把 x 27x60 分解因式,得 Ax 10x 6 Bx 5x 12 Cx 3x 20 Dx 5x 12 11把 3x 2 2xy 8y 2分解因式,得 A3x 4x 2 B3x 4x 2 C3x 4yx 2y D 3x 4yx

26、 2y 12把 a 28ab33b 2分解因式,得 Aa 11a 3 Ba 11ba 3b Ca 11ba 3b D a 11ba 3b 名师归纳总结 13把 x43x22 分解因式,得 第 11 页,共 16 页Ax22x21 B x22x 1x 1 Cx22x21 D x22x 1x 1 14多项式 x2axbxab 可分解因式为 A x ax b Bx ax b Cx ax b Dx ax b - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 15一个关于x 的二次三项式,其x名师总结优秀学问点2项的系数是1,常数项是 12,且能分解因式,这样的二次三项式是 A

27、x 211x12 或 x 2 11x 12 Bx 2x 12 或 x 2x12 Cx 24x12 或 x 24x12 D以上都可以16以下各式x3 x 2x1,x2y xyx, x2 2xy21, x2 3x2 2x 12中,不含有x 1 因式的有 A1 个2分解因式为 B 2 个C3 个 D4 个17把 9x212xy36yAx 6y 3x 6x3 B x 6y 3x 6y3 C x 6y 3x 6y3 D x 6y3x 6y3 18以下因式分解错误选项 Aa 2bcacab=a ba c Bab5a3b15=b 5a 3 名师归纳总结 Cx23xy 2x6y=x 3yx 2 第 12 页,

28、共 16 页Dx26xy 19y2=x 3y1x 3y1 19已知 a2x2 2xb 2 是完全平方式,且a,b 都不为零,就a 与 b 的关系为 A互为倒数或互为负倒数 B 互为相反数C相等的数 D任意有理数20对 x4 4 进行因式分解,所得的正确结论是 A不能分解因式 B有因式 x22x2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Cxy 2xy 8 名师总结优秀学问点 Dxy 2xy 8 21把 a 4 2a 2b 2b 4a 2b 2 分解因式为 Aa 2b 2ab B a 2b 2aba 2b 2ab 2Ca 2b 2aba 2b 2ab Da 2

29、b 2ab 222 3x 1x 2y 是以下哪个多项式的分解结果 A3x 26xy x2y B 3x 26xyx2y Cx 2y3x 26xy Dx2y3x 26xy 23 64a8b2 因式分解为 名师归纳总结 A64a4 ba4b B16a2b4a2b 第 13 页,共 16 页C8a4b8a4b D 8a2b8a4 b 24 9x y212x2y2 4x y2 因式分解为 A5x y2 B 5x y2C3x 2y3x 2y D5x 2y225 2y 3x2 23x 2y 1 因式分解为 A3x 2y12 B3x 2y12C3x 2y12 D2y 3x1226把 a b2 4a2b 2 4

30、a b2 分解因式为 A3a b2 B 3b a2C3b a2 D3a b227把 a2b c22aba cb c b2a c2分解因式为 Aca b2 B ca b2 Cc2a b2 Dc2a b 28如 4xy4x2 y 2k 有一个因式为 1 2xy ,就 k 的值为 A0 B1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C 1 名师总结优秀学问点D 4 29分解因式3a2x4b2y3b2x4a 2y,正确选项 A a2 b23x 4y Ca2 b23x 4y B a ba b3x 4y D a ba b3x 4y 30分解因式2a24ab2b 28c2

31、,正确选项 A2a b 2c C2a b4c2a b4c B 2a b ca bc D2a b2ca b2c 31、把多项式1x1xx1提公因式x1后,余下的部分是（nx）y（A ）x1（B）x1（C） x（D）x232、把x22xyy21分解因式的结果是（）：y1Axy1xy1 B xy1xC xy1xy1 D xy1xy133、运算 :19992-1998 2002,得 A3 B -3995 C3995 D-4003 34、以下由左边到右边的变形,属于因式分解的是（ A）x1x1x21（B）x22x1xx21（ C）a2b2abab（D）mxmynxnymxy四、分解因式1m 2p q pq；2aab bcac abc；名师归纳总结 3x42y 42x 3yxy3；第 14 页,共 16 页4abca2b 2c2