2022年微分方程模型.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1求微分方程的解析解 , 并画出图形,y= y + 2 x, yy0 = 1, 0 0 x dsolveDy*1/x-y*1/x-2=0,y0=1,x ans = 3*expx - 2*x - 2 作图： fplot3*expx-2*x-2,0,1,1,4.5 4.543.532.521.5100.10.20.30.40.50.60.70.80.91图 1 微分方程 y= y + 2 x 的图形解名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2求微分方程的数值解 , 并画出图形

2、,yycosx0,y01,y00先把原方程化为一阶方程组；令1yy ,y 2y ,就有y 1y 20y 2y 1cosxy 101,y20第一建立 M-文件函数 : function f=jiex,y f=y2;-y1*cosx; 运算 : x,y=ode23jie,0,2*pi,1,0 x = 0 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - y = 1.0000 0 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 作图： y1=y:,1; y2=y:,2;

3、plotx,y1,x,y2,r,gtexty1,gtexty2 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 50-5-1001234567图 2 微分方程yycosx0,y01,y00的图形解名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3两种相像的群体之间为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时, 往往是竞争力较弱的种群灭亡, 而竞争力较强的种群到达环境容许的最大数量；假设有甲、乙两个生物种群,当它们各自生存于一个自然环境中,均听从Logis

4、tic 规律；1x 1 t , x 2 t 是两个种群的数量；2r 1, r 2 是它们的固有增长率；3n 1, n 2 是它们的最大容量；4m 2m 1 为种群乙 甲 占据甲 乙 的位置的数量,并且m 2 x 2 ; m 1 x .1运算 x 1 t , x 2 t , 画出图形及相轨迹图；说明其解变化过程；依据给定的详细数据,得到以下方程组名师归纳总结 dx 1x 11x 12x 1010第 6 页,共 12 页dt100dx 2x 21x 20.5x 2010dt100- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 编制程序如下：1、建立 m文件 jingzh

5、eng.m如下：function dx=jingzhengt,xdx=zeros2,1; dx1=x1*1-x1+2/100; dx2=x2*1-x2+0.5/100; 2、在命令窗口执行如下程序：t,x=ode45jingzheng,0:0.1:15,10,10 plott,x:,1,-,t,x:,2,*,grid 100 90 80 70 60 50 40 30 2010051015图 3 种群数量与时间的关系图13、画出相轨迹图：plotx:,1,x:,2 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 100 90 80

6、 70 60 50 40 30 2010 102030405060708090100图 4 相轨迹图 从图 3 可以看出,在开头阶段,两个种群的数量都随着时间增长；随着时 间的推移,大约经过 6 个单位时间,种群数量到达饱和；当时间足够长时,两 者都将趋向于环境的最大容量；同时也看出,两个种群的数量基本持平,而种 群二略占优势；2转变r 1,r2,n 1,n 2,x 10,x20,而,不变,运算并分析结果；假设=1.5 ,=0.7,再分析结果；由此能得到什么结论；名师归纳总结 转变固有增长率r r 2第 8 页,共 12 页假设种群甲的固有增长率从r 11增为r 11.5,种群乙的固有增长率从

7、r 21降为r20.3,其他参数保持不变,因此模型修改为：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dx 11.5x 11x 12x 1010dt100dx 20.3x 21x20.5x 2010dt100100 90 80 70 60 50 40 30 2010051015图 5 种群数量与时间的关系图2【注：蓝色线代表种群甲,绿色线代表种群乙,下同】比较图 3 与图 5 可知,当其他参数不变,而固有增长率转变时,可以看出 曲线外形发生了变化；但是,无论增长率如何变化,当时间足够长之后,种群 的数量都趋向于环境最大容量；名师归纳总结 转变最大容量n n 2第

8、 9 页,共 12 页假设种群甲的最大容量从n 1100减为n 150,种群乙的最大容量从n 2100增为n 2230,其他参数保持不变,因此模型修改为：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dx 1x 11x 12x 1010dt50dx 2x 21x 20.5x 2010dt230250200150100500051015图 6 种群数量与时间的关系图3比较图 3 和图 6 可知,当其他参数不变,而最大容量转变时,可以看出曲线外形发生了变化；但是,当时间足够长之后,种群的数量都趋向于各自的环境最大容量；名师归纳总结 转变初值x 10,x 20第 10

9、页,共 12 页假设种群甲的初值从x 1010增加为x 1030,种群乙的初值从x 2010减为x 205,其他参数保持不变,因此模型修改为：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dx 1x 11x 12x 1030dt100dx 2x 21x 20.5x 205dt100100 90 80 70 6050 40 30 20 100051015图 7 种群数量与时间的关系图4比较图 3 和图 7 可知,当其他参数不变,而种群初值转变时,可以看出曲 线起点发生了变化；但是,当时间足够长之后,种群的数量都趋向于环境最大 容量；名师归纳总结 转变1.5,0.7第

10、 11 页,共 12 页假设1.5,0.7,其他参数保持不变,因此模型修改为：dx 1x 11x 11.5x 2x 1010dt100dx 2x 21x 20.7x 1x 2010dt100- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 100 90 80 70 60 50 40 30 20 100051015图 8 种群数量与时间的关系图5比较图 3 和图 8 可知,当其他参数不变,而,转变时,可以看出曲线形状发生了变化；而且,由于,种群甲最终灭亡；当时间足够长之后,种群乙的数量都趋向于环境最大容量,而种群甲最终灭亡；试验心得与体会通过这次的上机试验,我学会了用MATLAB求简洁微分方程的解析解仍有数值解,加深对微分方程概念和应用的懂得；也通过了课堂的学习, 把握了对一些实际问题建立数学模型的方法, 但是这目前对于我来说仍是很有难度的,期望通过更多的学习可以更加娴熟地把握相关的学问；型的认知, 把握利用软件求解微分方程的过程,本次试验提高了我对微分方程模 也明白微分方程模型解决问题思维方法及技巧,体会到了微分方程建模的艺术性；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页