2022年初高中数学衔接知识点专题2.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 初高中数学连接学问点专题（一） 专题一 数与式的运算【要点回忆 】1肯定值1肯定值的代数意义：0ab 表示； |x|即 |a|的距离2肯定值的几何意义：3两个数的差的肯定值的几何意义：a a0的距离4两个肯定值不等式:|x|a a2乘法公式我们在中学已经学习过了以下一些乘法公式：1平方差公式：；2完全平方和公式：；3完全平方差公式：我们仍可以通过证明得到以下一些乘法公式：公式 1 abc 2“ 乘法公式 ” 3 a3 b 立方和公式 公式 2公式 33 a3 b立方差公式 说明 :上述公式均称为3根式1式子a a0叫做二次根式,其性质如下：；3

2、 ab； 4 b aa a,其1 a2 ；2 a22平方根与算术平方根的概念：叫做 a 的平方根,记作x0中a a0叫做 a 的算术平方根x3a叫做 a 的立方根,记为3立方根的概念：4分式1分式的意义形如A B的式子,如B 中含有字母,且B0,就称A B为分式 当 M 0时,分式A B具有以下性质：（1）；（2）A就叫做繁分式,如mnp,2繁分式当分式A B的分子、分母中至少有一个是分式时,B2 m说明： 繁分式的化简常用以下两种方法：1 利用除法法就；np2 利用分式的基本性质3分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去,叫做分母（子）有理化分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式

3、,化去分母中的根号的过程；而分子有理化就是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程【例题选讲 】名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 解以下不等式： （1）x21（2）x1x34例 2 运算：（1）x2a2x124 a216（2）1 5m1 2n1 252 m1mn21n23104（3） a22 a4（4）x22 xy2 yx2xy2 y例 3 已知x23x10,求x31的值x3例 4 已知abc0,求a11b 11c11的值bccaab例 5 运算 没有特别说明,本节中显现的字母均为正数：（1

4、）233（2）21x 22x2 x1（3）11（4）x3 x8 xab2例 6 设x23,y23,求3 x3 y 的值2323名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 7 化简：（1）xxx（2）x223x96xx1x x1x11x279xx262x1xx（1） 解法一 ：原式 =xxxx1xx1x xxxx12 xxxx 2xxx 21x1x1x1解法二 ：原式 =xxxxx x1x11x1x xxx 1x xxx1x 2xxx1 xx21xxx（2） 解：原式 =xx 26113 x96 xx3x23 x9x 9x

5、223x x3x3 x32x32x3 12x1x32xx2 333x2x3x33x2x3说明 ：1 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简；2 分式的运算结果应是最简分式或整式【巩固练习 】1 解不等式1x,3x27x2xyyy2的值2 设x1y,求代数式2233x3 当2 3 aab2 b20 a0, b0,求aba2b2的值baab4 设x51,求x4x22x1的值25 运算 xyz xyzxyz xyz名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6化简或运算：1 1841 2

6、13y32 22b2252b12aab23353 xxx y4 aaab baxxybxy2 yx xyyababab 各专题参考答案名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 专题一数与式的运算参考答案名师归纳总结 - - - - - - -例 1 （1）解法 1：由x20,得x2；如x2,不等式可变为x21,即x3； 如x2,不等式可变为x21,即x21,解得：x1综上所述,原不等式的解为1x3解法 2：x2表示 x 轴上坐标为x 的点到坐标为2 的点之间的距离, 所以不等式x21 的几何意义即为 x 轴上坐标为x 的点

7、到坐标为2 的点之间的距离小于1,观看数轴可知坐标为x 的点在坐标为3 的点的左侧,在坐标为1 的点的右侧所以原不等式的解为1x3解法 3：x211x211x3,所以原不等式的解为1x3（ 2）解法一 ：由x10,得x1；由x30,得x3；如x1,不等式可变为x1x34,即2x44,解得 x0,又 x 1,x 0；如 1x2,不等式可变为x1x34,即 14,不存在满意条件的x；如x3,不等式可变为x1x34,即 2x44, 解得 x4又 x3, x4综上所述,原不等式的解为x0,或 x4解法二 ：如图,x 1 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离 |PA|,

8、即 |PA| |x1|；|x|x3| 3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离 |PB|,即 |PB|x 3|所以,不等式x1x34 的几何意义即为|PA| |PB| 4由 |AB|2,P C A B D 可知点 P 在点 C坐标为 0的左侧、或点P 在点 D坐标为 4的右侧x 0 1 3 4 x 所以原不等式的解为x0,或 x4|x 1| 例 2（ 1）解：原式 =x22 12x222 21 322x22x2x21212 333x42 2x38x222 x9133说明 ：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列（2）原式 =1 5m 31 24 an 321 3m

9、12524 1n33 46 a648 2 a（3）原式 = a244 a3（4）原式 =xy2 x2xyy22xyx2xyy223 x3 y2 x63 2 x y3y6例 3 解：x23x10x0x13x原式 =x1 xax211axb1x1232 333182 x0,xx c例 4 解：bcc ba cab原式 =abcbac2cabaa bbcca2b2c2bcacabbc 2 c c3 ab ac3 cababc3 a3 b ab ab 3 ab3 abca3b33 c3abc ,把代入得原式=3 abc3abc例 5 解：（1）原式 =2323332363 3322 23（2）原式 =

10、|x1|x2|x1x22x3 x2x1x21 1x2 说明 ：留意性质a2|a 的使用：当化去肯定值符号但字母的范畴未知时,要对字母的取值分类争论第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）原式 =ab2 a b2 ababab（4） 原式 =22 xx x222 2x2xxx2 2x3 2xx x22例 6 解：x2323274 3,y74 3 xy14,xy1232 23原式 =xy x 2xyy 2xyxy23 xy1414 232702说明 ：有关代数式的求值问题：1先化简后求值；2当直接代入运算较复杂时,可依据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,

11、有时整体代入可简化运算量【巩固练习 】14x 4xy3213 63x z 2 233 或 2614 35, 3xyy, 4ba54z 42 x y 2 222y z 223, 24 33专题二因式分解答案例 1 分析： 1 中应先提取公因式再进一步分解；2 中提取公因式后,括号内显现a66 b ,可看着是 a32 b32或a232 b3解： 1 3 3 a b4 81 b3 3 b a3 27 b3 b a3 b a23 ab9 b22 bab2 7 aab6a a6b6a a3b3 a33 ba ab a2ab2 b a2 b aa ab ab a2ab2 ba2ab2 b例 2（1）分析：

12、 依据原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式解：ab c2d22 a2 bcd2 abcabd22 a cd2 b cd2 abc2 a cd2 b cdabd2ac bcadbd bcadbcadacbd（ 2）分析 ：先将系数 2 提出后,得到2 x2xyy22 4 z ,其中前三项作为一组,它是一个完全平方式,再和第四项形成平方差形式,可连续分解因式解：2x24xyx2y282 z22 xx2xyy22 4 z2xy22 2 2xy2 z xy2 例 5 解：x33 x243 x13x23x1 x2x13x1x1x12 x13x11 x24 x4x1 x22

13、【巩固练习 】11bcadacbd ; 2 x4 m2 x2 ; 3 x24 x82 x4x8;4 x1 x3x7 ; 5 x2 2 x2 y 1 ；228 3；4xx x431x2x11x23x1x222xx21x1 x其他情形如下：1x2x11x22243 a2 a c1 22b cx23x1 1x2xx22x1x1 2. 2abc3 b2 aab2 babc 专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 解： 224 3k4 12 k , 1 412k0kx1 3； 2 4

14、12k0k1；33 412k0k1； 4412k0k1y21033y2y2 x例 2 解： 可以把所给方程看作为关于x 的方程,整理得：由于 x 是实数,所以上述方程有实数根,因此： y 2 24 y 2y 1 3 y 20 y 0,代入原方程得：x 22 x 1 0 x 1综上知：x 1, y 0例 3 解： 由题意,依据根与系数的关系得：x 1 x 2 2, x x 2 20072 2 2 21 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x x 2 2 2 2007 40181 1 x 1 x 2 2 22 x 1 x 2 x x 2 2007 20073 x 1 5 x 2 5 x x 2 5

15、 x 1 x 2 25 2007 5 2 25 19722 2 24 | x 1 x 2 | x 1 x 2 x 1 x 2 4 x x 2 2 4 2007 2 2022说 明 ： 利 用 根 与 系 数 的 关 系 求 值 , 要 熟 练 掌 握 以 下 等 式 变 形 ：x 1 2x 2 2 x 1 x 2 22 x x ,1 1 x 1 x 2, x 1 x 2 2 x 1 x 2 24 x x ,| x 1 x 2 | x 1 x 2 24 x x 等等 韦达定理表达了x 1 x 2 x x 2整体思想【巩固练习 】1 A ；2A；3p 1, q 3；4a 3, b 3, c 0；5

16、m 1 1当 k 3 时,方程为3 x 1 0,有实根； 2 当 k 3 时,0 也有实根 61 k 3且 k 1；2 k 74专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案例 1 解： 1由于 A 、 B 关于 x 轴对称,它们横坐标相同,纵坐标互为相反数,所以 x 2 2,y 1 3,就A 2, 3、B 2, 32由于 A 、 B 关于 y 轴对称,它们横坐标互为相反数,纵坐标相同,所以,x 2 2,y 1 3,就A 2, 3、B 2, 33由于 A 、 B 关于原点对称,它们的横纵坐标都互为相反数,所以 x 2 2,y 1 3,就 A 2, 3、B 2, 3例 2 分析： 由于直线

17、过第一、三象限,所以可知 k0,又由于 b2,所以直线与 y 轴交于（ 0,2）,即可知 OB 2,而 AOB 的面积为 2,由此可推算出 OA 2,而直线过其次象限,所以 A 点坐标为（ 2,0）,由 A 、B 两点坐标可求出此一次函数的表达式；解： B 是直线 y kx2 与 y 轴交点, B（0,2）, OB 2,又SAOB1AO BOy2,AO22又ykx2,过其次象限,A 2 0把x 12,y 10 代入ykx2 中得k1,x2【巩固练习 】1 B 2 D2, 2、C8, 2、B6,03（ 1）k8（2）点 P 的坐标是P2 4, 或P81, 专题五二次函数参考答案例 1 解： y

18、3x26x 1 3x12 4,函数图象的开口向下；对称轴是直线x 1；顶点坐标为1,4；名师归纳总结 当 x 1 时,函数 y 取最大值y4；第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 x 1 时, y 随着 x 的增大而增大；当x 1 时, y 随着 x 的增大而减小；3,0,A 1,4 y 采纳描点法画图, 选顶点 A1,4,与 x 轴交于点 B2 3 3 ,03与 y 轴的交点为 D0,1,过这五点画出图象（如图 2 5 所示）和 C2 33说明： 从这个例题可以看出,依据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出O D0,1

19、关键点,削减了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确例 2 分析： 由于每天的利润日销售量y销售价 x120,日销售量y 又是销售价xC B x 的一次函数, 所以, 欲求每天所获得的利润最大值,第一需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值x 1 解： 由于 y 是 x 的一次函数,于是,设ykx（B）,将 x130,y70；x150,y50 代入方程,有70130 kb ,解得k 1,b200y x20050150 kb ,设每天的利润为z（元）,就 zx+200x120 x 2320x24000 x16021600,当 x160 时,

20、z 取最大值 1600答： 当售价为 160 元/件时,每天的利润最大,为 1600 元例 3 分析： 本例中函数自变量的范畴是一个变化的范畴,需要对解：（1）当 a 2 时,函数 yx 2 的图象仅仅对应着一个点是 4,此时 x 2；a 的取值进行争论2,4,所以,函数的最大值和最小值都（2）当 2a 0 时,由图 22 6可知,当 x 2 时,函数取最大值 y4；当 xa 时,函数取最小值 ya 2；（3）当 0a2 时,由图 2 26可知,当 x 2 时,函数取最大值 y4；当 x 0 时,函数取最小值 y0；（4）当 a2时,由图 226可知,当 xa 时,函数取最大值 ya2；当 x

21、0 时,函数取最小值y0y y y 4 2 4 a4 2 2 aa 2 a O x 2 O a 2 x 2 O a x 说明： 在本例中,利用了分类争论的方法,对a 的全部可能情形进行争论此外,本例中所争论的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来争论,在解决这一类问题时,通常需要借助 于函数图象来直观地解决问题例 4（1）分析： 在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件 数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数 a 最大值、顶点位置,从而可以将二次函解： 二次函数的最大值为2,而最大值肯定是其顶点的纵坐标,顶点的纵坐标为y2又顶点在直线0yx1 上,所以,2x1,x1顶点

22、坐标是 （1,2）设该二次函数的解析式为a x221 a,二次函数的图像经过点（3, 1）,1a32 21,解得 a 2二次函数的解析式为y2x2 21,即 y 2x2 8x7说明： 在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数 的顶点式,最终解决了问题因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并奇妙地利用条件简捷地解 决问题（ 2） 分析一 ：由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的 交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式名师归纳总结 得解法一： 二次函数的图象过点 3,0,1,0,可设二次函数为y ax3

23、 x 1 a 0,绽开,yax22ax 3a, 顶点的纵坐标为12a2a4 a24a,由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离4第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 1 2 3 1 2 32, |4a|2,即 a所以,二次函数的表达式为 yx x,或 yx x2 2 2 2 2分析二 ： 由于二次函数的图象过点 3,0,1, 0,所以,对称轴为直线 x 1,又由顶点到x 轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或 2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点 3,0,或 1,0,就可以求得函数的表达式解法二 ：二

24、次函数的图象过点 3,0,1,0,对称轴为直线 x 1又顶点到 x 轴的距离为2,顶点的纵坐标为 2,或 2于是可设二次函数为 yax1 22,或 y ax1 22,由于函数图象y过点 1,0, 0a1122,或 0a112 2 a 1 2,或 a1 2所以,所求的二次函数为1 x1 22,或 y1 x12 2说明： 上述两种解法分别从与22x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,挑选恰当的方法来解决问题（ 3） 解： 设该二次函数为 yax 2bx ca 0由函数图象过点 1, 22,0, 8,2,8,可得22 a b c8

25、c 解得 a 2,b12,c 8所以,所求的二次函数为 y 2x 212x88 4 a 2 b c【巩固练习 】1（1）D （2）C （3）D 2（1） yx2x2 （2）y x 22x3 8 x 3（1）y2x22x1（2）y4x12342 x8x1（3）y1x3x51x22x3（4）y1x3221x23x52225554当长为 6m,宽为 3m 时,矩形的面积最大2,y x , 0x5（ 1）函数 f（ x）的解析式为y4x, 2x4,2 x4, 4x2 4 6 6,8x , 6x8.O （2）函数 y 的图像如下列图（3）由函数图像可知,函数y 的取值范畴是0y2专题六二次函数的最值问题

26、参考答案例 1 分析 ：由于函数y2x23 x5和yx23 x4的自变量x 的取值范畴是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值名师归纳总结 解 ：（1）由于二次函数y2x23x5中的二次项系数20,所以抛物线y2x223x5有最低点,即函第 9 页,共 11 页数有最小值由于y2x23x5=2x3249,所以当x3时,函数yx23x5有最小值是44849 83 x4中的二次项系数-1 0,所以抛物线yx23x4有最高点,即函（2）由于二次函数yx2数有最大值由于yx23x4=x3225,所以当x3时,函数yx23x4有最大值24225 4x1时,y m

27、in1,当x2时,y max5例 2 解： 作出函数的图象当- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 说明： 二次函数在自变量 x 的给定范畴内,对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值依据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量x 的范畴的图象外形各异下面给出一些常见情形：例 3 解： 作出函数yx2x x22x在x0内的图象y1,又可以看出：当x1时,y min1,无最大值所以,当x0时,函数的取值范畴是例 5 解： 1 由已知得每件商品的销售利润为x30元,那么 m 件的销售利润为ym x30m1623

28、x yx301623 3 x2252 x4860,30x54112 由1知对称轴为x42,位于 x 的范畴内,另抛物线开口向下当x42时,y max32 42252 424860432当每件商品的售价定为42 元时每天有最大销售利润,最大销售利润为432 元【巩固练习 】14 14 或 2,3 22l22 m3a2,b24a1或a1645当t0时,y max22 t ,此时x1；当t0时,y max22 t ,此时x专题七不等式答案例 2 解： 1 不等式可化为x2x40 不等式的解是2x4x12k71012 不等式可化为x220 不等式的解是x2； 3 不等式可化为24例 3 解： 明显k0

29、不合题意,于是：k04 k20k200k0k2 2k1k1 或例 4 分析： 1 类似于一元二次不等式的解法,运用“ 符号法就 ” 将之化为两个一元一次不等式组处理；或名师归纳总结 者由于两个数式 相除异号,那么这两个数式 相乘也异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求第 10 页,共 11 页解2 留意到经过配方法,分母实际上是一个正数解： 1 解法 一原不等式可化为：2x1300或2x1300x3或x31x322xxxx211解法 二 原不等式可化为：2x3x101x32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 解： 原不等式可化为：x12303x2503x503 x25x20x0xx2x 2 或 x 53说明： 1 转化为整式不等式时,肯定要先将右端变为