2022年利用向量法求空间角经典教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案利用空间向量求空间角目标： 会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；一、复习回忆向量的有关学问：（1）两向量数量积的定义：a b | a | b | cos a , b（ 2）两向量夹角公式：cos a , b a b| a | b |a 二、学问讲解与典例分析学问点 1：两直线所成的角（范畴： 0 , ）O 2 b （ 1）定义：过空间任意一点 o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b ,那么直线 a与 b 所成的锐角或直角,叫做异面直线 a 与 b 所成的角 . （ 2）用向量法求异面直线所

2、成角,设两异面直线 a、b 的方向向量分别为 a 和 b ,a问题 1： 当 a 与 b 的夹角不大于 90 时,异面直线 a、b 所成 O的角 与 a 和 b 的夹角的关系？a, b bb问题 2： a 与 b 的夹角大于 90 时,异面直线 a、b 所成的角 aO与 a 和 b 的夹角的关系？a, b| m n |结论：异面直线 a、b 所成的角的余弦值为 cos | cos m , n | m | n |例 1 如图,正三棱柱 ABC A 1C 1 的底面边长为 a ,侧棱长为 2 a,求 AC 和 CB 所成的角 . 解法步骤： 1.写出异面直线的方向向量的坐标；2.利用空间两个向量的

3、夹角公式求出夹角；名师归纳总结 解：如图建立空间直角坐标系Axyz,就A0 ,0 0,C13a ,1a,2a ,C3a ,1a,0 ,B 10 ,a,2a第 1 页,共 4 页2222C 1AC13a,1a,2a,CB13a,1a ,2a22223x1A Z Cy 1B即cosAC1,CB 1|AC1|CB 1|3a21AC 和CB 所成的角为2ABa2AC 1CB132D总结 :（ 1）cosDF 1,BE 1与cosDF 1,E 1B相等吗？x （2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区分？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案（图

4、2）. 学问点 2、直线与平面所成的角（范畴：0 ,2）摸索：设平面的法向量为 n ,就n,BA与的关系？AnAABOBO（图 1）BO2n,BAnn, BA2据图分析可得：结论：sin|cosn ,AB|n|AB|nAB|AA 1B 1B所成角的正弦值例 2、如图, 正三棱柱ABCA 1C 1的底面边长为 a ,侧棱长为2a,求AC 和面分析： 直线与平面所成的角步骤：1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角, 锐角 其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系Axyz,就AA100,2a,ABy,0,a,0 ,A Z C 1B 1y AC 13a,1a ,2a

5、设平面AA 1nx ,z B 1B的法向量为22由nAA 102 az0y0取x1,n ,1 ,0 0 xADCBnAB00ay0z设AA 1B所成角为x AC 和面sin|cosAC1,n|AC 1|n|3 2a2|1|AC1N3a22AC和面AA 1B所成角的正弦值1 . 2学问点 3：二面角 （范畴：0 ,）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角；如图,设二面角l的大小为,其中ABl,AB,CDl,CD. B A 名师归纳总结 结论：coscosAB,CD|ABCD|l C D 第 2 页,共 4 页AB|CD- - - - - -

6、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案法向量法1nl cosn1, n22n 1,n2|n 1, n 2|l n 1n2n 1, n 2n 1,n 2n 1,n2|n2|n结论：cosn 1n2或coscosn 1n 1|n 2|n 1n2归纳： 法向量的方向：一进一出,二面角等于法向量夹角；同进同出,二面角等于法向量夹角的补角. 例 3、如图, ABCD 是始终角梯形,ABC90, SA面 ABCD ,SAABBC1,AD1 2,z求面 SCD 与面 SBA所成二面角的余弦值. S解：如图建立空间直角坐标系Axyz,就BCA00,0,C,1,10,D0 ,1

7、,0 ,S0 ,0 1, xADy2易知面 SBA的法向量为n 1AD0,1,0 ,CD ,11,0 ,SD,01,1 2221 21, 设面 SCD 的法向量为n 2x ,y,z ,就有xy0,取z1,得x,1 y2,n21 ,2yz02cosn1,n2|n 1|n2|6即所求二面角的余弦值为6 . 3n1n23C 1的练习1： 如图,正三棱柱ABC ABC 的全部棱长都为2 , D 为CC 中点求二面角AA 1B余弦值；解：取B C 中点O ,以 O 为原点, OB ,OO ,OA的方向为 x 1, ,z轴的正方向建立空间直角坐标系设z 名师归纳总结 平面AA1B的法向量为nx, ,zAB

8、0,1 ,3 ,0B A C D F 1AC 1y AA 10 2 0, nAB ,nAA 1nAA 12y0O nABx3 z 1令z1,得平面A AD 的一个法向量n30, 1,BC 10 B 1第 3 页,共 4 页x 设平面A 1BC 1的法向量为v a ,b ,c BA 1,1 ,23,2 , ,2vBA 1,vBC 1nBA 1a2 b3 c0nBC 12 a2 b0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令a1,得平面A 1BC 1的一个法向量名师精编优秀教案BC 1的余弦值为15；v,1,13 cosn,vnv2315, 所求的二面角AA 1

9、nv2555练习 2: 如图 2,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD 中, AD/BC , ABC=900,SA面 ABCD ,SA=1 ,2AB=BC=1 , AD=1 ； 求侧面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的余弦值；2z 解：以 A 为原点如图建立空间直角坐标系,就S（0,0,1 ）, A 2y S （0, 0,0）, B（0,1,0）,C（1,1, 0）,D（1 ,0,0）,2A B SA 0,0,1,SB,0,11SD1,0,1,SC,1,11,D 22222C 明显平面SBA 的一个法向量为n =1 ,0,0,x 设平面 SCD 的一个法向量为n = x,y,z,就n 平面 SCD 图 2 n2SD02xx2z00取z2,就n22,1 , 2yzn 2SC0就cosn 1,n 2|n 1|n2|122,n 1n 2133所以面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的余弦值为2 ；3三、小结： 1 异面直线所成的角：cos|cosm ,n|m|n|mn|名师归纳总结 2直线和平面所成的角：sinn 1,|cosn ,AB|2|n|AB|coscosn 1,n2|n 1|n2|第 4 页,共 4 页|nAB|3二面角： . coscosn 2|n 1n|或n 1|nn 1n22- - - - - - -