2022年变化率与导数教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第三章 变化率和导数教学目标：311 瞬时变化率导数1 懂得并把握曲线在某一点处的切线的概念 2 会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 3 懂得导数概念 实际背景,培育同学解决实际问题的才能,进一步把握在一点处的导数的定义 及其几何意义,培育同学转化问题的才能及数形结合思想教学过程： 时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的,只要知道了物体的运动方程,代入公式就可以求出瞬时速度了. 运用数学工具来解决物理方面的问题,是不是便利多了.所以数学是用来解决其他一些学科,比如物理、化学等方面问题的一种

2、工具,我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数fx 在区间 x A,x B 上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画；从这个动画可以看出,随着点P 沿曲线向点Q运动,随着点P无限靠近点 Q时,就割线的斜率就会无限靠近曲线在点Q处的切线的斜率；所以我们可以用Q点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设 Px1,fx1 ,Qx0,fx0 ,就割线 PQ的斜率为kPQfx 1fx 0,x 1x0设 x 1x 0= x

3、,就 x 1 = xx 0,k PQfx0xfx0xx当点 P沿着曲线向点Q无限靠近时,割线PQ的斜率就会无限靠近点Q处切线斜率,即当无限趋近于0 时,k PQfx0xfx0无限趋近点Q处切线斜率；x2、曲线上任一点x0,fx0 切线斜率的求法：kfx0xfx0,当 x 无限趋近于0 时, k 值即为 x 0,fx0 处切线的斜率；x3、瞬时速度与瞬时加速度1 平均速度：物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度t=t02 位移的平均变化率：s t0ts t0t3 瞬时速度：当无限趋近于0 时,s t0ts t0无限趋近于一个常数,这个常数称为t时的瞬时速度求瞬时速度的步骤：名师归纳总

4、结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 先求时间转变量t 和位置转变量学习必备s 欢迎下载ts t0st02. 再求平均速度vs0,s 无限趋近于常数 tv 为瞬时速度这个常数称为t3. 后求瞬时速度：当t 无限趋近于4 速度的平均变化率：vt0tvt0tvt0无限趋近于一个常数,tv t05 瞬时加速度： 当t 无限趋近于0 时,tt=t0 时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率三、数学应用例 1、已知 fx=x2,求曲线在x=2 处的切线的斜率；）变式 :1. 求 f x 12 过点 1,1 的切线方程x

5、2. 曲线 y=x 3在点 P 处切线斜率为 k, 当 k=3 时 ,P 点的坐标为 _ 3. 已知曲线f x 3x 上的一点 P0,0 的切线斜率是否存在. 例 2. 始终线运动的物体,从时间t 到 tt 时,物体的位移为s,那么s为（t从时间 t 到 tt 时,物体的平均速度；在 t 时刻时该物体的瞬时速度；当时间为t 时物体的速度；从时间 t 到 tt 时物体的平均速度例 3. 自由落体运动的位移sm 与时间 ts 的关系为 s=1 gt 221 求 t=t0s 时的瞬时速度2 求 t=3s 时的瞬时速度3 求 t=3s 时的瞬时加速度点评：求瞬时速度,也就转化为求极限,瞬3.1.2 导

6、数的几何意义（ 1）教学目的 ：1. 明白平均变化率与割线之间的关系2. 懂得曲线的切线的概率3. 通过函数的图像懂得导数的几何意义教学重点函数切线的概念,切线的斜率,导数的几何意义教学难点懂得导数的几何意义教学过程名师归纳总结 探究曲线的切线及切线的斜率第 2 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当点pnx n,fxnn1,2,3,4学习必备欢迎下载趋近于点Px 0,fx0 时割线PP n变化趋势沿着曲线fx是什么？割线PP n 的斜率kn 与切线PT的斜率无限接近x0fxklim x0fx nfx0lim x0fx 0xfxnx 0x

7、留意：（1）设切线的倾斜角为,那么当x0 时,割线PP n 的斜率为曲线在点P 处的切线的斜率.（2）求曲线上某点的切线的斜率可以求该点的导数.（3）切线的斜率函数在该点的导数.练习.1函数y23 xx 在区间1,3 上的平均变化率为f x2.如函数fx 2x21 的图像上一点 1,及邻近一点 1x,f,就3 .一个做直线运动的物体,其位移与时间的关系是s3 tt2.（1）求此物体的初速度；（2）求t0 到t2 时的平均速度.4.已知函数yfx在xx0 处的导数为11. 就lim x0fx0xfx 0x导数的几何意义：函数yfx在xx 0处的切线的斜率就是函数在该点时的导数.曲线在某点的切线（

8、1）与该点的位置有关.限位置来判定与求解. 如有极限,就在此点有切线且唯独；如无极限,（2）要依据割线是否有极就不存在切线.（3）曲线的切线与切线并不肯定只有一个交点,可以有多个甚至很多个.例 1. 求曲线yfxx21 在点P1,2 处的切线方程.练习（1）函数y31在点1,2处的切线方程为kx2（2）已知yx2x,求曲线上点A 1, 处的斜率导函数的定义名师归纳总结 从求函数fx在xx0 处求导数的过程可以看到fx 是一个确定的数,那么当x 变化时,fx便是x 的一个函数,我们称它为fx 的导函数,记作fx 或y.即fx ylim x 0fxx fx变量该变量x留意（1）函数在某一点处的导数

9、fx是一个定值,是函数在该点的函数该变量与自的比值的极限,不是变量.第 3 页,共 18 页（2）函数的导数：是指某一区间内任一点x而言的.（3）函数fx在x0 处的导数就是导函数fx在xx 0处的函数值.例2. 求函数yx2x1 的导数,及在2,7 处的斜率.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3.2 3 导数的几何意义 2 教学目标：懂得导数概念. 把握函数在一点处的导数定义及求法. 把握函数的导数的求法. 教学重点：导数的概念及其求法. 及几何意义；教学难点：对导数概念的懂得. 教学过程：复习引入1函数的导数值函数 yf x ,假

10、如自变量x 在 x0处有增量x,就函数 y 相应地有增量yf x0 x f x0 比值 y 就叫做函数 yf x 在 x0到 x0 x 之间的平均变化率,即xy f x 0 x f x 0 .x x假如当 x0 时,y 有极限,我们就说函数 yf x 在点 x0处可导,并把这个极限叫做 f xx在 x0处的导数 或变化率 记作 f x0 或 y x x 0,即 f x0 lim y = lim f x 0 x f x 0 x 0 x x 0 x2函数 yf x 的导函数假如函数在开区间 a, b内每点处都有导数,对于每一个 x0 a,b ,都对应着一个确定的导数 f x0 从而构成一个新的函数

11、 f x 称这个函数为函数 yf x 在开区间内的导函数简称导数也可记作 y y f x x f x 即 f x y lim lim .x 0 x x 0 x3导数的几何意义函数 yf x 在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 的斜率yf x 在点 P（x0, f x0 ）处的切线也就是说,曲线yf x 在点 P（x0, f x0 ）处的切线的斜率是f x0 切线方程为yy0 f x0 x0 x0 练习：名师归纳总结 1当自变量从x0 变到 x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ A ）第 4 页,共 18 页A在区间 x0,x1 上的平均变化率B在 x0处的变化率C在 x1

12、处的导数D在区间 x0,x1 上的导数2以下说法正确选项（ C ）A如 f x0 不存在,就曲线y = f x 在点 x0, f x0 处就没有切线- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载f x0 必存在B如曲线 y = f x 在点 x0, f x0 处有切线,就C如 f x0 不存在,就曲线y = f x 在点 x0, f x0 处的切线斜率不存在D如曲线 y = f x 在点 x0, f x0 处的切线斜率不存在,就曲线在该点处就没有切线3已知曲线y1x 3上一点P2 ,8,31x3433求 点 P 处的切线的斜率；点 P 处的切线的方

13、程解：y1x3,ylim x 0ylim x 01xx3333xx1lim x 03x2x3xxx2x3点 P处的切线的斜率等于31lim x 03 x23xxx2x2,yx22 2.43在点 P 处的切线的方程是y84 x2,即12xy160 .3新课讲授：例1教材例 2；例2教材例 3；练习：甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图,试问：（ 1）甲、乙二人哪一个跑得快？（ 2）甲、乙二人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快？解：（1）乙跑的快； （2）乙跑的快 . 例 3教材 P10 面第 5 题例 4教材 P11 面第 3 题；例 5已知：曲线yx21与yx31在

14、x 处的切线相互垂直,求的值；4在 x = 2 处的切例 6已知点M 0, 1 , F 0, 1,过点 M的直线 l 与曲线y13 x4x3线平行 . （1）求直线 l 的方程；（2）求以点 F为焦点, l 为准线的抛物线 C的方程 . 解：（ 1）f 2 lim x 0 f 2 xx f 2 = 0. 直线 l 的斜率为 0,其方程为 y = 1. （2）抛物线以点 F 0, 1 为焦点, y = 1 为准线 . 设抛物线的方程为 x 2 = 2 py,就p1, p 2 . 2故抛物线 C的方程为 x 2 = 4 y. 课堂小结导数的几何意义名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页

15、,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载函数 yf x 在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 的斜率yf x 在点 P（x0, f x0 ）处的切线也就是说,曲线yf x 在点 P（x0, f x0 ）处的切线的斜率是f x0 切线方程为yy0 f x0 x0 x0 课 后 作 业324导数与导函数的概念教学目标：1、学问与技能：懂得导数的概念、把握简洁函数导数符号表示和求解方法；懂得导数的几何意义；懂得导函数的概念和意义；2、过程与方法：先懂得概念背景,培育解决问题的才能；再把握定义和几何意义,培育转化问 题的才能；最终求切线方程,培育转化问题的

16、才能 3、情感态度及价值观；让同学感受事物之间的联系,体会数学的美；教学重点： 1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的敏捷运用教学难点：1、 导数概念的懂得；2、导函数的懂得、熟悉和运用 教学过程 一、情境引入 在前面我们解决的问题：1、求函数fx x2在点（ 2, 4）处的切线斜率；2t yf2x fx4x,故斜率为4 xx2、直线运动的汽车速度V与时间 t 的关系是Vt21,求tot时的瞬时加速度；Vv totvto2 tot,故瞬时加速度为tt二、学问点讲解名师归纳总结 上述两个函数f x 和Vt中,当x t 无限趋近于0 时,V ty 都无限趋近于一个第 6 页,共 18 页x常数；

17、归纳 ：一般的,定义在区间（a , b ）上的函数fx,xoa,b,当x无限趋近于0 时,yfxox fx o无限趋近于一个固定的常数A,就称fx 在xxo处可导,并称Axx为fx在xxo处的导数,记作fxo或fx|xxo,上述两个问题中： （ 1）f24,（2）Vto2to- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、几何意义 ：我们上述过程可以看出fx 在xx 处的导数就是fx在xx 处的切线斜率；四、例题选讲例 1、求以下函数在相应位置的导数（1）fxx21,x2（ 2）fx2x1,x2（3）fx3,x22,就当 x 无限趋近于0 时,

18、例 1、函数fx满意f1（1）f 1x f 1f 12 x2 x f 1（2）x变式 : 设 fx 在 x=x0处可导,（3）fx 04xfx0无限趋近于1,就fx0=_ fx0的关系；x（4）fx 04x fx0无限趋近于1,就fx0=_ x（5）当 x 无限趋近于0,fx 02x fx02x所对应的常数与x总结： 导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值；例 3、如 f x x 1 2,求 f 2 和 f 2 留意分析两者之间的区分；例 4：已知函数 f x x,求 f x 在 x 2 处的切线；导函数的概念涉及：f x 的对于区间 （ a , b）上任意点处都可导,就 f x 在各

19、点的导数也随 x的变化而变化,因而也是自变量 x 的函数,该函数被称为 f x 的导函数,记作 f x ；五、小结与作业例 2、已知f x x22（1）求f x 在x1处的导数；（2）求f x 在 xa 处的导数 . 补充 : 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 已知点 M0,-1,F0,1,过点 M的直线 l学习必备欢迎下载与曲线 y 1 x 3 4 x 4 在 x 2 处的切线平行 . 31 求直线 l 的方程 ; 2 求以点 F 为焦点 , l 为准线的抛物线 C的方程 .331 常见函数的导数一、教学目标：把

20、握初等函数的求导公式；二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式一、复习1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图；（1）求函数的转变量 y f x x f x （2）求平均变化率 y f x x f x x x（3）取极限,得导数 y /f lim x 0 yx本节课我们将学习常见函数的导数；第一我们来求下面几个函数的导数；2 3（1）、y=x （2）、y=x（3）、y=x问题：y x 1,y x 2,y x 3呢？问题： 从对上面几个幂函数求导,我们能发觉有什么规律吗？二、新授1、基本初等函数的求导公式：名师归纳总结 kxbk k,b为常数 C0C 为

21、常数 第 8 页,共 18 页 1x22xx33x2 1x12 xx21x由 你能发觉什么规律. xx1（为常数）1axaxlna a0,a1log x1log e1 a0,且axxlna- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载exexlnx1sinxcosxcosxsinxx从上面这一组公式来看,我们只要把握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了；例 1、求以下函数导数；（1）yx5（2）y4x（3）yxxx0,求点 P 的横坐标的（4）ylog3x（ 5）y=sin2+x 6 y=sin3（7） y=cos2 x （8）y=f1例

22、2：已知点 P 在函数 y=cosx 上,（0x2 ）,在 P 处的切线斜率大于取值范畴；例 3. 如直线 yxb 为函数y1图象的切线 , 求 b 的值和切点坐标. . x变式 1. 求曲线 y=x2在点 1,1处的切线方程 . 总结切线问题：找切点求导数得斜率变式 2: 求曲线 y=x2过点 0,-1的切线方程变式 3: 求曲线 y=x3过点 1,1的切线方程变式 4: 已知直线yx1, 点 P 为 y=x2上任意一点 , 求 P 在什么位置时到直线距离最短练习求以下函数的导数： yx5；y yx6；（3）y1;（4）y3 x.（5）yx2x3x例 2求曲线y1和y2x在它们交点处的两条切

23、线与x 轴所围成的三角形的面积；x例 3已知曲线x2上有两点 A（1,1）,B（2,2）；求：（1）割线 AB的斜率；（3）点 A 处的切线的斜率；例 4求抛物线 y x 2 上的点到直线三、小结（2）在 1 ,1+ x 内的平均变化率；（4）点 A处的切线方程xy20 的最短距离（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用341 基本初等函数的导数及导数的运算法就 1 一、教学目标：把握八个函数求导法就及导数的运算法就并能简洁运用 . 二、教学重点：应用八个函数导数求复杂函数的导数 . 教学难点：商求导法就的懂得与应用 . 三、教学过程：（一）新课1P14 面基本初等函数的导数公式（见教

24、材）2导数运算法就：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）和（或差）的导数法就 1 两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数的和（或差）,即 u v u v 例 1 求 yx 3 sin x 的导数解： y x 3 sin x 3x 2cos x例 2 求 yx 4 x 2 x3 的导数解： y 4x 3 2x1（2）积的导数法就 2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘其次个函数,加上第一个函数乘其次个函数的导数,即 uv u vuv 由此可以得出 Cu C uCu0CuCu 也

25、就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即 Cu Cu 例 3 求 y2x 33x 25x4 的导数解： y 6x 26x5例 4 求 y2 x 23 3 x2 的导数解： y 2 x2 3 3 x2 2 x 2 33 x 2 4x3 x2 2 x23 3 18x28x9或：y6 x32x29x6,y18x24x9练习1填空： 3 x214 x 2 3 6 x 4 x 23 3 x 21 8x ； x3sin x 3 x 2 sin xx 3 cos x 2判定以下求导是否正确,假如不正确,加以改正：3 x22 x3 2x2 x3 3x23 x 2 3 x22 x3 2x2 x3

26、3x23 x 2 3求以下函数的导数： y2x 33x 2 5x4； yax3bxc； ysin xx1；x3log2x（4） y3 x212 x ；（5） y1 x 2cos x；（6）y2xcos例 5 已知函数 f x x 2 x1 ,如 f （3）商的导数例 6求以下函数的导数 x0 f x0 ,求 x0的值（1）yxtanx（2）y1sinxx（3）ysinxcoslog2x练习：求以下函数的导数名师归纳总结 （1）y1y25cosx（2）yxtanxcosx第 10 页,共 18 页xx2x3例 7求函数xsinx的导数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

27、 - - - 学习必备 欢迎下载摸索：设 f x x x1 x2 xn,求 f 0 练习 . 函数 f xx x1 x2 x 3 x100 在 x0 处的导数值为 A. 0 B. 100 2 C. 200 D. 100. （三）课 堂 小 结1和（或差）的导数 u v u v 2积的导数 uv u vuv （四）课 后 作 业342 函数的和、差、积、商的导数教学目的：1. 懂得两个函数的和 或差 的导数法就,学会用法就求一些函数的导数2. 懂得两个函数的积的导数法就,学会用法就求乘积形式的函数的导数3. 能够综合运用各种法就求函数的导数教学重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法就教学难

28、点：函数的积、商的求导法就的推导授课类型： 新授课教学过程 ：一、复习引入：常见函数的导数公式：C0； kxbk k,b为常数 xnnxn1； axxaxlna a0,且a0exx eln 1logax 1logae1a a0,且a0xxlnsinxcosx；cosxsinx二、讲解新课：例 1. 求 y x 2x 的导数 .法 就 1 两 个 函 数 的 和 或 差 的 导 数 , 等 于 这 两 个 函 数 的 导 数 的 和 或 差 , 即f x g x f g x 法就 2 常数与函数的积的导数,等于常数与函数的积的导数cf x cf x 法就 3 两个函数的积的导数,等于第一个函数的

29、导数乘以其次个函数,加上第一个函数乘以其次名师归纳总结 个函数的导数,即f x g x f f x g x -f x g x ,第 11 页,共 18 页证明：令yf x g x ,就f x g xyf xxg xx -f x g x fxxg xx -f x g xx +- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yf xx f x g xx +学习必备欢迎下载g x f x g xx xxx由于 g x 在点 x 处可导,所以它在点 x 处连续,于是当 x 0 时,g x x g x ,从而 lim x 0 yx lim x 0 f x xx f x g x

30、 x + f x lim x 0 g x xx g x f f x g x ,法就 4 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即f x f f x g 0g x g x 2三、讲解范例：例 1求以下函数的导数t2t11、y=x 2+sin x 的导数 . 2、求y2x233x2的导数 两种方法 3、求以下函数的导数h x xsinxs t 4、y=5x10sin x2x cosx9,求 y5、求 y=x2x的导数 . sin变式： 1 求 y=x3在点 x=3 处的导数 . x232求 y=1cos x 的导数 . x例 2 求 y=tan

31、x 的导数 . 例 3 求满意以下条件的函数f x 0处的切线方程为1f x 是三次函数 , 且f03,f00,f13,f22f x 是一次函数 , 2 x f 2x1f x 1M处-1 ,f-1变式： 已知函数 fx=x3+bx2+cx+d 的图象过点P0,2 ,且在点6x-y+7=0 ,求函数的解析式四、课堂练习 ：名师归纳总结 1. 求以下函数的导数：1 y=ax 2y=xx2 3y=11x第 12 页,共 18 页ax32cos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载五、小结：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简洁的函数均可利用求 导法就与导数公式求导,而不需要回到导数的定义去求此类简洁函数的导数 , 商的导数法就 u = u v 2 u v v 0 ,如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法就,来求一些复杂函数 v v的导数 . 要将和、差、积、商的导数法