2022年勾股定理知识点、经典例题及练习题带答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图 ”,后人称其为“赵爽弦图 ”（如图 1）图 2 由弦图变化得到,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形 ABCD,正方形 EFGH,正方形 MNKT的面积分别为 S1,S2,S3如S1,S2,S310,就 S2 的值是多少呢？【学问梳理】1、勾股定理定义：假如直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 a 2b2c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方BA弦cb股a勾C勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边

2、勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长 个三角形是直角三角形；a,b,c 有下面关系： a2b2c2,那么这2、勾股数：满意 a 2b 2c2 的三个正整数叫做勾股数（留意：如a,b,c、为勾股数,那么 ka,kb,kc 同样也是勾股数组；）* 附：常见勾股数： 3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3、判定直角三角形：假如三角形的三边长 直角三角形；a、b、c 满意 a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（经典直角三角形：勾三、股四、

3、弦五）其他方法：（1）有一个角为 90的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；用它判定三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为 c）；（2）如 c2a2b2,就 ABC 是以 C 为直角的三角形；如 a2b2c2,就此三角形为钝角三角形（其中 如 a2b2c2,就此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）；c 为最大边）4、留意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中,假如一个锐角等于 的一半；30,那么它所对的直角边等于斜边（3）在直角三角形中,假如一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于 30；5、勾股定理的作用

4、：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边,求另两边的关系；（3）用于证明线段平方关系的问题；（4）利用勾股定理,作出长为 n 的线段【经典例题】 【例 1】（ 2022 山东烟台）如图是油路管道的一部分,延长外围的支路恰好构成一个直角三角名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点形,两直角边分别为 6m 和 8m.依据输油中心 O 到三条支路的距离相等来连接管道,就 O 到三条支路的管道总长（运算时视管道为线,中心 O 为点）是（）A.2m B.3m C.6m D.9m【例 2】（

5、2022 贵州贵阳）如图,ABC 中, C=90 ,AC=3, B=30 ,点 P 是 BC 边上的动点,就 AP 长不行能是（）A 、3.5 B、 4.2 C、5.8 D、7 【例 3】（2022 河北）如图,在ABC 中, C=90 ,BC=6,D,E 分别在 AB,AC 上,将ABC 沿 DE 折叠,使点A 落在点 A 处,如 A 为 CE 的中点,就折痕DE 的长为（）A0.5 B2 C3 D4 【例 4】（2022 重庆綦江）一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如下列图.正方形 DEFH 的边长为 2 米,坡角A30,B90,BC6 米. 当正方形 DEFH 运动到什么位置,即当 A

6、E米时 ,有 DC2 AE2 BC2 . 【例 5】（2022 广东肇庆）在直角三角形ABC 中, C 90,BC 12,AC 9,就 AB【例 6】（2022贵州安顺）如图,在 Rt ABC中, C=90 ,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将BCD 沿BD折叠,使点 C落在 AB边的 C点,那么ADC 的面积是【例 7】（2022四川广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为 6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长第 3 页,共 7 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - -

7、 - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【例 8】（2022 四川乐山）如图,在直角ABC 中, C=90, CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D,如 DE 垂直平分 AB ,求 B 的度数；【例 9】（2022 山东枣庄）如图,在边长为1 的小正方形组成的网格中,ABC 的三个顶点均在格点上,请按要求完成以下各题： （1）画线段 AD BC 且使 AD =BC,连接 CD ；（ 2）线段 AC 的长为,CD 的长为,AD 的长为；（ 3） ACD 为 三角形,四边形 ABCD 的面积为；【例 10】如图, AB 为一棵大树,在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子,它们同时发

8、觉地面上的 C 处有一筐水果,一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处,利用拉在 A 处的滑绳 AC,滑到 C 处,另一只猴子从 D 处滑到地面 B,再由 B 跑到 C,已知两猴子所经路程都是 15m,求树高 AB. 【课堂练习】1、（2022 湖北黄石）将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点C. 30 度角,如图,就三角板上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成的最大边的长A. 3cm B. 6cm 3

9、2 cm D. 62 cm2、（2022 江苏无锡）如图,在 Rt ABC 中, ACB = 90 ,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,如 CD = 5cm,就 EF = _cm 3、（2022 山东枣庄）将一副三角尺如下列图叠放在一起,如AB =14cm ,就阴影部分的面积是_cm2. 4、王伟预备用一段长30 米的篱笆围成一个三角形外形的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a 米,由于受地势限制,其次条边长只能是第一条边长的 2 倍多 2 米. （1）请用 a 表示第三条边长；（2）问第一条边长可以为 7 米吗？为什么 .请说明理由,并求出 a 的取值范畴；（3）能否使得围成的

10、小圈是直角三角形外形,且各边长均为整数？如能,说明你的围法 ;如不能,请说明理由 . 5、一个零件的外形如图,按规定这个零件中A 与 BDC 都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4 ,AB=3,BD=5 ,DC=12 , BC=13 ,这个零件符合要求吗？【课后作业】1、以下各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是（）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点A.9 ,12,15 B.5 ,1, 3 C.0.2,0.3, 0.4 D.40 ,41,9 4 42、满意以下条件的三角形中,不是直角三角

11、形的是（）A. 三个内角比为 121 B.三边之比为 125C.三边之比为 3 25 D. 三个内角比为 1 23 3、如图,以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形,其面积分别为 S1、S2、S3,且 S1=4,S2=8,就 AB 的长为 _. 14、如图, E、F 分别是正方形 ABCD 中 BC 和 CD 边上的点,且 AB=4,CE= 4 BC,F 为 CD 的中点,连接 AF、AE,问 AEF 是什么三角形？请说明理由 . A DFB E C5 题图 （6 题图）5、如图,如上图,今年的冰雪灾难中,一棵大树在离地面 3 米处折断,树的顶端落在离树杆底部 4 米处,那么这棵树折断之前的

12、高度是 米. 6、一个零件的外形如下列图,已知 AC=3 cm ,AB=4 cm ,BD=12 cm ；求 CD 的长 . 7、如图,某会展中心在会展期间预备将高 5m,长 13m,宽 2m 的楼道上铺地毯 ,已知地毯平方米 18 元,请你帮忙运算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱 . 8、如图, 一架长 2.5 m 的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时, 梯底距墙底端 0.7 m,假如梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m,就梯子的底端将滑出多少米？【经典例题】名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、C 2、D 3、B 4、14

13、5、15 6、6cm名师总结优秀学问点=8+8+ 8 2 =16+ 8 22 7、由题意可得,花圃的周长38、解： AD 平分 CAD CAD= BAD DE 垂直平分 AB AD=BD, B=BAD CAD= BAD= B 在 Rt ABC 中, C=90o CAD+ DAE+ B=90o B=30o9、解：（ 1）如图；（ 2） 2 5 ,5 ,5；（3）直角, 10；（4）1 210、设 AD=x 米,就 AB 为（10+x）米,AC 为（15-x）米,BC 为 5 米, x+102+52=15-x 2,解得 x=2,10+x=12 【课堂练习】1、D 2、 5 3、49 22a+2,第

14、三条边为30-a-（2a+2）=28-3a 4、1第一条边为a,其次条边为2不行以是 7,第一条边为7,其次条边为16,第三条边为7,不满意三边之间的关系,不行以构成三角形；13 2a5 35,12,13, 可以围成一个满意条件的直角三角形5、解：在ABD 中, AB 2+AD 2=3 2+4 2=9+16=25=BD 2,所以ABD 为直角三角形,A =90. 在 BDC 中,BD 2+DC 2=5 2+12 2=25+144=169=13 2=BC 2. 所以BDC 是直角三角形,CDB =90 .因此这个零件符合要求 . 【课后作业】1、C 2、C 3、2325第 7 页,共 7 页4、解：由勾股定理得AE2=25,EF2=5,AF2=20, AE2= EF2 +AF2, AEF 是直角三角形5、8 6、解：在直角三角形ABC 中,依据勾股定理,得BC2AC2AB23242在直角三角形CBD 中,依据勾股定理,得CD2=BC2+BD2=25+122=169,所以 CD=13. 7、依据勾股定理求得水平长为2 132 512m,地毯的总长为 12+5=17（m）,地毯的面积为172=34（m2,铺完这个楼道至少需要花为：34 18=612（元）8、 0.8 名师归纳总结 - - - - - - -