2022年哈工程自动控制原理课件相平面法例题解析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载相平面法例题解析：要求：1.正确求出对于非线性系统在每个线性区的相轨迹方程,也就是 e e 之间关系的方程（或 c c ）；会画相轨迹（模型中是给详细数的） ； 关键是确定开关线方程；2. 假如发生自持振荡,运算振幅和周期；留意相平面法一般应：1）依据信号流向与传输关系；线性部分产生导数关系,非线性部分形成不同分区；连在一起就形成了不同线性分区对应的运动方程,即含有 c 或者 e的运动方程 ；2） 依据不同线性分区对应的运动方程的条件方程确定 很关键；开关线方程；开关线方程确定3） 依据 不同线性分区对应的运动方程,利用解析

2、法 （分别变量积分法或者消去 t 法）不同线性分区对应的相轨迹方程,即 c c和e e之间关系；4） 依据不同分区的初始值绘制出 相轨迹,并求出稳态误差和超调、以及 自持振荡的周期和振幅等；例 2：已知 r t 4 1 t ,问题 1：给出起点在 e 0 0,e 0 0 的相轨迹图 e e ；10 分 问题 2：运算相轨迹旋转一周所需时间和振幅；5 分 r e k=1 x 1 c+-0 2 s 2解： 问题 1：1）设系统结构图,死区特性的表达式：名师归纳总结 x0,|e| 2第 1 页,共 5 页数学表达式：xe2,e2xe2,e22）由于线性部分：C s 1,就微分方程为：cxX s 2

3、s3）绘制 ee 平面 相轨迹图；由于 erc , cre, cre, cre；代入就exr（1）e0,|e|2I当t0,r0,r0；代入,就e2e ,e2IIee2,e2III由于非线性环节有3 个分区,相平面ee分为 3 个线性区；4） 系统开关线：e2；5）由题意知初始条件e 04, 00在 II 区,就从初始值动身绘制相轨迹：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - II 区： ee-2学习好资料且e=0欢迎下载2 0,）0 不是标准形式 e=0,就e2,所以奇点（特点方程 ：2 s10 sj,奇点对应着中心点没有一阶导数；或者 用解析法求：上课时依据

4、此方法求的：斜率方程 dede ee 2e e,就分别变量积分得0 eede 42 ee de就 e e 之间的相轨迹方程为 e 2 e 2 24结论： II 区以 奇点（2 0,）为中心的圆,与右开关线 e 2 的交点 A（ 2,-2）I 区：e 0,e C 2,水平线,与左开关线 e 2 的交点 B（-2, -2）III 区： e e 2 0 , e=0 且 e=0,就 e 2,所以奇点（-2 0,）2特点方程 ：s 1 0 s j , 奇点对应着中心点没有一阶导数；或者 用解析法求：上课时依据此方法求的：斜率方程 de e e 2,就分别变量积分得d e e ee e2 ede 2 2

5、e de（留意新的初始值 B（-2, -2）2 2就 e e 之间的相轨迹方程为 e e 2 4结论：III 区以 奇点（-2 0,）为中心的圆；以此例推,显现了一个封闭椭圆；极限环e- 4 0 2 C eIII D I AII 问题 2：如相平面中显现了稳固的极限环对应着非线性的自持振荡；问题：自持振荡的周期怎么算呢？幅值怎么算呢？如图：4 e2 2 ）这是个椭圆, 1）周期：T4tCAtADII 区：t CA2 1de24122de,（由于e2e224e4e4eI 区：tAD01de01de12e22C 点的横振幅代表此时的位移,也就是此时与横轴的交点位置大小即坐标；例 3：具有继电器特性

6、的非线性系统分析2006-B 15 分非线性掌握系统如图；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料0欢迎下载问题 1：给出起点在c02,c 0的相轨迹图 cc；10 分 问题 2：运算相轨迹旋转一周所需时间；5 分 cr+-e2x10 1s2解：问题 1：10 分 0 | e | 11）非线性环节数学表达式：x 2 e 1；2 e 12）由于线性部分：C s 12 所以描述线性部分的微分方程为：c xX s sc 0 | e | 1就 c 2 e 1c 2 e 13）绘制 e e平面 相轨迹图； e r c ,令

7、 r 0, e c ,c 0 | | 1 I就 c 2 c 1 IIc 2 c 1 III4）开关线方程：c 1,5）由已知条件,起点 c 0 2,c 0 0 , 2 , 0 从 II 区开头,下面绘制相轨迹：2 2区：c 2,就 c 2 t c 0 2 t ；c t c t c 0 t 2；2 2 2相轨迹为开口向左的抛物线,c 0.25 c 0.25 c 0 c 0 0.25 c 2；在右开关线 c 1 处的交点为 c 01 =1 , 1 0.25 c 22 c 01 2-1,-2 区：c 0,就 c c 01 2；c c t c 01 2 t 1；相轨迹为平行横轴的直线 （因为纵坐标不变

8、 -2,而横坐标虽时间变化） ；在左开关线处的交点为 c 02 =-1 , c 02 2-1,-2 区：c 2 t c 02 2 t 2；c t 2c t c 02 t 22 t 1；2 2 2c 0.25 c 0.25 c 02 c 02 0.25 c 2-相轨迹为开口向右的抛物线,在开关线处的交点-1, 2以此类推,求得如图的极限环；c1 名师归纳总结 - 2 T20 1 c第 3 页,共 5 页III I T1II - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载留意 : 每个区的初始值是不同的；当进入 II 区时的第一个位置即为II 的初

9、始值,每个区的初始值的求法就是根据上一个区的区域根轨迹方程可以求出进入下一区的初始值,以此一个个区经过后,会变成一个连续的曲线轨迹非线性系统的相轨迹；问题 2：运动一周所需时间为T411dc01dc411cdc01dc6（由于 II 区c0.25c22,2c1c24212就42cc ）留意 : 并不是全部开关线都是垂直于横轴的,界条件；开关线关键要看各个线性区域的边例 4 ：20XX年非线性掌握系统如下图所示；图中 r t 2 1 t ；1、以 c c 为相变量,写出相轨迹分区运动方程（8 分）；2、如 M=0.5 ,画出起始于 c 0 0、 0 0 的相轨迹（ 4 分）；3、利用相轨迹运算稳

10、态误差及超调量（3 分）；r e 1 a 1 c-s sb M0解： 1）（8 分）依据系统结构图可得：bMc01 区Mc02 区各区的运动方程：名师归纳总结 crcMcc2Mc0I 区c2M ,c0第 4 页,共 5 页crcMcc2Mc0II 区开关线：c0c2）（4 分） I 区：dcc2MA11.5 ,dc 2 1, 当Mc2M2c2A0.5时,所以：c1.52c21.52轨迹为圆,奇点为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - II 区：c2学习好资料A22,当M欢迎下载0.5,M2c20.5时,A2所以：c2.522 c0.52轨迹为圆,奇点为c2M ,c0就起点为（ 0,0）的相轨迹如图：c302c3）（3 分）稳态误差： 0 3 2超调量：% =50%2可见：开关线不肯定垂直于横轴；见作业：为 0（见 PPT）P438 8-10 12 ,且设输出初始值名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页