2022年北师大版九年级上相似三角形.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 同学编号 同学姓名 授课老师辅导学科 九年级数学 教材版本 下教课题名称 相像三角形 课时进度 总第（ ）课时 授课时间 10 月 23 日教学目标 把握相像三角形的概念、 性质及判定方法, 能够敏捷应用相像三角形的性质和判定方法方法解决实际问题；重点难点重点：相像三角形的概念、判定定理和相像三角形的性质 难点：如何依据问题的结论,在较复杂的图形中找到所要证明的相像三角形同步教学内容及授课步骤学问点归纳：学问点 1、有关相像形的概念1 、外形相同的图形叫相像图形,在相像多边形中,最简洁的是相像三角形 . 2 、假如两个边数相同的多边形的对应角相

2、等,对应边成比例,这两个多边形叫做相像多边形相像多边形对应边长度的比叫做相像比 相像系数 学问点 2 比例线段的相关概念（1）、假如选用同一单位量得两条线段 a, 的长度分别为 m, n,那么就说这两条线段的比是a mb n,或写成 a : b m : n注：在求线段比时,线段单位要统一；（2）、在四条线段 a , b , c , d 中,假如 a和 的比等于 c和 d 的比,那么这四条线段 a , b , c , d 叫做成比例线段,简称比例线段注：比例线段是有次序的,假如说da 是b ,c,d的第四比例项,那么应得比例式为：bd在比例式ac a：dbc：中,a、d叫比例外项,cabb、c叫

3、比例内项 , a 、c叫比例前项, b、d叫比例后项, d叫第四比例项,假如 b=c,即a：bb：d那么 b叫做 a、d的比例中项,此时有b2ad ；AB和BC的比例中（3）、黄金分割：把线段AB分成两条线段ACBCACBC,且使AC是名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 项,即AC2AB BC ,叫做把线段 AB 黄金分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,其,中AC51AB0.618 AB,即ACBC51,简记为：长短51全长22ABAC2注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形；黄金矩形：宽与长的比等于黄金数

4、的矩形学问点 3、 比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0）（1）、 基本性质：、a:bc:dadbc；、a bb cb2a c 注：由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如adbc除了可化为a:bc:d,仍可化为a:cb:d,c:da:b,b:da:c,b:ad:c,c:ad:bd:cb:a,d:bc:aab,交换内项cd（2）、更比性质 交换比例的内项或外项 ：acdc,交换外项bdbadb同时交换内外项ca（3）、反比性质 把比的前项、后项交换 ：acbdbdac（4）、合、分比性质：acabbcddbd注：实际上,比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两

5、个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立如：badcfbadcemaacd等等bdabc（5）、等比性质：假如acemabcd,那么acn0 bdfnbdfnb注：、此性质的证明运用了“ 设k 法” （即引入新的参数 k）这样可以削减未知数的个数,这种方法是有关比例运算变形中一种常用方法应用等比性质时,要考虑到分母是否为零可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立如：acea2c3ea2 c3 ea；其中b2d3f0bdfb2 d3fb2d3fb学问点 4 、比例线段的有关定理名师归纳总结 1 、三角形中平行线分线段成比例定理: 平行于三角形一边的直

6、线截其它两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 . A第 2 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由DE BC可得：ADAE或BDEC或ADAEDBECADEAABAC留意：、重要结论：平行于三角形的一边, 并且和其它两边相交的直线, 所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 . 、三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：假如一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 . 那么这条直线平行于三角形的第三边 . 此定理给出了一种证明两直线平行方法, 即：利用比例式证平行线 . 、平行线的应用：在证明有关比例线段时,帮

7、助线往往做平行线 , 但应遵循的原就是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 . 2 、平行线分线段成比例定理 已知 AD BE CF, : 三条平行线截两条直线 , 所截得的对应线段成比例 . A D可得ABDE或ABDE或BCEF或BCEF或ABBC等. CBEBCEFACDFABDEACDFDEEFF留意：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截,假如在其中一条上截得的线段相等,那 么在另一条上截得的线段也相等；学问点 5 、相像三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相像三角形相像用符号“ ” 表示,读作“ 相似于”相像三角形对应边

8、的比叫做相像比 或相像系数 相像三角形对应角相等,对应边成比例留意：、对应性：即两个三角形相像时,肯定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较简洁找到相像三角形的对应角和对应边的次序性：相像三角形的相像比是有次序、两个三角形外形一样,但大小不肯定一样全等三角形是相像比为 1的相像三角形二者的区分在于全等要求对应边相等,而相像要求对应边成比例学问点 6 、 三角形相像的等价关系与三角形相像的判定定理的预备定理1 、相像三角形的等价关系：名师归纳总结 、反身性：对于任一ABC 有ABC ABC 第 3 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

9、- 、对称性：如ABCA BC,就A B CABC C 或两边延长、传递性：如ABCA BC,且A BCABC,就ABC AB2 、三角形相像的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边线 相交,所构成的三角形与原三角形相像定理的基本图形：AEDAADEDE /DB2CB3CEB1C用数学语言表述是：BC,ADE ABC 学问点 7 、三角形相像的判定方法1、定义法：三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相像2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边 形与原三角形相像 或两边的延长线 相交,所构成的三角3、判定定理 1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那

10、么这两 个三角形相像简述为：两角对应相等,两三角形相像4、判定定理 2：假如一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹 角相等,那么这两个三角形相像简述为：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像5、判定定理 3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相像简述为：三边对应成比例,两三角形相像6、判定直角三角形相像的方法：1 、以上各种判定均适用2 、假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对 应成比例,那么这两个直角三角形相像3 、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相像学问点 8 、相像三角形常见

11、的图形名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、下面我们来看一看相像三角形的几种基本图形：如图：称为“ 平行线型” 的相像三角形（有“AA型” 与“BX型” 图）ACDACEDEBE3B1CD22 、如图：其中 1=2,就 ADE ABC称为“ 斜交型”“ 反 A共角共边型” 、“ 蝶型” ）的相像三角形； （有“ 反 A共角型” 、AEADED4BE1DB21AE12C2CCB如图：称为“ 垂直型”（有“ 双垂直共角型” 、 “ 双垂直共角共边型（也称“ 射影定理型” ）”“ 三垂直型” ）AAEBEDB C B C

12、D A C4 、如图： 1=2, B=D,就 ADE ABC,称为“ 旋转型” 的相像D三角形；AD21EB C2、几种基本图形的详细应用：（1）、如 DE BC（A型和 X型）就 ADE ABC （2）、射影定理 如CD为Rt ABC斜边上的高（双直角图形）就Rt ABCRt ACDRt CBD且AC2=AD AB,CD2=AD BD,BC2=BD AB；名师归纳总结 DAEEADCADC ACB第 5 页,共 23 页BCBCADB（3）、满意 1、AC2=ADAB,2、 ACD=B,3、 ACB=ADC,都可判定- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

13、（4）、当ADAEAE时, ADE ACBACAB 或AD AB=ACAADDEBCBC学问点 9：全等与相像的比较：三角形全等 三角形相像相像判定的预备定理两角夹一边对应相等 ASA 两角一对边对应相等 AAS 两角对应相等两边及夹角对应相等 SAS 两边对应成比例,且夹角相等三边对应相等 SSS 三边对应成比例直角三角形中始终角边与斜边对应相直角三角形中斜边与始终角边对应成等HL 比例学问点 10 、相像三角形的性质1 、相像三角形对应角相等,对应边成比例2 、相像三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比3 、相像三角形周长的比等于相像比4 、相像三角形面积的比等于相像

14、比的平方留意：相像三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来运算周长、边长等学问点 11 、相像三角形中有关证（解）题规律与帮助线作法 1、证明四条线段成比例的常用方法： 1、线段成比例的定义 2、三角形相像的预备定理 3、利用相像三角形的性质4 、利用中间比等量代换 5、利用面积关系学问点 12 、相像多边形的性质 1 、相像多边形周长比,对应对角线的比都等于相像比2 、相像多边形中对应三角形相像,相像比等于相像多边形的相像比3 、相像多边形面积比等于相像比的平方名师归纳总结 留意：相像多边形问题往往要转化成相像三角形问题去解决,因此,娴熟把握相像三角形知第 6 页,共 23 页- -

15、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 识是基础和关键学问点 13 、位似图形有关的概念与性质及作法1、假如两个图形不仅是相像图形,而且每组对应顶点的连线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形 . 2、 这个点叫做位似中心,这时的相像比又称为位似比 . 留意：（1）、位似图形是相像图形的特例,位似图形不仅相像,而且对应顶点的连线相交于一点. . （2）、位似图形肯定是相像图形,但相像图形不肯定是位似图形. （3）、 位似图形的对应边相互平行或共线. 3 、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相像比注：位似图形具有相像图形的全部性质

16、. 4、 画位似图形的一般步骤：（1）、确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）、分别连接原图形中的关键点和位似中心,并延长（或截取）. . （3）、依据已知的位似比,确定所画位似图形中关键点的位置. （4）、 顺次连结上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形留意：、位似中心可以是平面内任意一点,该点可在图形内,或在图形外,或在图形上（图形边上或顶点上）；、外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外,称为“ 外位似”（即同向位似图形）、内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上,称为“ 内位似”（即反向位似图形）（5）、 在平面直角坐标系中,假如位似变换是以原点O为位似中心,相像

17、比为 k（k0）,名师归纳总结 原图形上点的坐标为（ x,y ）, 那么同向位似图形对应点的坐标为kx,ky, 反向位似图形对应点的坐标为-kx,-ky, 第 7 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 相像三角形经典例题透析类型一、相像三角形的概念1、判定对错：1 、两个直角三角形肯定相像吗？为什么？2 、两个等腰三角形肯定相像吗？为什么？3 、两个等腰直角三角形肯定相像吗？为什么？4 、两个等边三角形肯定相像吗？为什么？5 、两个全等三角形肯定相像吗？为什么？思路点拨：要说明两个三角形相像,要同时满意对应角相等,对应边成比例 . 要说明不

18、相似,就只要否定其中的一个条件 . 解： 1 、不肯定相像 . 反例名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直角三角形只确定一个直角,其他的两对角可能相等,也可能不相等 . 所以直角三角形不肯定相像 . 2 、不肯定相像 . 反例等腰三角形中只有两边相等,而底边不固定. 因此两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边的比不肯定等于对应腰的比,所以等腰三角形不肯定相像 . 3 、肯定相像 . 在直角三角形 ABC与直角三角形 ABC 中4 、肯定相像 . 由于等边三角形各边都相等,各角都等于60度,所以两个等边三角形对应角相

19、等,对应边成比例,因此两个等边三角形肯定相像 . 5 、肯定相像 . 全等三角形对应角相等,对应边相等,所以对应边比为 相像比为 1. 【变式 2】以下能够相像的一组三角形为 1,所以全等三角形肯定相像,且 A、全部的直角三角形B、全部的等腰三角形 C、全部的等腰直角三角形D、全部的一边和这边上的高相等的三角形类型二、相像三角形的判定名师归纳总结 - - - - - - -1、如下列图,已知中, E为AB延长线上的一点, AB=3BE,DE与BC相交于 F,请找出图中各对相像三角形,并求出相应的相像比. 第 9 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、已知在 Rt

20、 ABC中, C=90 , AB=10,BC=6.在Rt EDF中, F=90 , DF=3,EF=4,就 ABC和 EDF相像吗？为什么？举一反三【变式 1】、已知：如图正方形 ABCD中,P是BC上的点,且 BP=3PC,Q是CD的中点求证： ADQ QCP. 【变式 3】、已知：如图, AD是 ABC的高, E、F分别是 AB、AC的中点求证： DFE ABC类型三、相像三角形的性质1、 ABC DEF,如 ABC的边长分别为 5cm、6cm、7cm,而 4cm是 DEF中一边的长度,你能求出 DEF的另外两边的长度吗？试说明理由 . 2、如下列图,已知ABC中, AD是高,矩形 EFG

21、H内接于 ABC中,且长边 FG在BC上,矩形相邻两边的比为 1：2,如BC=30cm,AD=10cm.求矩形 EFGH的面积 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 举一反三【变式 1】 ABC中,DE BC,M为DE中点, CM交AB于N,如,求. 类型四、相像三角形的应用举一反三【变式 1】、如图：小明欲测量一座古塔的高度,他站在该塔的影子上前后移动,直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔 他的影长是 2 m18 m,已知小明的身高是 1.6 m ,【变式 2】、已知：如图,阳光通过窗口

22、照耀到室内,在地面上留下 1.5m宽的亮区 DE.亮区一边到窗下的墙脚距离 CE=1.2m,窗口高 AB=1.8m,求窗口底边离地面的高 BC？名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 类型五、相像三角形的周长与面积1、已知：如图,在ABC与 CAD中,DA BC,CD与AB相交于 E点,且 AEEB=12,EF BC交 AC于F点, ADE的面积为 1,求 BCE和 AEF的面积【变式 2】、如图,已知： ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ/AB,P点在 AC上 与点 A、C不重合 ,Q点在 BC上1 、当

23、PQC的面积与四边形 PABQ的面积相等时,求 CP的长；2 、当 PQC的周长与四边形 PABQ的周长相等时,求 CP的长；类型六、综合探究1、如图, AB CD,A=90 , AB=2,AD=5,P是AD上一动点 不与A、D重合 ,PEBP,P为 垂足, PE交DC于点E,1 、设 AP=x,DE=y,求 y与x之间的函数关系式,并指出x的取值范畴；2 、请你探究在点 P运动的过程中,四边形 ABED能否构成矩形？假如能,求出 AP的长；如果不能,请说明理由 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 中考链接：例

24、 1、如图,已知等腰 ABC 中, AB AC ,AD BC 于 D,CG AB,BG 分别交 AD ,AC 于 E、 F,求证：BE 2 EF EG 证明：如图,连结 EC, AB AC, AD BC , ABC ACB ,AD 垂直平分 BC BE EC, 1 2 , ABC- 1 ACB- 2 ,即 3 4 ,又 CG AB, G 3 , 4 G CE EF又 CEG CEF, CEF GEC , EG =CEEC 2 EG EF ,故 EB 2=EF EG 【解题技巧点拨】此题必需综合运用等腰三角形的三线合一的性质,线段的垂直平分线的性质和相像三角形的基本图形来得到证明而其中利用线段的

25、垂直平分线的性质得到BE=EC,把原先处在同一条直线上的三条线段BE,EF,EC转换到相像三角形的基本图形中是证明此题的关键；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - FB FD例 2 、已知：如图,AD 是 Rt ABC 斜 BC 上的高,E 是 AC 的中点,ED 与 AB 的延长线相交于F,求证：BA=AC证法一：如图,在Rt ABC 中, BAC Rt , AD BC , 3 C,又 E 是 Rt ADC 的斜边 AC 上的中点,1ED= 2 AC EC, 2 C,又 1 2 , 1 3 ,FB BD DFB A

26、FD , DFB AFD , FD AD（1 ）BD BA又 AD 是 Rt ABC 的斜边 BC 上的高, Rt ABD Rt CAD ,AD =AC（2 ）FB BA FB FD由（ 1 ）（ 2 ）两式得FD = AC,故BA = ACFB FD证法二：过点 A 作 AG EF 交 CB 延长线于点 G,就BA = AG（1）E 是 AC 的中点,ED AC,D 是 GC 的中点,又 ADGC ,AD 是线段 GC 的垂直平分线, AG AC （2 ）FB FD由（ 1 ）（ 2）两式得：BA =AC,证毕；【解题技巧点拨】BD此题证法中,通过连续两次证明三角形相像,得到相应的比例式,然

27、后通过中间比“ AD” 过渡,使问题得证,证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论,三角形的中位线的判定,线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证一、如何证明三角形相像名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1、如图：点 G 在平行四边形ABCD 的边 DC 的延长线上 ,AG 交 BC、BD 于点 E、F,就 AGD A；A42FDB3E1CG例 2、已知ABC 中, AB=AC , A=36 , BD 是角平分线,求证：ABC BCD D例 3：已知,如图,D 为 ABC 内一点连结ED、AD ,以 BC 为边

28、在BCABC 外作 CBE= ABD ,BCE= BAD 求证：DBE ABC 例 4、矩形 ABCD 中, BC=3AB ,E、F,是 BC 边的三等分点,连结AE、AF 、AC,问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论；AEFD二、如何应用相像三角形证明比例式和乘积式BC例 5、 ABC 中,在 AC 上截取 AD ,在 CB 延长线上截取BE,使 AD=BE ,求BFKADC证： DFAC=BCFE E例 6、已知：如图,在ABC 中, BAC=900 ,M 是 BC 的中点, DM BC 于点 E,交 BA 的延长线于点D ；：FB ；求证：（ 1 ）MA2=MDME ；（ 2

29、 ）AE2MEAD2MD例 7 、 如图 ABC 中, AD 为中线, CF 为任始终线, CF 交 AD 于 E,交 AB 于 F,求证： AE：ED=2AF名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - DA三、如何用相像三角形证明两角相等、两线平行和线段相等；BAF12EDC例 8 、已知： 如图 E、F 分别是正方形ABCD 的边 AB 和 AD 上的点,M且EBAF1；求证： AEF= FBD ABAD3GE例 9、在平行四边形ABCD 内, AR 、BR、CP、DP 各为四角的平分线,DBC求证： SQ AB ,R

30、P BC ARCSQPB例 10、已知 A 、C、E 和 B、F、 D 分别是 O 的两边上的点,且AB ED,BC FE,求证： AF CD E C AOBFD例 11、直角三角形 ABC 中, ACB=90 ,BCDE 是正方形, AE 交 BC 于 F,FG AC 交 AB 于 G,求证：FC=FG DC例 12、Rt ABC 锐角 C 的平分线交AB 于 E,交斜边上的高AGFEBAD 于 O,过 O 引 BC 的平行线交AB 于 F,求证：AE=BF ABFE132COD课后作业同学姓名所属年级九年级辅导学科数学第 16 页,共 23 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学

31、习资料 - - - - - - - - - 任课老师作业时限90 分钟布置时间月 日一、填空题1、已知：在 ABC 中, P 是 AB 上一点,连结CP,当满意条件ACP= 或 APC= 或；AC2= 时, ACP ABC 2、两个相像三角形周长之比为4 9 ,面积之和为291 ,就面积分别是；3、如图, DEFG 是 Rt ABC 的内接正方形,如CF 8,DG 42 ,就 BE；4、如图,直角梯形ABCD 中, AD BC,AD CD ,ACAB ,已知 AD 4 ,BC9 ,就 AC 5、 ABC 中, AB 15 ,AC 9 ,点 D 是 AC 上的点,且 长等于；AD=3 ,E 在

32、AB 上, ADE 与 ABC 相像,就 AE 的6、如图,在正方形网格上画有梯形ABCD ,就 BDC 的度数为；,AD ,7、 ABC 中,AB AC,A36 ,BC1 ,BD 平分 ABC 交于 D,就 BD 设 AB x, 就关于 x 的方程是 . 8、如图, 已知 D 是等边 ABC 的 BC 边上一点, 把 ABC 向下折叠, 折痕为 MN ,使点 A 落在点 D 处,如 BD DC 23 ,就 AM MN= ；二、挑选题AD1）第 17 页,共 23 页9、如图,在正 ABC 中, D、E 分别在 AC、AB 上,且 AC= 3, AE=BE ,就有（A、 AED BED B、

33、AED CBD 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C、 AED ABD D 、 BAD BCD 10 、如图,在 ABC 中, D 为 AC 边上一点, DBC A, BC= 6 ,AC3 ,就 CD 的长为（）3 5A、1 B、 2 C、2 D 、 211 、如图, ABCD 中, G 是 BC 延长线上一点,有（）AG 与 BD 交于点 E,与 DC 交于点 F,就图中相像三角形共A、3 对B、4 对C、5 对D、6 对 ABC 相像,12 、 P 是 Rt ABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一点,过点P 作直线截 ABC ,使

34、截得的三角形与满意这样条件的直线共有（）A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条13 、如图,在直角梯形 ABCD 中, AB 7 ,AD 2 ,BC=3 ,如在 AB 上取一点 P,使以 P、A、D 为顶点的三角形和以 P、 B、C 为顶点的三角形相像,这样的 P 点有（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、解答以下各题14 、如图,长方形 ABCD 中, AB=5 , BC10 ,点 P 从 A 点动身,沿 AB 作匀速运动, 1 分钟可以到达 B 点,点

35、 Q 从 B 点动身,沿 BC 作匀速直线运动,1 分钟可到 C 点,现在点 P 点 Q 同时分别从 A 点、 B 点动身,经过多少时间,线段 PQ 恰与线段 BD 垂直？15 、已知：如图,正方形 DEFG 内接于 Rt ABC ,EF 在斜边 BC 上, EH AB 于 H名师归纳总结 求证：（ 1 ） ADG HED ；（ 2）EF2 BE FC 第 19 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （答案）例 1 分析： 关键在找“ 角相等”,除已知条件中已明确给出的以外,仍应结合详细的图形,利用公共角、对顶角及由 平行线产生的一系列相等

36、的角；本例除公共角G 外,由 BC AD 可得 1=2,所以AGD EGC；再 1=2（对顶角）,由 AB DG 可得 4=G,所以EGC EAB ；例 2 分析： 证明相像三角形应先找相等的角,明显于运算也是一种常用的方法；证明： A=36 , ABC 是等腰三角形,C 是公共角,而另一组相等的角就可以通过运算来求得；借助 ABC= C=72 又 BD 平分 ABC ,就 DBC=36 在 ABC 和 BCD 中, C 为公共角, A= DBC=36 ABC BCD 例 3 分析：由已知条件 ABD= CBE , DBC 公用；所以 DBE= ABC ,要证的DBE 和 ABC ,有一对角相

37、等,要证两个三角形相像,或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边对应成比例；从已知条件中可看到 CBE ABD ,这样既有相等的角,又有成比例的线段,问题就可以得到解决；BC证明： 在 CBE 和 ABD 中, CBE= ABD, BCE= BAD CBE ABD BC AB=AB BD=BE BD即：BE DBE 和 ABC 中, CBE= ABD, DBC 公用 CBE+ DBC= ABD+ DBC DBE= ABC 且BC=AB BD DBE ABC BE例 4 分析： 此题要找出相像三角形,那么如何查找相像三角形呢？下面我们来看一看相像三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“ 平行线型” 的相像三角形BDAECBEADCDBACE2 如图：其中 1=2,就 ADE ABC 称为“ 相交线型” 的相像三角形；AADD21ACB2E1D4BE1DB21AE2CBECC3 如图： 1=2, B=D,就 ADE ABC ,称为“ 旋转型” 的相像三角形；EAF 与 ECA 观看此题的图形,假如存在相像三角形只可能是“ 相交线型” 的相像三角形,及解：设 AB=a ,就 BE=EF=FC=3a ,由勾股定理可求得 AE= 2 , 在 EAF 与 ECA 中, AEF 为公共角,且 AE