2022年圆锥曲线知识点汇总.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载椭圆与双曲线 一、图像与性质椭圆： 把平面内与两个定点=F1、F2 的距离的和等于常数大于 |F1 F2| 的点的轨迹叫作椭圆标准方程x2+y21ab0y2+x2=1ab02b222aab焦点所在轴X 轴y 轴图像（ 谁 的 分 母 大,焦点在谁 上,大分母是a2）F 1F 22 c等于常数 小于 |F1F2| 且长轴长：A 1A 22a短轴长：B 1B 22 b焦距：离心率：ec,a,b,c 关系式：a2b2c2a双曲线：平面内与两个定点F1,F2 的距离的差的肯定值不等于零 的点的轨迹叫做双曲线标准方程x2y21 a0 ,

2、b0 y2x21a0,b0焦点所在轴a2b2a2b2X 轴y 轴图像（谁的系数为 正,焦点在谁 上,下面分母是2 a ）ybxyax渐近线方程ab名师归纳总结 实轴长：A 1A 22a虚轴长：B 1B 2c22 b2焦距：F 1F 22 c第 1 页,共 8 页离心率：ec,a,b,c 关系式：ba2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题型一：标准方程a,b,c,e ,学习必备k欢迎下载渐近线斜率图像对比求值思路：依据标准方程或图像对比出a,b,c,e ,渐近线斜率k中的任意两个,就可以利用a,b ,c 关系式将其他参数全部算出,然后排列性质就可以了；

3、a2,a2b2c2留意以下细节：椭圆中谁的分母大,焦点在谁上,大分母是双曲线中谁的系数为正,焦点在谁上,下面分母是a2,c2b2a2例 1：分析椭圆x2y21的性质；259解：由椭圆方程得焦点在X 轴上,且a225,b29计算出：a5 ,b,3c2a2-b225916,c4长轴长：A 1A 210短轴长：B 1B 26焦距：F 1F 28离心率：e455名师归纳总结 例 2：顶点在X 轴,两顶点的距离是8,离心率是4的双曲线方程；第 2 页,共 8 页解：由题意得2a8,e5,4所以a4 c5b2c2a225169,b3又由于焦点在X 轴上,所以双曲线方程为x2y21169例 3、已知椭圆经过

4、点P0,-3,Q-2,0,求椭圆标准方程；解：与椭圆的两种标准图形对比不难发觉这是一个焦点在Y 轴上的椭圆,且 P,Q 作为与坐标轴的交点只能有a=3,b=2, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 标准方程为y2x21学习必备欢迎下载94题型二、关于椭圆与双曲线定义的考察思路：设 P 是椭圆上任一点,就有PF 1PF22 a2aA,B 两点,设 P 是双曲线上任一点,就有PF 1PF2x2y21的两个焦点,过F 的弦 AB 与椭圆交于例 4： 设F1, F2是椭圆2591已知AF =4,求AF2（2）求三角形AF1F2的周长；（3）求三角形ABF 的周长

5、；解 ： 由 上 述 例 子 说 明 该 椭 圆 中 ：a5 ,b,3c4AF =4,就AF2=6 （1）由椭圆定义知：AF 1AF22 a10,又由于（2）由椭圆定义知：AF 1AF22 a10,F 1F22 c8角形AF 1F2的周长 =AF 1AF2F 1F 22 a2 c=18 （3）由椭圆定义知：AF 1AF22 a10,BF 1BF22 a10求三角形ABF 的周长 =AF 1AF2BF 1BF24 a=20 例 5、双曲线y2x21上一点 P 到一个焦点的距离169为 10,那么 P 到另一个焦点的距离是名师归纳总结 解：由双曲线方程y2x21对比得出焦点在Y 轴上第 3 页,共

6、 8 页169且a216 ,b29,就a4,2；由双曲线定义知道：PF 1PF 22a8,由题意知PF 110,所以PF 218或PF 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题型三：对方程x2y21学习必备欢迎下载mn的熟悉当m0,n0且mn时该方程表示焦点在X 轴上的椭圆当m0,n0且nm时该方程表示焦点在Y 轴上的椭圆当m0 n0时该方程表示焦点在X 轴上双曲线当n0 m0时该方程表示焦点在y 轴上双曲线当mn0时刚方程表示圆例 6：方程x2tty21所表示的曲线为C,求以下情形时 t 的取值范畴；42（1）曲线 C为焦点在 X 轴上的椭圆；（2）曲

7、线 C为焦点在 Y 轴上的椭圆；（3）曲线 C为焦点在 X 轴上的双曲线；（4）曲线 C为焦点在 Y 轴上的双曲线；4-t04-t0解：（1）由题意得 ：t20t2 3,； （2）t20t3 4,4tt2t24t（3）4t0t2, （4）4t0t4 .t20t20题型四：巧用方程Ax2By21解决已知两点求圆锥曲线方程问题分析：Ax2By21是椭圆与双曲线方程的变式,在带值求解的过程中用此方程解题能使运算难度降低许多！名师归纳总结 例 7：如椭圆经过点M （-2,3 ）, N（1,23）,求椭圆标准方程；23）两点代入第 4 页,共 8 页解：设方程为Ax2Bx21（A0,B0）,将 M（-2

8、,3 ）,N（ 1,上式得：4A3B1A15 1A12B1B15所以椭圆方程为1x21y21,即x2y21515515例 8：如过点M（3,-42）,N（9 , 5）的双曲线的标准方程 4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设方程为Ax2Bx21学习必备欢迎下载-42）,N（9 ,5）两点代入 4（AB0）,将 M （3,上式得：9 A81 A1632 B1y2A11y2x219 1B25B116所以椭圆方程为1x21,即916169五、综合考题例 9、已知椭圆两焦点坐标分别是（解：由于椭圆两焦点坐标分别是（0,-2）,（0,2）且椭圆过点（3,2）

9、,求椭圆方程；0,-2）,（ 0,2）,所以焦点在Y 轴上且c2,又由于2aPF 1PF23-022（-2 2）3-022-228所以a4,b2a2c216412所以椭圆方程为y2x211612例 10：已知双曲线两焦点坐标分别是（-6,0）,（6,0,）且过点（ -5,2）,双曲线方程；解：由于双曲线两焦点坐标分别是（-6,0）,（6,0）,所以焦点在X 轴上且c26,又由于2 aPF 1PF 256220256220512555545所以a25,b2c2a2362016就双曲线方程为x2y21；2016六 椭圆中的三角形例 11：当椭圆满意以下情形时求离心率：1、B2F 1F2是直角三角形

10、F2所以该三角形是等腰直解： 1、由于,B2F 1B2角三角形；名师归纳总结 令cB 2OF 1 O1aB2F 12第 5 页,共 8 页就有,所以ec12a222、B2F 1F2是等边等边三角形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于B 2F 1B 2F2学习必备欢迎下载,所以该三角形是等边三角形；令cF 1O1c1PF1F 2中PF 1F 2300,且PF 垂直于 X轴,就有aB2F 12,所以ea2例 12：如图,在椭圆上有一点P,在三角形求椭圆的离心率；名师归纳总结 解：在RtPF1F2中1PF 1F2a300,设PF21,第 6 页,共 8 页

11、就有PF 12 ,F 1F23,3,32cF 1F23,c22aPF 1PF 22,32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载题型三：定义的应用学问点：已知 抛物线y22pxp0上有一点 Ax0y0,就点 P 到焦点的距离和到准线的距离相等；例 1：已知抛物线y22由图知：AFAA/xApAF/ AAx Ap2归纳：当抛物线焦点在X 轴上时：2 p当抛物线焦点在Y 轴上时：AF/ AAyA2焦点弦AB的长度：ABAFBFxApxBpxAxBp22px p0上一点 M,3m 到焦点的距离为5,求抛物线标准方程及点 M 的坐标；名师归纳总结

12、解：由题意得抛物线开口向右,且MF2x mp53pp24或3 ,26第 7 页,共 8 页22所以抛物线方程为y28xy6,所以点 M 的坐标为3 ,6将x3带入标准方程y28x得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2：过抛物线y24x学习必备欢迎下载的焦点做直线交抛物线于A,B 两点名师归纳总结 （1）如 A、B 的中点横坐标为3,求 AB81y2x2第 8 页,共 8 页（2）如直线 AB 的斜率为 2,求 AB ；解：由于ABAFBFxAxBp由抛物线方程知抛物线开口向右且p2焦点,10,准线方程x（1）由中点坐标公式得xAxB236所以AB62（2）直线 AB 为过点,10,斜率为 2 的直线,就方程为y02x1 整理为：将直线方程与抛物线方程联立方程组：y22x2得x23x10y4x由根与系数关系式得xAx Bb3,所以AB325a- - - - - - -