2022年复变函数试题及答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 、 . 我们 打败了敌人；我们 把敌人打败了；西 安 交 通 大 学 考 试 题 成果课程复变函数（A）考 试 日 期2007 年7 月5 日系别专业班号姓名学号期中期末一. 填空（每题 3 分,共 30 分）1i3 fzcosz1的2z 0 是函数z5（说出类型,假如是极点,就要说明阶数）名师归纳总结 3. fz x33 x2yi32 xyy3i, 就f z Ce1 zdz第 1 页,共 6 页 4. Res 1zsinz,05. 函数wsinz在z4处的转动角为6. 幂级数cosinzn的收敛半径为R =_n07. 1zsinz dz08设

2、 C为包围原点在内的任一条简洁正向封闭曲线,就2z9函数fzz4z1在复平面上的全部有限奇点处留数的和为_ - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10| z |3z2dz4 1 2 z2名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二判定题（每题 3 分,共 30 分）名师归纳总结 1 fz z zn在z0解析；【】第 3 页,共 6 页2fz在z 点可微,就fz在z 解析；【】3fz z e是周期函数； 【】4 每一个幂函数在它的收敛圆周上到处收敛；【】5 设级数n0cn收敛,而n0|cn

3、|发散,就n0c nzn的收敛半径为1；【】6tan1能在圆环域0|z|R 0R绽开成洛朗级数； 【】z7 n 为大于 1 的正整数 , LnnznLnz 成立；【】8假如函数fz 在z 解析,那末映射fz 在z 具有保角性；【】9 如 果 u 是 D 内 的 调 和 函 数 , 就fuiu是 D 内 的 解 析 函 数 ；【xy10| |3z211dz| |311dz2i1|z12i；【】z z2zz222三（8 分）vepx siny为调和函数,求p 的值,并求出解析函数fzuiv；四（8 分） 求fzzzz2 在圆环域1z2和1z2内的洛朗绽开式；1 五（8 分）运算积分x22cosx5

4、dx；4x六（8 分）设fz C3271d,其中 C 为圆周| z|3的正向,求f1i；z七（8 分）求将带形区域z|0Imza映射成单位圆的共形映射；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 复变函数与积分变换 A的参考答案与评分标准 一.填空 各 3 分 2007.7.5 名师归纳总结 1.e2kiln3； 2. 三级极点；3. 3z2；4. 0 ；5. 0 ；6. 1；7. 62 s2；8. 0；第 4 页,共 6 页es2139. 0 ； 10. 1j12 j1222；2二.判定 1.错； 2.错； 3.正确；4. 错 ；5.正确；6.错； 7.错 ；

5、8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 ；三8 分解 : 1在1|z|2f z z z12z1 1z 1n0 z2n1n0 1 nzn0n z11-4 分2zn 21n z2 在1 |z2|f z z121z1 1z121z1z12z12n0n 1z1n2-4 分2212四.8 分解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点-2+i, 故x2eix5dx2iRes z2eiz5,2i-3 分4x4z2izlim 2iz2iz2eeiz5ecos2isin2-6 分444zz故x22cosx5dx2Rex2ix edx 52cos2-8 分4x4xe五.

6、8 分解: f C32721 d-3 分z 由于 1+i 在| z|3所围的圆域内 , 故f1iC327i1 2 d2i 3271|1i2613i-8 分 1六. 8 分解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到fz i eeaz映射不唯独 ,写出任何一个都算对 eaz七.8 分解:对方程两端做拉氏变换: s2 Ys sy 0y0sYs y03 Yss31代入初始条件 ,得Y s s 2 s311-4 分2 s335131488s1 s3s1 s3 s1 s1s1s3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故, yt3et5t e

7、1e3 t-8 分用留数做也可以 488复变函数A的参考答案与评分标准2007.7.5 名师归纳总结 一.填空 各 3 分1.e2kiln3；2. 三级极点；3. 2 3z ； 4. 0 ；5. 0 ；6. 1；7. sin1cos1；第 5 页,共 6 页e8. 0 ；9. 0 ； 10. 0；二.判定 1.错； 2.错； 3.正确； 4. 错 ；5.正确；6.错 ；7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 ；三.8 分 解:由于 v e px sin y 是调和函数 ,就有2vp2v10,即p2px esinyepxsinyp21px esiny0故p1-2 分x22 y时, ve

8、x siny, 由 C-R 方程 , 1 当uvex cosy, 就u x ,y e xcosygy, 又由xyuexsinygyvexsiny,故g y 0, 所以gyc；yx就fz e zcvex siny, 由 C-R 方程 , -3 分2 当1时 , puvex cosy, 就ux,yexcosygy , 又由xyuexsinygy vx esiny,故g y0, 所以gyc；yx就fz ezc四8 分解 : 1在1|z|2f z z z12z1 1z 1n0 z2n1n0 1 nzn0n z11-4 分2z2n1n z2 在1 |z2 |fzz12 1z11z12 1z21z12-4

9、 分2 1z12n01 nz1n22 五.8 分解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点-2+i, 故x2eix5dx2iRes z2eiz5,2i-3 分4x4z2izlim 2iz2i2 ziz e5ecos2isin2-6 分4z故x22cosx5dx2Rex2ix edx 52cos2-8 分4x4xe- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 六.8 分解: f C32721 d-3 分z 名师归纳总结 由于 1+i 在| z|3所围的圆域内 , 故-8 分第 6 页,共 6 页f1iC327i1 2 d2i 3271|1i2613 i 1七. 8 分解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到fz i eeaz映射不唯独 ,写出任何一个都算对 eaz- - - - - - -