2022年大学高等数学第五章定积分及其应用答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载第五章 定积分及其应用习 题 5-1 1. 如何表述定积分的几何意义？依据定积分的几何意义推出以下积分的值：（1）1xd x, （ 2）RR2x2d x, （3）2cosxd x, （ 4）1x d x. 1R01解 ： 如xa ,b时,fx 0 ,就bfx d x在 几 何 上 表 示 由 曲 线yfx, 直 线axa,xb及 x 轴所围成平面图形的面积. 如xa,b时,fx0 ,就bfx d x在几何a上表示由曲线yfx,直线xa,xb及 x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（ 1）所示,11x dxA 1A

2、10. -1 A1yA1xRyRR1A2O1xO- 1 1 2yy名师归纳总结 1A3 A 4A5x1 S. 第 1 页,共 21 页A6OA6xO11 21- 1 3RR2x2dxA 2R2. 4 （2）由上图（ 2）所示,RA 3A 5A 3A 50. 22 cosx dxA 3A4A 5（3）由上图（ 3）所示,0（4）由上图（ 4）所示,11xd x2A 621111. t 从 0 到 5 该物体移动的路程22. 设物体以速度v2t1作直线运动, 用定积分表示时间- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解： s52 t1 dt优秀学习资料欢迎下载0名

3、师归纳总结 3. 用定积分的定义运算定积分bcd , 其中 c 为肯定常数 . ,xi第 2 页,共 21 页a解：任取分点ax0x1x 2xnb, 把a,b分成 n 个小区间x i1,xii1,2n,小区间长度记为x i=ix -ix1i1,2n, 在每个小区间xi1nna, 上任取一点i作乘积fixi的和式：fixicxixi1cbi1i1n 等分,记max 1 i nxi, 就bcd xlim 0infixilim 0cbacba. a4. 利用定积分定义运算1x2dx. 0解：fxx2在0 1, 上连续函数,故可积,因此为便利运算,我们可以对0,1分点x ii,i,1 2 ,n;1i取

4、相应小区间的右端点,故ninfixiin2xiinx2xi=ini211ini211i1i11, nn3 n =11 n n612n1 =1 11213 n6nn当0 时（即n时）,由定积分的定义得：1x2dx=1 305. 利用定积分的估值公式,估量定积分14 x42x35 d 的值 . 1解：先求fx4x42x35在1,1上的最值,由fx16x36x20, 得x0或x3. 8比较f 111,f05,f 385093,f17的大小,知1024fmin5093 , 1024fmax11,由定积分的估值公式,得fmin11 14x42x35 d xfmax11 1即509314x42x35d x

5、22. 51216. 利用定积分的性质说明1exdx与1ex 2d x,哪个积分值较大？00- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：在 0,1 区间内：xx2e优秀学习资料欢迎下载1exdx1ex2dxxx e2由性质定理知道：007. 证明：2 e11ex 2d x2；2212证明：考虑1,1上的函数yex2,就y2 xex2,令y0得x0fx d x. 22当x1,0时,y0,当x,01时,y0221yex 2在x0处取最大值y1,且yex 2在x1处取最小值e2. 2故1e1dx1ex 2d x11 dx,即2 e11ex2dx2；2 122 12

6、 122a1 0122228. 求函数fx 12 x在闭区间 -1 ,1 上的平均值 . 解：平均值111 11x2dx12 112249. 设fx在0 ,1 上连续且单调递减,试证对任何a0,1有afx d x0证明：afxdxa1fxdx=afxdxaafxdxa1fx dx0000a1aafxd xa1fxdx= 1aaf1aaf0a1a a ff,其中0a,a1又fx单调减,就ff,故原式得证 . 习 题5.21. 运算以下定积分名师归纳总结 （1）42xdx; （2）1x2|x|d x; （3）2|sinx|d x; 41 2x1maxx 1,x d x.第 3 页,共 21 页02

7、00解：（1）4 02xdx22xdx4x2 d x022x1x222442x02022=x4x3 d x+（2）1x2|x|d x=01x3dxx41=4+117. 22004444- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）2|sinx|d x=sinx d x+优秀学习资料欢迎下载x cosx2 =2+2=4. 2sinx d x=cos0004 1maxx 1,x d x=11xdx1x x3. 2100422. 运算以下各题：（1）1x 100dx,（2）4x dx,（3）1exd x, （4）1100x dx, dx1. 0100（5）sinx

8、d x, （6）1x ex d x, （7）sin 2xd x, 2 02 0tanx0（8）1x1xdx, （ 9）elnxd xx, （10）1d xx2, （11）4012 cosx201000解：（1）1x 100dx=x10111. （2）4xdx=2x3414. 2010101011313e99. （3）1e x xex1e1. （4）1100x dx=100x10000ln100ln100x e21（5）sinx d xcosx1. （6）1x ex 2d x11ex 2d x22 02 0002202（7）sin 2 xd x=1sin2x d2x=1cos2x=22 021.

9、 2020 8 elnxd xx=1elnx dlnx=1ln2 xe1. 122141410 1dxx2=111d x2=1arctan x101=1arctan1. 01001000x 101001010（10）tanxdx=tanx dtanx=tan x 24=1 . 24402 cosx0203. 求以下极限名师归纳总结 xsin tdt. （ 2）x limxarctant2d t. 第 4 页,共 21 页（1）lim x 1101cos xx21解：（1）此极限是“0 ” 型未定型,由洛必达法就,得 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

10、lim x 11xsintd t=lim x 1优秀学习资料=欢迎下载xxlim x 111xsin td tlim x 1sin11cos x 1cos xsin名师归纳总结 （2）x limxarctant2d t型x lim1arctanx2xx limx21 arctanx2t1,2A第 5 页,共 21 页0x21x2112x22x limx11 2 xarctan2 xx lim11arctanx22xx244. 设yxt1 d t,求 y 的微小值0解： 当yx10,得驻点x1,y10.x1为微小值点,微小值y 11x1dx-1025. 设fxxx,1x1,求2fxdx；12,x

11、102解：2fxdx1x1dx21x2d x1x2x11x3280012206136. 设fx1sinx ,0x,求xxftd ；20,其它0解：当x0时,xxftd tx0 d t000当0x时,xx1sint d t1cosx022当 x时,xxftd t0ftdtxftdt01sintdtx0 d020,x0d x1故x1 1 2cosx,0x1,x7. 设fx是连续函数,且fxx21ftd t,求fx；0解：令1ftd tA,就fxx2A,从而1fxd x1x2A0002即A12A,A1,fxx122- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8lim

12、n1n2nn2优秀学习资料欢迎下载；n2解：原式lim n1120nlim n1ini1x xy2nnnnn1n039求由yt ed txcos td t所打算的隐函数y 对 x 的导数d；00dx解：将两边对x 求导得eyd ycosx0,d ycosxd xdxey习 题5.31. 下面的运算是否正确,请对所给积分写出正确结果：（1）11cosx1t1x =21cos t2d t2 cos 3x d x=2 cosx 2sinx d x=2 cosx 2d cos（2）2x2d x22=2cos3x0. 222 d tcostdt=1cost3211sint2d sint=1cos1111

13、0=21 1cos 2 td t t1sin2 t111sin2. 00222答：（1）不正确,应当为：cosx3 cosx d x2cosx 1sinx d x22 202=2cosx 1d cosx 4cos3x242220330（2）不正确,应当为：名师归纳总结 11x2d x1sint2d sin2d t；第 6 页,共 21 页2 t2 cos t122 t1 21cos 2 td tsin2 t2 . 2 =22cost2d t22 00202. 运算以下定积分: 11x2dx. （3）02sinx3 cosxdx14162 x d x, 2004（4）eln2xdx；（5）ln2

14、ex1 d x；（6）1x dxx；1x0154- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （7）4d x1；（8）优秀学习资料；欢迎下载e 2xdxlnx；2sin3xd x（9）1x011名师归纳总结 100x2dx2； 11 01cos 2 xd x；（12）1x21x2d x；第 7 页,共 21 页22x0解：（1）令 x =4sint, 就16x24cos t,d x4cos td t, 当 x = 0 时, t = 0；当 x = 4 时,t,于是2416x d 2 x=24cost4costdt81cos2t dt 8t4sin2t4 22 00

15、00（2）141x2dx=11112dx 2=1arctanx11arctan1. 020x 22202232sinx3 cosxdx23 cosx dcos x14 cosx21004044eln2x dxeln2x dlnx1lnx 3e1lne 3ln1311x131335 令x e1t,xlnt21,d xt2 t1d t,x0时t0；xln2时,t1 . 2于是ln2ex1 dx1t2 t2d 1t211112d t2tarctant12 140020t06 令54xu,就x5u2,dxudu. 当x1时,u3,当x1 时,u1. 442原式115u2d u1. 3867 令xt,d

16、 x2 td t. 当x1时,t1；当x4时,t2. 原式22tdt22dt2d tt2t2ln1t222ln211t1111138 由于2sin3xd x=021cos2xsinx dx2sinx dx2cos2xsinx d x0002sinx dxcosx2 010- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2cos2xsinx d x优秀学习资料欢迎下载3x212cos2x dcos x1 3cos0003从而2sin3xdx=2 . 311xd1lnx21lnxe223209 原式e211xdlnxe 21ln1ln110 原式01d x12arctg

17、x102arctg1arctg14422x11 原式cosxd x22cosx d x22cosxd x022 cosx d x200（12）设x2sinx2 0sinx222costdt,于是sint , 0t2,dx1x21x2dx=2sin2tcos2td t12sin22 td t0040121cos4td t1t2 01sin4t2 016402843. 运算以下定积分：名师归纳总结 （1）4 0 5x15 exd x；（ 2）e1lnx1 d x； （3）1 excos x d x；xsinx d x；第 8 页,共 21 页00（4）1x3x 33 exx d x； 53xxd

18、x； 64lnxd x；04sin21x 71xarctan d x x ； 8 2x ex；（9）elnxdx；（10）22d x0100e解：（1）4 0 5 x51 exd x=4 0 5x1 de5x=5 ex5x1445 xed5x155005=20 21e15 ex44e20. 5502 e1lnx1 dxxlnx1e1e1xxd x1 =e1e1 1x1 1d x0000- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =e1xlnx1 e1ln优秀学习资料欢迎下载e=1 0名师归纳总结 3 1 excos x d x=1 exdsinx1 exsinx

19、11sin x dexdex3d x第 9 页,共 21 页000001e xsin x d x=1 exdcos x1 excos x11cos x00001 e11 excos x d x0移项合并得1 excos x d x1 e1 . 02 （4）1x3x 33 exx d x1x dx43x1e3x3004ln3x x43x13 ex11x 443x13 exd x33004ln3ln31331e3x53x313 ex13ln33223 e144ln320ln290ln2945sinx（5）3xxdx3x d cotxxcotx33cot d x x13ln4sin244449413

20、ln3ln2131ln3492249224x1（6）4lnxdx24lnx dx2xlnx44xdlnx24ln21x1111x8ln224x1d x8ln2421（7）1xarctan d x x11 0 arctan d x x21x2arctanx111x22d x02200x811d x111d x281x11 arctan 2x1410020022x2（8）2x exd x2xex222exdx4e4ex24 e4e4422220000（9）elnxd x1lnx d xelnx dx111ee- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而1lnx d

21、xxlnx1 1优秀学习资料1欢迎下载211xdx11 e11xeeeee故2xsinelnx d xxlnxed xed xee11 , 1122. 111elnxd x1lnxelnx dx12111eeee（10）x d xxcosx2 02cosx d xsinx2 0004. 利用函数的奇偶性运算以下积分：（1）1x31x22d x; 2 24cos4xdx；x2 d x.12 35xsin2x1dx; （4）axcosx5sin2a5x42x解： 1 1x21x22d x=11 d x21 1 x1x2d x202112 原式4cos4xdx222cos2x2dx200名师归纳总结

22、 2021cos2x2d x2212cos2xcos22xdx23dx,而前两个积第 10 页,共 21 页02x2 022cos2x dx21cos4xdx002sin2x2 0212cos4xd4x31sin4x24024023 xx3sin2x1为奇函数,5xx3sin2x1dx042x2542x2a a 2（4） 利用定积分的线性性质可得原式axcosxdxa5sinxd xaa分的被积函数都是奇数,故这两个定积分值均为0, 原式a a 2 dxa a ldx4a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 假如b0,且blnxdx,1优秀学习资料欢迎下载求 b1解：blndxxlnxbbx1dxblnbb1 blnbb1111x由已知条件得blnbb11blnbbbe；blnbb0,即b0,ln b1, 即得6. 如fx在区间0 1, 上连续 , 证明fcosx d x12fsinx d x=20020xfsinxdx= 20fsinx d x, 由此运算01xsinxxd xx0 .cos2证明：（1）设x2t,就 d xd t. 且当x0 时,t2；当x2,时t故2fsinx d x0fsin2td t0