2022年对高中数学立体几何中的向量方法一节例题教学的建议3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 对高中数学“ 立体几何中的向量方法” 一节例题教学的建议浅谈法向量在立体几何中的应用人民训练出版社课程教材争论所与中学数学课程教材争论开发中心编著的一般高中课程标准试验教科书选修2-1第三章空间向量与立体几何,第2 小节立体几何中的向量方法一节,教科书通过支配了“ 摸索”、“ 探究” 等栏目,讨论用向量表示空间中的点、 直线与平面的位置, 介绍了直线的方向向量与平面的法向量,以及用向量表示空间中直线、平面平行、垂直及夹角等,在此内容之后配套了相关的练习,为用向量方法解决立体几何问题作了铺垫 .教科书接下来通过四个逐步深化绽开的例题争论本节主题,

2、即立体几何中的向量方法, 其中例 1、例 2 直接利用向量运算,例 3、例 4 把向量方法与坐标方法相结合,最终以框图形式引导同学进行小结, 使同学对本节内容主题的熟悉进一步深化,提高抽象概括才能 .本节内容能很好使同学懂得并把握向量方法解决立体几何问题的一般方法（三步曲） . 但笔者认为,教科书本节内容中的例题4,在教学中可以更好地加以整合及名师归纳总结 补充,以进一步提高同学解决空间几何问题的才能.以下就例题4 及其相关的建第 1 页,共 5 页议及整合补充进行说明： 例题 4 再现PABCD中,底面 ABCDP例 4 如图 1,在四棱锥是正方形,侧棱 PD底面 ABCD ,PDDC,点

3、E 是FEPC 的中点,作EFPB交 PB 于点 F . 求证： PA /平面 EDB ；DC求证： PB平面 EFD ；求二面角CPBD的大小 . A图 1 B解：如图 2 所示建立空间直角坐标系, 点 D 为坐标原点,设DC1. 证明：连接 AC , AC 交 BD 于点 G ,连接 EG . 依题意得A,1,00,P,01,0,E0 ,1,1. zP22由于底面 ABCD 是正方形,所以点 G 是此正方形的FE中心,故点 G 的坐标为1,10,1. ADGBCy22且PA,1 ,01,EG1,0 ,x图 2 22所以PA2EG,即 PA / EG . 而 EG平面 EDB , PA平面

4、EDB ,因此 PA /平面 EDB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：依题意得B,1,10,PB,1,11, 又DE0 ,1,1,22故PBDE0110, 所以PBDEEFD 是二面角CPBD的平22由已知EFPB,且EFDEE,故所以 PB平面 EFD . PBDF解：已知PBEF,由可知面角,z设点 F 的坐标为x ,y ,z,就PFx ,y ,z1. k,yk,因 为PFkPB, 所 以x ,y ,z1k,1,11k,k ,k, 即x1k,0,由于PBDF0,所以,1,11k,k 1,kkk1k3 k1所以k1,点 F 的坐标为1,1,2,

5、3333由点 E 的坐标为0 ,1,1,所以FE1,1,1,22366由于cosEFDFEFD1,1,11,1,211,3663336 1FEFD662363所以EFD60,即二面角CPBD的大小为 60 . 关于例 4 的建议 自 2004 年以来,全国轰轰烈烈进行着高中新课程改革,向量是此次新课程 增加的基础内容之一 .空间向量为处理立体几何问题供应了新的视角 .它的引入,为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题供应了一个非常有效的工具 . 例 4 的三个小问, 分别涉及证明直线与平面平行、 垂直,运算二面角的大小,这三个方面的问题都可以利用向量解决.前两问的证明教材使用坐标法,由向量表示

6、转到有关判定定理 .该问在教学时老师可以组织同学争论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系,展现向量方法与坐标方法相结合的优越性 .第小问教科书采纳了先找出所求二面角的平面角,求二面角的大小 . 再用向量方法通过求平面角的大小来但笔者在教学的过程中,发觉对于求二面角的第个小问,同学不简洁由第 问得到 EFD 就是二面角的平面角,而且该问假如没有第小问做铺垫,同学 不简洁找出该二面角的平面角 .笔者认为,本小节前面教科书花了较大篇幅介绍并学习了直线的方向向量及平面的法向量,这两种向量的利用在解决一些问题时名师归纳总结 能够把复杂的问题简洁化, 特别是在解决有关二面角的问题时,平面的法向量的第 2

7、 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 利用能让很多不善于分析证明, 善于运算的同学多了一种解题的挑选,由于用法向量去求二面角的大小可以不用找出或构造出二面角的平面角并证明求解,它只需通过运算并观看就可求出二面角的大小,所以假如老师在教学时就适当给同学补充利用法向量解题的例子, 同学可以在把握之后并加以使用必能提高解题效率 .所以,笔者在上述教材分析之后,补充了该小问法向量的教学,其解法如下：依题意,有C0, 10,P,001,B,1 10,D0, 0, 0lmn就PB,1,11,PC,1,01,PD,0,01设mx,y,z为平面 PBD 的

8、一个法向量,就mPD0即z0z0解得x0y, mPB0xyz令x1,得m,1,10为平面 PBD 的一个法向量 . 同法可求平面PBC的一个法向量为n1,1,0. cosm ,nmn2121,mn2依据图形可观看得到二面角CPBD是锐二面角,二面角CPBD的大小为60. 总之,设 m 、n 分别是二面角l的两个面、的法向量,就cosm,nmn,m,n就是二面角的平面角mn或其补角 . 关于例题 4 的补充在笔者随机翻阅的07、08 两年共 38 套的高考题中,有22 套高考题均有考核二面角的大小或其三角函数.所以老师应在平常多给同学时间练习有关二面角的习题,对同学在考试中立体几何方面多拿分将有

9、所帮忙 .此外,38 套高考题中,均有不同程度地考核到求线面角、点面距等有关问题 之后,老师可以补充以下几个小问,即：求面 DEF 与面 ABCD 所成角的余弦值 . .故笔者认为,继第小问该问求的是面与面所成的角, 传统的解法是通过在两个相交平面的交线取点 做平面角来求面面角 .但该问题中的两个平面即面 DEF 与面ABCD无交线,通过找出两平面的平面角来解决问题比较困难,问题的一个很好的例子 .其解法如下：所以它是利用法向量解决面面所成角由已知 PD 底面 ABCD ,可得 PD 为面 ABCD 的一个法向量,由可知 PB 为面 EFD 的一个法向量,名师归纳总结 - - - - - -

10、-第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - PD0, 0,1,PB,1,11,cos PD , PB PD PB 1 3,PD PB 1 3 3即面 DEF 与面 ABCD 所成角的余弦值为 33总之,两平面所成角的大小与二面角的大小均可以通过构造所成角的平面角来求,但当构造平面角较难时,就可以利用平面的法向量来求 .但要留意的是两个平面所成的角肯定是不大于 90 的角,而二面角是两个半平面所成的角,其取值范畴是 0 , 180,有时不易判定两半平面法向量的夹角的大小是与二面角的大小是相等的仍是互补的,但由于二面角是钝二面角仍是锐二面角一般是明显的,所以我们完全可

11、以依据图形观看得到结论 . 由上可见,用向量法求面面夹角可大大降低思维难度,用法向量求角的大小又可以省去烦琐的作图过程,最终把抽象的空间想象全部转化为代数运算 . 求直线 CE 与面 DEF 所成的角的余弦值 . 该问是求线面所成的角, 求线面角的传统方法是要先在平面上做出斜线在平面内的射影,斜线与射影所成的角就是该直线与平面所成的角 .而用向量法求直线与平面所成的角, 可躲开找角的困难, 只要运算上不失误就可以正确求出角的大小 . 该问用向量法的解题过程如下：名师归纳总结 由知 PB 是面 DEF 的一个法向量,且PB,1,11,第 4 页,共 5 页又CE,01,1,22cosPB,CEP

12、BCE1013111116,22PBCE6322设直线与平面 DEF 所成角为,就sincosPB,CE6,3cos1sin2123,33直线与面 DEF 所成角的余弦值为3 . 3总之,用向量法解线面角问题时有这样的结论：设直线l 的方向向量为 a ,平面的法向量为u ,直线与平面所成的角为, a 与 u 的 夹角为,就有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sincosau或cossin. au求点 C 到面 DEF 的距离 . 该问是求点到平面的距离, 这类问题传统的解决方法是过该点做平面的垂线段,垂线段的长度即为所求的点到平面的距离.而用法向量求点

13、到平面的距离,垂线段经常不必作出来, 只需设出垂线段对应的向量或平面的法向量,利用公式即可求解 . 该问的解答如下：CE0,1,1,PB,1,11,13. 22点C到面 DEF 的距离dCEPBPB33总之,用向量法求点面距的一般求法是,先求出该平面的一个法向量,然后找出从该点动身到平面的任一条斜线段对应的向量,最终求出法向量与斜线段向量的数量积的肯定值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离 .即设 n 是平面AB n的法向量, AB是 的一条斜线,A,就点 B到平面的距离 d . n求直线与平面的距离时,如图,直线 a /平面,因直线 a 上任一点到平面的距离与直线 a 到平面 的距离相等

14、 .故直线 a 与平面 A aAB n n的距离为 d,其中 A为直线 a 上任一点,B为nC B 平面 内任一点, n 为平面 的法向量 .求平面与平面的距离类似以上分析 . 总之,直线和平面的距离与两平行平面的距离可转化为点到平面的距离来求 . 随着新教材的推广使用, 利用向量解决立体几何一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点 .在笔者翻阅的 07、08 年的高考题中,立体几何题均不同程度考核到了有关证明线线、线面、面面垂直与平行,求二面角的大小（或其三角函数值）,求线面角、异面直线所成的角等问题,这类问题均可以利用空间向量解决.可见空间向量的引入,为解决立体几何中某些用综合法解决时技巧性较大、随机性较强的问题供应了一些通法 应用 . .所以,老师更应在课堂教学中加强法向量的名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页