2017全国三卷理科数学高考-真命题及其答案解析(2019年度).doc

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1、*.2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=2 2(x, y) x y 1 ，B= (x, y) y x ，则 A B 中元素的个数为A 3 B2 C1 D02设复数 z满足 (1+i) z=2i，则 z=A 12B22C 2 D23某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是A 月接待游客量逐月增

2、加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 5 的展开式中 x3 y 3 的系数为4( x+ y )(2 x- y )A -80 B-40 C40 D805已知双曲线 C：2 2x y2 2 1a b(a0,b0) 的一条渐近线方程为5y x ,且与椭圆22 2x y12 31有公共焦点，则 C 的方程为A 2 2x y8 101B2 2x y4 51C2 2x y5 41D2 2x y4 316设函数 f(x)=cos(x+ )，则下列结论错误的是3A f(x)的一个周期为 -

3、2 By=f(x)的图像关于直线 x=83对称Cf( x+的) 一个零点为 x= Df( x)在( , 单) 调递减6 27执行下面的程序框图，为使输出 S的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为A 5 B4 C3 D28已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A B34C2D49等差数列 an 的首项为 1，公差不为 0若 a2，a3，a6 成等比数列，则 an 前 6 项的和为A -24 B-3 C3 D810已知椭圆 C：2 2x y2 2 1，（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为a b直径的圆与直线 bx

4、 ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为A63B33C23D1311已知函数2 x 1 x 1f ( x) x 2x a(e e ) 有唯一零点，则 a=A12B13C12D112在矩形 ABCD 中，AB=1 ，AD=2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上 若 AP =AB + AD ，则 + 的最大值为A3 B2 2 C 5 D2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。x y 013若 x， y 满足约束条件x y 2 0，则 z 3x 4y 的最小值为 _y 014设等比数列 an 满足 a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，则 a4 =

5、 _15设函数f (x)x 1，x 0，则满足x2 x 0， ，1f ( x) f (x ) 1 的 x 的取值范围是 _。216a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60；其中正确的是 _。（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程

6、或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+ 3 cosA =0，a=2 7 ,b=2（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点， 且 AD AC,求ABD 的面积18（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理， 以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为

7、500 瓶；如果最高气温位于区间 20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划， 统计了前三年六月份各天的最高气温数据， 得下面的频数分布表：最高气温 10，15） 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？19（12 分）如

8、图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， ACD 是直角三角形， ABD =CBD，AB=BD（1）证明：平面 ACD 平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值20（12 分） 2=2 x，过点（ 2,0）的直线 l 交 C 与 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直已知抛物线 C： y径的圆（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P（4，-2），求直线 l 与圆 M 的方程21（12 分）已知函数 f (x) =x1aln x（1）若 f (x) 0 ，求

9、a 的值；1 1 1（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，(1+ )(1 + ) (1+ ) m，求 m 的最小2 n2 2 2值（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修4- 4：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线l1 的参数方程为x 2+t ,y kt,（t 为参数），直线l2 的参数方程x 2 m,为ymk,（ 为参数） 设l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线Cm（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos

10、+sin)- 2 =0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径23 选修4- 5：不等式选讲（10 分）已知函数 f（x）=x +1 x 2（1）求不等式 f（x） 1的解集；2（2）若不等式 f（x） xx +m 的解集非空，求 m 的取值范围绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题正式答案一、选择题1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D7. D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A二、填空题13. -1 14. -8 15.1（- ，+ ）416. 三、解答题17. 解：（1）由已知得 tanA= 3，所以 A= 23在 ABC中，由余弦定理得

11、2 2 228 4 c 4c cos ，即c +2 c-24=03解得 （舍去）， =4c 6 cCAD BAD BAC CAD （2）有题设可得 = ，所以2 61AB ADsin2 6 1故 ABD面积与 ACD面积的比值为1 AC AD2 1又 ABC的面积为 24 2 sin 2 3，所以 的面积为3.BAC ABD2. 解：（1）由题意知， X 所有的可能取值为200,300,500 ，由表格数据知P X 2 16200 0.2 90P X36300 0.49025 7 4P X .500 0.4 90因此 X 的分布列为X 200 300 500P 0.2 0.4 0.4由题意知，

12、这种酸奶一天的需求量至多为 500，至少为200，因此只需考虑200 n 500当 300 n 500 时，若最高气温不低于 25，则Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间20，,25 ，则Y=6300+2（n-300 ）-4n=1200-2n;若最高气温低于 20，则Y=6200+2（n-200 ）-4n=800-2n;因此 EY=2n 0.4+ （1200-2n ） 0.4+(800-2n) 0.2=640-0.4n当 200 n 300 时，若最高气温不低于 20，则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于 20，则Y=6200+2（n-200 ）-4n=800-2n;因此 EY=2n (0

13、.4+0.4)+(800-2n) 0.2=160+1.2n所以 n=300时， Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。3. 解：（1）由题设可得， ABD CBD ,从而 AD DC又 ACD 是直角三角形，所以 ACD =900取AC的中点 O，连接DO,BO,则DOAC,DO=AO又由于 ABC是正三角形，故 BO AC所以 DOB为二面角 D AC B的平面角2 2 2在 中，Rt AOB BO AO AB又 所以AB BD ,2 2 2 2 2 2 0 BO DO BO AO AB BD ，故 DOB=90所以平面 ACD 平面ABC（2）由题设及 （1）知，OA, OB, OD

14、两两垂直， 以 O 为坐标原点， OA 的方向为 x 轴正方向， OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O - xyz ，则A(1，0，0), B(0，3，0), C( 1，0，0), D(0，0，1)由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的12，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的12，即 E 为 DB 的中点，得 E 3 10， ， 2 2.故3 11，0，1 ， 2，0，0 ， 1， ， AD AC AE2 2设 n = x,y,z 是平面 DAE 的法向量，则nnADAEx z 00， 即 3 10， x y z 2 20可取n3

15、1 1= , ,3设 m 是平面 AEC 的法向量，则mmACAE0，同理可得 m 0, 1, 30，则cos n,mn mn m77所以二面角 D-AE-C 的余弦值为774. 解（1）设A x1,y1 ,B x2,y2 ,l : x my 2由x my22y x2可得2y 2my 4 0,则y y 41 2又22 2y y y y1 21 2x1= ,x2 = ,故x1x2 = =4 2 2 4因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为y y1 2x x1 2-4= =-14所以 OA OB故坐标原点 O 在圆 M 上.（2）由（ 1）可得2y y m,x x m y y m1 + 2=2

16、1+ 2 = 1+ 2 +4=2 4故圆心 M 的坐标为m m ，圆 M 的半径 2+2，2+2，22 2 2r m m由于圆 M 过点 P（4，-2），因此 AP BP 0,故x1 4 x2 4 y1 2 y2 2 0即x1x2 4 x1+x2 y1 y2 2 y1 y2 20 0由（1）可得 y1 y2=-4，x1x2=4 ，所以22m m 1 0 ，解得11或m m .2当 m=1 时，直线 l 的方程为 x-y-2=0 ，圆心 M 的坐标为（ 3,1），圆 M 的半径为 10 ，圆 M的方程为2 2x 3 y 1 10当1m 时，直线 l 的方程为 2x y 4 0，圆心 M 的坐标为

17、29 1 ，-4 2，圆 M 的半径为854，圆 M 的方程为2 29 1 85x + y+4 2 165. 解：（1） f x 的定义域为 0，+ .若 a 0 ，因为1 1=- + 20f aln ，所以不满足题意；2 2若 a0，由 1f xa x ax x知，当 x 0,a 时， f x 0；当 x a，+ 时，f x 0 ，所以 f x 在 0,a 单调递减，在 a，+ 单调递增，故 x=a 是 f x 在x 0，+ 的唯一最小值点 .由于 f 1 0，所以当且仅当 a=1 时， f x 0.故 a=1（2）由（ 1）知当 x 1，+ 时， x 1 ln x0令1=1+x 得n21

18、11+ ln ，从而2n 2n1 1 1 1 1 1 11+ + 1+ + + 1+ + + + =1- 1 ln ln ln2 2 2n 2 2 2n 2n2 2故1 1 11+ 1+ 1+ n e22 2 2而1 1 11+ 1+ 1+ 22 32 2 2，所以 m 的最小值为 3.6. 解：（1）消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1 : y k x 2 ；消去参数 m 得 l 2 的普通方程1l : y x2k2y k x 2设 P（x,y）,由题设得1y xk2，消去 k 得2 2 4 0x y y .所以 C 的普通方程为2 2 4 0x y y（2）C 的极坐标方程为r q q

19、 q p q p 2 cos2 sin2 4 0 2 ,2 cos2 sin2 4 0 2 ,联立2 2 2 4r cosq sin qr cosq + sinq - 2=0得 cosq sinq =2 cosq + sinq .故1tanq ，从而32 9 2 1= ， =cos q sin q10 10代入2 cos2 - sin2 =4 2 =5r ，所以交点 M 的极径为 5 .r q q 得7. 解：3 1, x（1） 2 1 1 2f x x , x3 2, x当 x 1时， f x 1无解；当 1 x 2 时，由 f x 1得， 2x 1 1，解得 1 x 2当 x2时，由 f x 1解得 x2 .所以 f x 1的解集为 x x 1 .（2）由2f x x x m得2m x 1 x 2 x x ，而2 2 1 2 +1+ 2x x x x x x x x23 5=- - + x2 454且当 3x 时， 22 51 2 =x x x x .4故 m 的取值范围为5- ，4