2022年完整word版,数学选修-知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数学选修 21 学问点总结第一章：命题与规律结构学问点：1、命题：用语言、符号或式子表达的,可以判定真假的陈述句 . 真命题：判定为真的语句 . 假命题：判定为假的语句 . 2、“ 如 p ,就 q ” 形式的命题中的 p称为命题的条件,q称为命题的结论 . 3、对于两个命题, 假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,就这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题；如原命题为 “ 如 p ,就 q ” ,它的逆命题为 “ 如q ,就 p ” . 4、对于两个命题, 假如一个命题的条件和结论恰好是另一个

2、命题的条件的否定和结论的否定,就这两个命题称为互否命题 . 中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题 . 如原命题为“ 如 p ,就 q ” ,就它的否命题为“ 如 p ,就 q ” . 5、对于两个命题, 假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,就这两个命题称为互为逆否命题；其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题；如原命题为“ 如 p ,就q” ,就它的否命题为“ 如 q,就 p” ；6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：1 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；2 两个命题

3、为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系7、如 p q ,就 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件如 p q,就p是q的充要条件（充分必要条件）8、用联结词“ 且” 把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p q 当 p 、 q 都是真命题时,p q是真命题；当 p、q两个命题中有一个命题是假命题时,pq是假命题用联结词“ 或” 把命题 p和命题q联结起来,得到一个新命题,记作 当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时,p q 是真命题；当p q p 、 q 两个命题都是假命题时,pq是假命题对一个命题 p 全盘否定,得到一个新命题,记作p 如 p 是真命题

4、,就p 必是假命题；如p 是假命题,就p必是真命题9、短语“ 对全部的”、“ 对任意一个” 在规律中通常称为全称量词,用“” 表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“ 对中任意一个 x ,有 p x 成立” ,记作“x, p x”短语“ 存在一个”、“ 至少有一个” 在规律中通常称为存在量词,用“” 表示含有存在量词的命题称为特称命题名师归纳总结 特称命题“ 存在中的一个 x ,使 p x 成立” ,记作“x, p x ”第 1 页,共 9 页10、全称命题 p ：x, p x ,它的否定p：x,p x ；全称命题的否定是特称命题；p x；特称命题的否定是全称命题；特称命题 p ： x,

5、p x ,它的否定p ：x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章：圆锥曲线 学问点：1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 建立 适当的 直角坐标系；设动点Mx y及其他的点；找出满意限制条件的等式；将点的坐标代入等式；化简方程,并验证（查漏除杂）；2F F 12）的点的轨迹称为椭圆；这两个定点称2、平面内与两个定点F1,F2的距离之 和 等于常数（大于为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距；MF 1MF2a2 a2 c3、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程x2y21ab0y2x21ab0a2

6、b2a2b2第肯定义到两定点F 1、F2的距离之和等于常数2 a ,即|MF 1|MF2|2a （2 a|F F2|）其次定义与肯定点的距离和到肯定直线的距离之比为常数e,即MFe0e1d范畴axa且bybbxb 且aya10, a 、20,a1a ,0、2a,0顶点名师归纳总结 轴长10, b 、20,b1b ,0、2b ,0第 2 页,共 9 页长轴的长2a短轴的长2b对称性关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称焦点F 1c,0、F 2c,0F 10,c 、F 20,c焦距F F 22 c c2a2b2离心率ec2 ca2a2b21b20e1aa2a2准线方程xa2ya2cc焦半径左

7、焦半径：MF 1aex 0下焦半径：MF 1aey 0Mx y 0右焦半径：MF 2aex 0上焦半径：MF 2aey 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 焦点三角形面积SMF F 1 2b2tan2F MF2通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HHb224x x 1 2a（焦点）弦长公式A x y 1,B x y2,AB1k2x 1x 21k2x 1x 24、设是椭圆上任一点,点到F 对应 准线的距离为d ,点到F 对应 准线的距离为d2,就F 1F2e；d2d15、平面内与两个定点F1,F2的距离之 差的肯定值 等于常数（小于F F2）的点的轨迹称为

8、双曲线；这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距；MF 1MF22 a2 a2c6、双曲线的几何性质：焦点的位焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上置图形标准方程x2y21a0,b0y2x21a0,b0a22 ba2b2到两定点F 1、 的距离之差的肯定值等于常数 22a ,即第肯定义|MF1|MF2|2a （02a|F F 2|）与 一 定 点 的 距 离 和 到 一 定 直 线 的 距 离 之 比 为 常 数 e , 即名师归纳总结 其次定义MF1ee1a , xR第 3 页,共 9 页d范畴xa 或 xa , yRya 或 y顶点a ,0、2a ,010, a 、20,a轴长F

9、 1实轴的长2a虚轴的长2bF 20,c对称性关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称焦点c ,0、F 2c ,0F 10,c 、焦距F F 22 c2 ca2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 离心率ecc2a2a2b212 be1aa22 a准线方程xa2ya2a支cc渐近线方ybxya bx程aM在右支M在上左焦：MF 1ex 0a左焦：MF 1ey 0焦半径右焦：MF2ex0a右焦：MF2ey0a支M x y0M在左支M在下焦点三角ey 0a左焦：MF 1ex 0a左焦：MF 1右焦：MF2ex 0a右焦：MF2ey 0aSMF F 1

10、2b2cot2F MF2形面积通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HHb2a7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线；8、设 是双曲线上任一点,点 到 F 对应 准线的距离为 1d ,点 到 F对应 准线的距离为 2 d 2,就F 1 F 2e；d 1 d 29、平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点 F 称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段,称为抛物线的“ 通径”,即2p11、焦半径公式：名师归纳总结 如点x 0,y 0在抛物线y2y22px p0上,焦点为 F ,就Fx0pp；第 4 页,共 9

11、页2；、如点x 0,y 0在抛物线2px pFx 00上,焦点为 F ,就2如点x 0,y 0在抛物线x22py pFy 0p；0上,焦点为 F ,就2如点x 0,y 0在抛物线x22py pFy 0p0上,焦点为 F ,就2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12、抛物线的几何性质：图形y22pxy22pxx22pyx22py标准方程定义p0p0p0p0p与肯定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 不在定直线 l 上 顶点0,0离心率e1对称轴x 轴y 轴范畴x0x0y0y0焦点Fp, 0Fp, 0F0,pF0,p2222

12、准线方程xpxpypyp2222焦半径MFx 0pMFx 0pMFy0pMFy0M x y02222通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH2p焦点弦长ABx 1x 2p公式参数参数 p 表示焦点到准线的距离,p 越大,开口越阔p 的几何意义关于抛物线焦点弦的几个结论：设 AB 为过抛物线y22pxpy y0焦点的弦,A x 1,y 1、B x2,y2,直线 AB 的倾斜角为,就p2;p22px x 2,AB;24sin2 以 AB 为直径的圆与准线相切；名师归纳总结 焦点 F 对 A、 在准线上射影的张角为2；第 5 页,共 9 页|1|1|2 . PFAFB- - - - - -

13、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章：空间向量学问点：1、空间向量的概念：（1）在空间,具有大小和方向的量称为空间向量（2）向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向（3）向量uuur的大小称为向量的模（或长度）,记作uuur （4）模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为（5）与向量 ar长度相等且方向相反的向量称为（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的加法和减法：1的向量称为单位向量ar的相反向量,记作 ar名师归纳总结 （1）求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行四边形法就即：在空第 6 页,共 9

14、 页间以同一点为起点的两个已知向量arr、 b为邻边作平行四边形C,就以起点的对角线uuur 就是 ar 与 b r的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法就（2）求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法就 即：在空间任取一点,作 uuura r ,uuurb r,就 uuura r b r3、实数 与空间向量 ar 的乘积 a r 是一个向量,称为向量的数乘运算当 0时,ar 与ar 方向相同；当0时,ar 与ar 方向相反；当 0时,ar 为零向量,记为0 rar 的长度是ar 的长度的 倍4、设,为实数, ar, b r是空间任意两个向量,就数乘运算满意安排律及结合律

15、安排律：r ar br ar b；结合律：r aa r 5、假如表示空间的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量ar,r r b b0,a r/r b的充要条件是存在实数,使a rr b7、平行于同一个平面的向量称为共面对量C 内的充要条件是存在有序实数对x ,y ,使uuurxuuuryuuur ；C8、向量共面定理： 空间一点位于平面或 对 空 间 任 一 定 点, 有uuuruuurxuuuryuuur ； 或 如 四 点, C 共 面 , 就uuuruuur xyuuuruuur z

16、C xyz19、已知两个非零向量ar 和b r,在空间任取一点,作uuura r ,uuurb r ,就称为向量 ar, b r的夹角,记作a b r r两个向量夹角的取值范畴是：a b r r0,10、对于两个非零向量ar 和b r,如a b r r,就向量 ar, b r相互垂直,记作 a r b r2a b r rcos a b r r 称 为 ar, b r的 数 量 积 , 记 作 a b r r 即r 11 、 已 知 两 个 非 零 向 量 ar 和b, 就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - r ra br ra bcosr ra b零向量

17、与任何向量的数量积为0 12、 a b r r 等于 ar的长度 ar与 b r 在 ar的方向上的投影 b rcos a b r r的乘积13 如 ar ,b r 为非零向量, er为单位向量,就有1 e a r ra e r ra rcos a e r r； 2 a r b ra b r r0；3 a b r r a b ra b r rr a r与 同向a r 与 rb r反向,a a r r a r 2,a r a a r r ； 4 cos a b r r a ba b rr r r； 5 a b r ra b r r14 量数乘积的运算律：1 a b r rb a r r ；2 a

18、 r b ra b r ra r b r；3 a r b rc r a c r r b c r r 15、空间向量基本定理：如三个向量 ar, b r, cr不共面,就对空间任一向量 pr,存在实数组 x y z,使得 p r xa r yb rzc r 16、三个向量 ar ,b r, cr不共面,就全部空间向量组成的集合是 p p r rxa ryb rzc x y z rR这个集合可看作是由向量 ar ,b r, cr生成的,a b c r r r 称为空间的一个基底,ar ,b r , cr 称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底名师归纳总结 17、设ur e 1,

19、uur e 2,ur e 3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底）,以ur e 1,uur e 2,ur 3e第 7 页,共 9 页的公共起点为原点,分别以ur 1e,uur e 2,ur 3e的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz就对于空间任意一个向量pr ,肯定可以把它平移, 使它的起点与原点重合,得到向量uuurp r 存在有序实数组x y z,使得r pur xe 1uur ye 2ur ze 3把 x , y , z 称作向量 pr在单位正交基底ur 1e,uur e 2,ur 3e下的坐标,记作r px y z此时,向量pr的坐标

20、是点在空间直角坐标系xyz中的坐标x y z 18、设r ax y z 1,r bx 2,y 2,z 2,就（1）a rr bx 1x 2,y 1y2,z 1z2（2）a rr bx 1x 2,y1y2,z 1z2（3）a rx 1,y 1,z 1（4）r ra bx x 2y y2z z 2（5）如 ar、 b r为非零向量,就a rr ba b r r0x x 2y y 2z z 1 20（6）如r br 0,就a r/r ba rr bx 1x 2,y 1y2,z 1z 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （7）r ar r a a2 x 12

21、y 12 z 1名师归纳总结 （8）cosr ra br ra br ra b2 x 1x x 2y y 22 x 2z z 22 z 2第 8 页,共 9 页2 y 12 z 12 y 2（9）x 1,y z 1,x 2,y 2,z 2,就duuurx2x 12y2y 12z 2z 1219、在空间中,取肯定点作为基点,那么空间中任意一点的位置可以用向量uuur 来表示向量uuur 称为点的位置向量20、空间中任意一条直线l 的位置可以由 l 上一个定点以及一个定方向确定点是直线 l 上一点,向,有uuurta r ,这样点量 ar表示直线 l 的方向向量,就对于直线l上的任意一点和向量 a

22、r不仅可以确定直线 l 的位置,仍可以详细表示出直线l上的任意一点21、空间中平面 的位置可以由向向量分别为 ar,b r为平面内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点xa rr yb,它们的方上任意一点,存在有序实数对,x y,使得uuur,这样点与向量 ar, b r就确定了平面的位置22、直线 l 垂直,取直线 l 的方向向量 ar,就向量 ar 称为平面23、如空间不重合两条直线 a , b 的方向向量分别为 ar ,b r,的法向量就a/ba r/r ba rr bR,aba rr ba b r r024、如直线 a 的方向向量为 ar ,平面就 a / ar / a r n

23、r的法向量为 nr,且 a,a n r r 0,a a r,的 法 向 量 分 别 为 ar ,b ra r/n r/a rn r r ar b,25 、 如 空 间 不 重 合 的 两 个 平 面, 就a r/r ba rr ba b r r026、设异面直线 a , b 的夹角为,方向向量为 ar ,b r,其夹角为,就有 coscosr ra br ra br 27、设直线 l 的方向向量为 l,平面的法向量为 nr, l 与所成的角为r, l与 nr的夹角为,就有sincosr l r ln rr n28、设ur n 1,uur n 2是二面角l的两个面,的法向量,就向量ur 1n,u

24、ur n 2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小如二面角l的平面角为,就cosur n 1 ur n 1uur n 2 uur n 229、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量uuur的模uuur运算30、 在 直线 l 上 找 一 点, 过 定点且 垂 直于 直 线 l 的 向 量为 nr , 就 定 点到 直 线 l 的 距 离 为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - duuurcosuuur r , nuuurn rn r名师归纳总结 31、点是平面外一点,是平面内的肯定点, nr 为平面的一个法向量,就点到平面的距第 9 页,共 9 页离为duuurcosuuur r , nuuur n rn r- - - - - - -