2022年圆锥曲线之抛物线题库含详解高考必备.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 5、安徽省皖南八校2022 届高三第一次联考已知线段AB 过 y 轴上一点P0 ,m ,斜率为 k ,名师归纳总结 两端点 A,B 到 y 轴距离之差为4kk0,第 1 页,共 18 页（1）求以 O 为顶点,y 轴为对称轴,且过A,B 两点的抛物线方程；（2）设 Q 为抛物线准线上任意一点,过Q 作抛物线的两条切线,切点分别为M,N,求证：直线MN 过肯定点；解：（1）设抛物线方程为x22py p0 ,AB 的方程为ykxm,联立消 y 整理,得x22pkx2pm0；x 1x22pk,又依题有|x 1x2|4 k2pk,p2,抛物线方程为x2

2、4y；（2）设Mx 1,2 x 1, Nx2,x2 2,Qx 0,1,kMQ1x,442 MQ 的方程为y2 x 1x1xx12 x 12x 1x4y0；42 MQ 过 Q ,2 x 12x 1x040,同理x22x2x0402x 1, x 2为方程2 x2x0x40的两个根；x 1x 24；又kMNx 14x 2, MN 的方程为y2 x 1x 14x2xx 14yx 14x2x1,明显直线MN过点1,0 已知点R（ 3,0 ） ,点 P 在 y 轴上,点Q 在 x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上 ,且满意 2PM3MQ0,RP PM0. （）当点P 在 y 轴上移动时,求点M 的轨迹C

3、 的方程；（）设A x 1,y 1 、B x2,y2为轨迹C 上两点,且x 11,y 10, N1,0 ,求实数,使 ABAN ,且AB16. 3解： 设点 Mx,y ,由 2 PM3MQ0得 P0 ,y , Q 2x,0. 3由RP PM0,得 3 ,y 2 x ,3 y 0, 即2y24x又 点Q在x 轴 的 正 半 轴 上 ,x0故 点M 的 轨 迹C的 方 程 是y24 x x0. 6 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）解法一：由题意可知N 为抛物线C:y24x 的焦点,且A、 B 为过焦点N 的直线与抛物线C 的两个交点；A1,2 ,B

4、1,-2 ,|AB|416,不合题意； 7当直线AB 斜率不存在时,得3分当 直 线AB2斜 率 存 在 且 不 为0时 , 设lAB:yk x, 代 入y24x 得2 2k x2k22xk016,解得k23 2k222244就 |AB|x 1x 22kk2310 分名师归纳总结 代入原方程得3x210x30,由于x 11,所以x 13,x 21, 第 2 页,共 18 页3由 ABAN ,得x2x 1314. 3xNx 131310、北京市崇文区2022 年高三统一练习一已知抛物线C:yax2,点 P（1, 1）在抛物线 C 上,过点P 作斜率为k1、k2 的两条直线,分别交抛物线C 于异于

5、点P 的两点 A（x1,y1）,B（x2,y2）,且满意k1+k2=0. （I）求抛物线C的焦点坐标；（II）如点 M 满意BMMA,求点 M 的轨迹方程 . 解：（I）将 P（1, 1）代入抛物线C的方程yax2得 a=1,抛物线 C的方程为yx2,即x2y .焦点坐标为F（0,1 ） . 44 分（II）设直线 PA的方程为y1k 1x1 ,联立方程y1xk 1x1 ,消去 y 得x2k 1xk 110 ,y2.就1x 1k 1,1 即x 1k 11 .由2 k 14 k 11k 12 20 ,得k 1.2 7 分同理直线 PB 的方程为y1k2x1 ,联立方程y1xk2x1 ,消去 y

6、得2 xk2xk21,0y2.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就1x2k2,1即x 2k2.1 且k22 .名师归纳总结 又k 1k20 ,k 1.2 9 分x第 3 页,共 18 页设点 M 的坐标为（ x,y）,由BMMA,就xx 12x2.xk11k212k 1k2.22又k 1k2,0x1 . 11 分yy 12y 22 x 122 x 2 k 1122k21 2k 112k 11222 k 11,1又k 1,2y5 .所求 M 的轨迹方程为：x1y1 且y5 .15、北京市十一学校2022 届高三数学练习题如图,椭圆的中心在原点,其左焦点F

7、 与抛物线y24x 的焦点重合, 过1F 的直线 l 与椭圆交于A、B 两点,与抛物线交于C、D 两点当直线 l 与 x 轴垂直时,CD2 2yAB（）求椭圆的方程；C（II）求过点 O、1F ,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；A（）求F A F B 的最大值和最小值BF1OF2解：（）由抛物线方程,得焦点F 1 1,0设椭圆的方程：x2y21 ab0Da2b2解方程组y24 x得 C（-1,2）,D（1,-2）x1由于抛物线、椭圆都关于x 轴对称,|FC|CD|2 2,|F A|2, A 1,2 2 分|F A|AB|22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

8、- - 1121又a2b2c21,a22 b名师归纳总结 因此,b211121,解得b21并推得a22第 4 页,共 18 页2 b故椭圆的方程为x2y21 4 分2（）a2,b1,c1,圆过点 O、F ,圆心 M 在直线x1上2设M1, ,就圆半径,由于圆与椭圆的左准线相切,2r1 23.22由OMr 得12t23,解得t2.22所求圆的方程为x12y229. 8 分24（）由点F 1 1,0,F 21,0如 AB 垂直于 x 轴,就A1 ,2,B,12,22F A 2,2,F B 2,2,221 F A F B 42如 AB 与 x 轴不垂直,设直线7 9 分2AB 的斜率为 k ,就直线

9、 AB 的方程为ykx1 由x2y2kx10得 12 k2x24 k2x2 k210y228k280,方程有两个不等的实数根设A x 1y 1,B x 2y2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 1x 214k22, x 1x22k2k1 11 分2k122F 2 A x 1 ,1 y 1 , F 2 B x 2 ,1 y 2 2F 2 A F 2 B x 1 1 x 2 1 y 1 y 2 x 1 1 x 2 1 k x 1 1 x 2 1 1 k 2 x 1 x 2 k 2 1 x 1 x 2 1 k 22 22 2 k 1 2 4 k 21

10、k 2 k 1 2 1 k1 2 k 1 2 k7 k 2 1 7 9=1 2 k 2 2 2 1 2 k 2 2 2 1k 0 1, 2 k ,1 0 2 11 2 k7 7F 2 A F 2 B ,1 ,所以当直线 l 垂于 x 轴时,F 2 A F 2 B 取得最大值2 2当直线 l 与 x 轴重合时,F 2 A F 2 B 取得最小值 125、福建省莆田一中 20072022 学年上学期期末考试卷 在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C 0,p 作直线与抛物线 x 22 py （p 0）相交于 A,B 两点（I）如点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求ANB 面积的最小值；

11、（II）是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？如存在,求出 l 的方程；如不存在,说明理由解法 1：（）依题意,点N 的坐标为N0,p,可设A x 1,y 1,B x 2,y 2,y得x 直 线AB的 方 程 为 ykxp , 与x22p y联 立 得2 xy2 p y,消 去k xp2 x2pkx22 p0y 由韦达定理得x 1x 22pk ,x x 222 p 于是SABNSBCNSACN1 2 2p x 1x 2p x 1x 2px 1x224x x 1 2B p42 p k28p22p2k22,C A O N 名师归纳总结 - - -

12、- - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当k0时,SABNmin2 2p2（）假设满意条件的直线l 存在,其方程为ya ,y C ,B x AC 的中点为 O , l 与 AC 为直径的圆相交于点P , Q,PQ的中点为 H ,就 O HPQ , Q 点的坐标为x 1,y 12p2O P1AC12 x 1y 1p212 y 1p2,222OO Hay 12p1 2 a2y 1p ,l A O PH2O P2O H212 y 1p212ay 1p2yN 44apy 1a pa,2pPQ22PH24apy 1a pa2令ap0,得ap,此时 PQp

13、为定值,故满意条件的直线l 存在,其方程为222即抛物线的通径所在的直线名师归纳总结 解法 2：（）前同解法1,再由弦长公式得4x x 1 21k242 p k28p2第 6 页,共 18 页AB1k2x 1x21k2x 1x 222p1k2k22,又由点到直线的距离公式得d2p21k22 1p22p2k22,从而SABN1 d AB2122p1k2k2k 当k0时,SABNmin2 2p2ya ,就以AC 为直径的圆的方程为（）假设满意条件的直线l 存在,其方程为y 10,x0xx 1ypyy 10,将直线方程ya 代入得x2x xapa- - - - - - -精选学习资料 - - - -

14、 - - - - - 就2 x 14 ap ay 14apy 1a pa 2设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为P x 3,y 3,Q x 4,y 4,y 1a payp,就有PQx 3x 44apy 1a pa2ap22令ap0,得ap,此时 PQp 为定值,故满意条件的直线l 存在,其方程为222即抛物线的通径所在的直线27、 福建省厦门市2022 学年高三质量检查已知曲线C 上任意一点M 到点 F（0,1）的距离比它到直线l: y2的距离小 1；（1）求曲线 C的方程；（2）过点 P ,2 2 的直线 m 与曲线 C 交于 A , B 两点 , 设 AP PB .当 1 时, 求直

15、线 m 的方程；当 AOB 的面积为 4 2 时（ O 为坐标原点） ,求 的值；（1）解法一：设 M x , y , 就由题设得 | MF | | y 2 | 1, 1 分即 x 2 y 1 2 | y 2 | 1当 y 2 时 , x 2 y 1 2 y ,1 化简得 x 2 4 y； 3 分当 y 2 时 , x 2 y 1 2y ,3 4 分2化简得 x 8 y 8 与 y 3 不合故点 M 的轨迹 C 的方程是 x 2 4 y 5 分（1）解法二：点 M 到点 F 0,1 的距离比它到直线 l : y 2 的距离小于 1,点 M 在直线 l 的上方,点 M 到 F（1,0）的距离与它

16、到直线l: y1的距离相等 3 分 5 分点M的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线所以曲线 C的方程为x24y（2）当直线 m 的斜率不存在时,它与曲线C 只有一个交点,不合题意,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设直线 m 的方程为y2kx2 ,即ykx 22k ,代入x24y 得x 24 kx8 k10（） 6 分m与曲线 C恒有两个不同的交点16 k22 k2 0 对kR 恒成立,所以,直线设交点 A,B 的坐标分别为A x 1,y 1,Bx 2,y2, 7 分就x 1x24 k ,x 1x28 k1由AP

17、PB ,且1 得点P 是弦AB 的中点,xy0 9 分x 1x24 , 就4 k4 ,得k1直线m 的方程是|AB|x2x 12y2y 12 1k2x 2x 124x2x 14 1k2k22k2点 O 到直线 m 的距离d|22 k|,1k2k14k12 10S ABO1|AB|d4|k1|k22k242分名师归纳总结 S ABO42,4k1 4k1 242,22（舍去） 12 分第 8 页,共 18 页k1 4k1 220 ,k121 或k12k0 或k2当k0时 ,方程（）的解为2232如x 122,x222, 就22222122 13 分322如x 122,x222,就222222当k2

18、时 ,方程（）的解为422223如x 1422,x 2422,就2222如x 1422,x2422,就222322 14 分222所以,322 或322- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 32、抛物线y22px的准线的方程为x2,该抛物线上的每个点到准线x2的距离都与到定点N 的距离相等,圆N 是以 N 为圆心,同时与直线l 1:yx 和l2:yx相切的圆,名师归纳总结 （）求定点N 的坐标；第 9 页,共 18 页（）是否存在一条直线l 同时满意以下条件： l 分别与直线l 和 1l2交于 A、 B 两点,且 AB 中点为E41, ； l 被圆 N 截

19、得的弦长为2解：（1）由于抛物线y22px的准线的方程为x2所以p4,依据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点,-2 分所以定点 N 的坐标为2 ,0-3 分（2）假设存在直线l 满意两个条件,明显l 斜率存在,-4 分设 l 的方程为y1kx4,k1-5 分以 N 为圆心,同时与直线l 1:yx 和l2:yx相切的圆 N 的半径为2 , -6 分方法 1：由于 l 被圆 N 截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,-7 分即d2 k11,解得k0或4,-8 分1k23当k0时,明显不合AB 中点为E4 1, 的条件,冲突！-9 分当k4时, l 的方程为4x3y130-10 分3由4x3

20、y130,解得点 A 坐标为13 , 13,-11 分yx由4x3y130,解得点 B 坐标为13,13,-12 分yx77明显 AB 中点不是E41, ,冲突！-13 分所以不存在满意条件的直线l -14 分方法 2：由y1k x4 ,解得点 A 坐标为4k1,4k1,-7 分yxk1k1由y1xk x4 ,解得点 B 坐标为4k1,4k1,-8 分y1k1k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于 AB 中点为E4 1, ,所以4 k14k18,解得k4,-10 分k1k1所以 l 的方程为4xy150,到定点圆心 N 到直线 l 的距离717,-1

21、1 分17由于l被圆 N 截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,冲突！-13 分所以不存在满意条件的直线l -14 分方法 3：假设 A 点的坐标为a,a,由于 AB 中点为E4 1, ,所以 B 点的坐标为8a,2a,-8 分又点 B 在直线yx上,所以a5,-9 分所以 A 点的坐标为5 ,5 ,直线 l 的斜率为 4,所以 l 的方程为4xy150,-10 分圆心 N 到直线 l 的距离717,-11 分17由于 l 被圆 N 截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,冲突！-13 分所以不存在满意条件的直线l 34、广东省揭阳市2022 年高中毕业班高考调研测试设动点P x y

22、 y0F 0 , 1的距离比它到 x 轴的距离大1,记点 P 的轨迹为曲线C . （ 1）求点 P 的轨迹方程；（ 2）设圆 M 过 A 0, 2 ,且圆心 M 在曲线 C 上, EG 是圆 M 在 x轴上截得的弦,摸索名师归纳总结 究当 M 运动时,弦长EG 是否为定值？为什么？第 10 页,共 18 页解：（1）依题意知,动点P 到定点 F 0,1 的距离等于P 到直线y1的距离,曲线 C 是以原点为顶点,F 0,1 为焦点的抛物线 2p1p2yx2=4y2曲线 C 方程是2 x4y 4分（2）设圆的圆心为M a b ,圆 M 过 A 0, 2 ,EMGAxo- - - - - - -精选

23、学习资料 - - - - - - - - - 圆的方程为xa 2yb 2a2 b22 7令y0得：x22 ax4 b4010RyQFx设圆与 x 轴的两交点分别为x 1,0,x 2,0方法 1：不妨设x 1x 2,由求根公式得x 12a4 a216 b16,x 22 a4 a216 b16 分22x 1x 24a216b16又点M a b 在抛物线x24y上,a24 b ,x 1x 2164,即 EG 4-13分当 M 运动时,弦长EG 为定值 4 1438、广东省韶关市2022 届高三第一次调研考试在平面直角坐标系xoy 中,设点 F 1,0,直线 l :x1,点 P 在直线 l 上移动,

24、R 是线段 PF 与 y 轴的交点 , RQFP PQl . Po求动点 Q 的轨迹的方程； 记 Q 的轨迹的方程为E ,过点 F 作两条相互垂直的曲线E 的弦 AB 、-11CD ,设 AB 、 CDR ,3 0 的中点分别为M ,N求证：直线MN 必过定点解： 依题意知,直线l 的方程为：x1点 R 是线段 FP 的中点,且RQ FP , RQ 是线段 FP 的垂直平分线 分.2 PQ 是点 Q 到直线 l 的距离点 Q 在线段 FP 的垂直平分线,PQQF 4分2 y故 动 点 Q 的 轨 迹 E 是 以 F 为 焦 点 , l 为 准 线 的 抛 物 线 , 其 方 程 为 ：4 x

25、x 0 .7名师归纳总结 设AxA,yA,Bx B,y B,Mx M,y M,NxN,y N, 直 线AB的 方 程 为第 11 页,共 18 页ykx1 分 .8- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就yA24xA1yB24xB2 （1）（ 2）得yAyB4,即y M2, 9分12kk代入方程ykx1 ,解得x M21k2所以点的坐标为21,2 10k2k同理可得： N 的坐标为2 k21,2 k 直线 MN 的斜率为kMNyMyN1k2,方程为xMxNkk 2y 2 k 2 x 2 k 1 ,整理得1 k明显,不论 k 为何值, 3, 0 均满意方程,

26、y 1k2kx3, 所以直线 MN 恒过定点 R 3 , 0 1442、贵州省贵阳六中、遵义四中 2022 年高三联考 已知抛物线 y 2=2pxp0的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点, A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. 1求抛物线方程；2过 M 作 MNFA,垂足为 N,求点 N 的坐标；名师归纳总结 解： 1抛物线 y 2=2px 的准线为 x= -p ,于是 4+ 2p=5, p=2. 第 12 页,共 18 页2抛物线方程为y2=4x 6分2点 A 是坐标是 4, 4, 由题意得B0,4,M0

27、,2,又 F1,0, kFA=4 ； MN FA, kMN =-33 ,4就 FA的方程为 y=4x-1,MN 的方程为 y-2= -3x,34y=4x-1 x=8 解方程组 5,得3y-2= -3xy=445- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - N 的坐标 8 ,54 .12分 556、黑龙江省哈尔滨九中2022 年第三次模拟考试已知P3 0,点 R 在 y 轴上,点 Q 在 x的正半轴上,点M 在直线 RQ 上,且PRRM0,RM3MQ. 2（1）当 R 在 y 轴上移动时,求M 点轨迹 C；（2）如曲线 C 的准线交 x 轴于 N ,过 N 的直线交曲线 交 x 轴于点 E ,求 E 横坐标取值范畴；（3）