2022年圆锥曲线高中数学基础知识与典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思椭数学基础学问与典型例题圆锥曲线 椭注:1. 焦半径 椭圆上一点到焦点的连线段公式不要求记忆,但要会运用椭圆的其次定义. 2.椭圆参数方程xacos：圆圆ybsin知识如图点N a cos, sin的轨迹为椭圆 . 关系1.椭圆的定义：,椭例 1.F1,F2 是定点,且 |F1F2|=6,动点 M 满意|MF1|+|MF2|=6,就 M 点的轨迹网方程是 A 椭圆B直线C圆D线段例 2. 已知ABC 的周长是 16,A,30,B,30 , 就动点的轨迹方程是 Ax2y21Bx2y21y0 Cx2y21Dx2

2、y21 y0椭第肯定义：平面内到两个定点F1、F2 的距离之和等于定值2a2a|F1F2|的点的轨迹叫做2516251616251625椭圆 ,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 例 3. 如 F c,0 是椭圆x2y21的右焦点,F 与椭圆上点的距离的最大值为其次定义 : 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数e0eb0的两个焦点, P 是以 F1F2名师归纳总结 对称轴x 轴, y 轴,长轴长为2a ,短轴长为 2ba2b2为直径的圆与椭圆的一个交点, 如PF1F2=5PF2F1, 就椭圆的离心率为 焦点F 1c ,0、F c 2 ,0F 10,c 、F 20,

3、 A3 B6 C2 D2焦距焦距为FF 22 c c0,c2a2b22323离心率ec0e1 例 6. 设 A2, 3 ,椭圆 3x 24y 2=48 的右焦点是 F,点 P 在椭圆上移动,a当|AP|2|PF|取最小值时 P 点的坐标是 ；准线方程xa2ya2cc A 0, 23 B 0, 23 C 23 , 3 D 23 , 3 点 Px0,y0 |PF右|=a-ex0 , |PF左|=a+ex0 |PF上|=a-ex0, |PF下|=a+ex0的焦半径公式“左加右减 ” 第 1 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而

4、渐进 ,熟读而精思椭例 7. P 点在椭圆x2y21上,F1、F2是两个焦点,如PF 1PF2,就 P 点的双1.双曲线的定义：曲第肯定义 ：平面内到两个定点F 1、F2 的距离之差的确定值等于定值2a02a1的点的轨迹是双曲线,例 8.写出满意以下条件的椭圆的标准方程：定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线,常数 e叫做双曲线的离心率. 2.双曲线的标准方程及其几何性质如下表所示 1 长轴与短轴的和为18,焦距为 6; . 2 焦点坐标为,3 0,3, 0,并且经过点 2,1 ; . 标准方程2 xy21a0,b0y2x21 a0,b0 3 椭圆的两个顶点坐标分别为,30 ,30

5、 ,且短轴是长轴的1 ; 3_. 双a2b2a2b2圆图形 4 离心率为3 ,经过点 2,0 ; 2.例 9. F 1、F 2是椭圆x2y21的左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,就|PF 1| |PF 2|顶点a,00,a4的最大值是对称轴x 轴, y 轴,实轴长为2a ,虚轴长为 2b例 10. 椭圆中心是坐标原点 O,焦点在 x 轴上, e= 3 ,过椭圆左焦点 F 的直2线交椭圆于 P、Q两点, |PQ|= 20 ,且 OPOQ,求此椭圆的方程 . 9焦点F 1c ,0,F c ,0F 10,c ,F 20, 焦距焦距为F F 1 22 c c0,2 ca2b2离心率ece1 a双准线方

6、程xa2ya2cc如 需 要 用 到 焦 半 径 就 自 己 推 导 一 下 : 如 设P x 0,y 0是 双 曲 线2 x2 y1a0,b0上 一 点 , F右 c,o 为 右 焦 点 ,点 P 到 相 应 准 线a22 b点 Px0,y0 l xa2的距离为 d , 就 PF 右ed. a2ex 0a; c的 焦 半 径e x 0当 P 在右支上时dx0a2, PF右公式ccea2当 P 在左支上时da2x 0, PF右aex 0x 0cc即|MF右|x 0|ex 0a, 类似可推导|MF左|x 0|ex 0ax 0x 0例 11.命题甲：动点 P 到两定点 A、B 的距离之差的确定值等

7、于2aa0；命题曲乙： 点 P 的轨迹是双曲线；就命题甲是命题乙的 线A 充要条件B 必要不充分条件C 充分不必要条件D 不充分也不知必要条件识关系曲例 12.到定点的距离与到定直线的距离之比等于log23 的点的轨迹是（）网线A 圆B椭圆C双曲线D抛物线名师归纳总结 第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思双例 13. 过点 2 , -2 且与双曲线x2y21有相同渐近线的双曲线的方程是抛1.抛物线的定义 : 物2 线2 2 2A x y1 B y4 2 4例 14. 假如双曲线的焦距为2 2 2

8、x 1 C x y2 2 46,两条准线间的距离为2 21 D y x 12 44,那么双曲线的离心率知识关为（ ）系（A）3 2（B）3 2 21（C）6（D）2网2例 15. 假如双曲线x2y抛上一点 P 到它的左焦点的距离是8,那么点 P 到6436平面内到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 不在 l它的右准线的距离是 上.定点 F 叫做抛物线的焦点 , 定直线 l 叫做抛物线的准线 . A32 5 B64 5 C96 5 D128 52.抛物线的标准方程及其几何性质如下表所示 例 16.双 曲 线x2y21n1的 两 焦 点 为F F 2,P 在 双 曲 线

9、上 , 且 满 足标准方程y 22 px p0y 22pxp0x 22py p0x 22 pyp0n图形PF 1PF 22n2,就PF 1F 2的面积为 曲 1B1C2D4线2对称轴x轴x轴y轴y轴物例 17. 设ABC 的顶点A 4, 0 ,B4, 0 ,且sinAsinB1sinC,就第三个顶线2点 C 的轨迹方程是 _. 例 18. 连结双曲线x2y21与y2x21 a0,b0 的四个顶点的四边形名师归纳总结 a2b2b2a2焦点Fp,0Fp,0F0,pF0,p面积为S ,连结四个焦点的四边形的面积为S ,就S 的最大值是 _S 22222顶点原点 0,0例 19.依据以下条件,求双曲线

10、方程: 与双曲线x2y21有共同渐近线,且过点 - 3,23 ；准线xpxpypyp9162222与双曲线x2y21有公共焦点,且过点 3 2 ,2 . 离心率e1 164点用到焦半径自己推导一下即可例 20. 设双曲线x2y21上两点 A、B,AB 中点 M（1,2）Px0,y0 如:开口向右的抛物线上的点Px0,y0的焦半径等于 x0+p . 22的焦半径公式求直线 AB 方程；假如线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于C、D 两点,那么 A、B、C、D注: 1.通径为 2p,这是抛物线的过焦点的全部弦中最短的弦. 是否共圆,为什么？2. y22px 或x22py 的参数方程为x2pt2 或

11、x2pt2 t 为参数 . y2pty2pt第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思抛例 21. 顶点在原点,焦点是0, 2 的抛物线方程是 轨上一章已经复习过解析几何的基本问题之一：迹如何求曲线 点的轨迹 方程 ,它一般分为两类基此题型：一是已知轨迹类Ax 2=8yBx 2= 8yCy 2=8x Dy 2=8x 问型求其方程 ,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未例 22. 抛物线y42 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,就点 M 的纵坐标是 题知轨迹类型 ,此时除了用代入法

12、、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程；A17 16B15 16C7 8D0 因此在求动点轨迹方程的过程中,一是查找与动点坐标有关的方程 等量关系 ,侧重于数的运算,一是查找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视例 23.过点 P0,1与抛物线 y 2=x 有且只有一个交点的直线有 图形几何性质的运用；A4 条B3 条C2 条D1 条求轨迹方程的一般步骤 : 建、设、现（限）、代、化 .例 24. 过抛物线yax a0的焦点 F 作始终线交抛物线于 2P、Q两点,如线例 31. 已知两点 M（2,0）,N（2,0）,点 P 满意 PMPN

13、 =12,就点 P 的轨迹方程为（）段 PF 与 FQ的长分别为 p、q,就1 p1等于 Ax2y21B x2y 216 C y2x28D x2y28q16A2a B1 C 4a D42a a例 25. 如点 A 的坐标为 3,2,F 为抛物线 y 2=2x 的焦点,点 P 在抛物线上移例 32.O1与 O2 的半径分别为 1 和 2,|O1O2|=4,动圆与 O1 内切而与 O2物外切,就动圆圆心轨迹是 线动,为使 |PA|+|PF|取最小值, P 点的坐标为 轨A 椭圆B抛物线C双曲线D双曲线的一支A3,3 B2,2 C 2 1 ,1 D0,0 例 33. 动点 P 在抛物线 y2=-6

14、x 上运动 ,定点 A0,1 ,线段 PA 中点的轨迹方程是 （A）2 y+12=-12x（B）2 y+12=12x （C）2 y-12=-12x（D）2 y-12=12x 例 26. 动圆 M 过点 F0,2且与直线y=- 2 相切,就圆心M 的轨迹方程是. 迹例 34. 过点 A（2,0）与圆x2y216相内切的圆的圆心P的轨迹是（）方例 27. 过抛物线 y 22px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点,设这两点的纵程（A）椭圆（B）双曲线（C）抛物线（D）圆坐标为 y1、y2,就 y1y2_. 例 28. 以 抛物 线 x23y的 焦 点 为 圆 心 ,通 径 长为 半 径 的 圆 的方

15、 程 是例 35. 已知ABC 的周长是 16,A ,3 0,B 3, 0就动点的轨迹方程是 _. Ax2y21Bx2y21 y0Cx2y21Dx2y21y0例 29. 过点- 1,0的直线 l 与抛物线 y 2=6x 有公共点,就直线 l 的倾斜角的范畴2516251616251625是. 例 36. 椭圆x2y21中斜率为4 的平行弦中点的轨迹方程为 3. 例 30 设p0是一常数,过点Q 2 ,0的直线与抛物线y22px 交于相异两点43A、B,以线段 AB 为直经作圆 H（H 为圆心）；例 37. 已知动圆 P 与定圆 C: （x2）2 y2 相外切,又与定直线l：x试证 :抛物线顶点

16、在圆 H 的圆周上；求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程 . 相切 ,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是 _. 例 38. 在直角坐标系中 ,A 3,2,uuur AB35cos , 23sin R ,就 B 点的轨迹方程是 _. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思圆直线与圆锥曲线的位置关系圆例 42.抛物线 y=x 2上的点到直线 2x- y =4 的距离最近的点的坐标是 直线与圆锥曲线的位置关系和判定A1 1 ,2 4 B1,1 C 3,9 D 2,4 直线与圆锥曲线的位置

17、关系有三种情形：相交、相切、相离. 24直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程例 43. 抛物线 y 2=4x 截直线y2xk 所得弦长为 35 ,就 k 的值是 组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0、0、0 . A2 B- 2 C4 D- 4 锥直线与圆锥曲线相交所得的弦长例 44. 把曲线C1:x2y21按向量a1,2平移后得曲线C ,曲线C 有一条曲直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A x y 1B x y ,4k线综就它的弦长AB1k2x 1x 21k2 x 1x 224x x 211y

18、 1y 2准线方程为x5,就 k 的值为（）合A3B2C3D3k2问锥例 45.假如直线ykx1 与双曲线x2y24没有交点,就k 的取值范畴题注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求曲的技巧而已 由于y 1y 2kx 1x 2,运用韦达定理来进行运算. 线是. 综当直线斜率不存在是 ,就ABy 1y . 合例 46. 已知抛物线y2x 2上两点A x 1,y 1,Bx 2,y2关于直线yxm对称,问注: 1. 圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,题二要数形结合,既娴熟把握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运且x 1x21,那么 m 的值为.

19、 算；22.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法 . 圆3.圆锥曲线中参数取值范畴问题通常从两个途径摸索:一是建立函数,例 47. 以双曲线x2y 2=1 左焦点 F,左准线 l 为相应焦点、准线的椭圆截直用求值域的方法求范畴；二是建立不等式,通过解不等式求范畴；3例 39. AB 为过椭圆x2y2=1 中心的弦, Fc,0为椭圆的右焦点,就AFB线 y=kx+3 所得弦恰被 x 轴平分,就 k 的取值范畴是 _. 22ab的面积最大值是 2 A b Cac DbcBab 锥例 40. 如直线 ykx2 与双曲线x22 y6的右支交于不同的两点,就k 的例 48.

20、双曲线 3x 2-y 2=1 上是否存在关于直线y=2x 对称的两点 A、B.如存在,第 5 页,共 7 页曲线取值范畴是（）试求出 A、B 两点的坐标；如不存在,说明理由. 综A 15,15B ,15C15, D15,1 合33333问题例 41.如双曲线 x 2y 2=1 右支上一点 P a, b 到直线 y=x 的距离为2 ,就 ab的值是 . A 1B1C1或1 2 D 2 或2 名师归纳总结 222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思数学基础学问与典型例题 第八章圆锥曲线 答案例 1. D 例 2. B 例

21、 3. C 先考虑 M+m =2a,然后用验证法 . 例 4. B 提示： e= 4 ,P 点到左准线的距离为 2.5,它到左焦点的距离是 2, 2a=10, P 点到右焦5点的距离是 8, P 点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是 4 : 1; 例 5. B| PF 1 | | PF 2 | 2 c | PF | | PF 2 | 2 a,2 c e 1 6 . sin15 sin75 1 sin15 sin75 sin15 cos15 2 a 2sin60 3例 6. C 提示：椭圆 3x 24y 2=48 中,a=4, c=2, e= 1 , 设椭圆上的 P 点到右准线的距离为 d,就

22、2| PF | = 1 , |AP|2|PF|=|AP|d, 当 AP 平行于 x 轴且 P 点在 A 点与右准线之间时,|AP|d 2d 为始终线段,距离最小,此时 P 点纵坐标等于 3 , P 点坐标是 2 3 , 3 例 7. 3, 4 或- 3, 4 2 2 2 2 2 2例 8. 1 x y 1 或 x y 1 ; 2 x y1 ; 25 16 16 25 6 32 2 2 2 2 23 xy 21 或 x y 1 ; 4 xy 21 或 x y 1 . 9 9 81 4 4 16例 9. | PF 1 | | PF 2 | | PF 1 | | PF 2 | 2a 2422 2例

23、10. 解:设椭圆方程为 x2 + y2 =1,ab0 a b2 2PQx 轴时, F- c,0,|FP|= b,又 |FQ|=|FP|且 OPOQ, |OF|=|FP|,即 c= bac=a 2- c 2,a ae 2+e- 1=0, e= 5 1 与题设 e= 3 不符 ,所以 PQ不垂直 x 轴. 2 2PQy=kx+c,Px1,y1,Qx2,y2,e= 3 ,a 2= 4c 2,b 2= 1c 2, 2 3 3所以椭圆方程可化为 :3x 2+12y 2- 4c 2=0,将 PQ方程代入,2 2 2 2得3+12k2x 2+24k 2cx+12k 2c 2- 4c2=0, x1+x2=

24、24 k c2 ,x1x2= 12 k c 42 c3 12 k 3 12 k2 2 2 2由|PQ|= 20 得9 1 k 23 2412 kk c2 2 4 123 k c12 k 2 4 c = 20 9OPOQ,y y 2= - 1 即 x1x2+y1y2=0,1+k 2x1x2+k 2cx1+x2+ c 2k 2=0x 1 x 2把 x 1 x 2,x 1x 2 代入,解得 k 2= 4 ,把 k 2 4代入解得 c 2=311 112a 2=4,b 2=1,就所求椭圆方程为 x+y 2=1. 4例 11. B 例 12. C 例 13. D 例 14. C 例 15. C 例 16

25、. A 假设 PF 1 PF 2 ,由双曲线定义 PF 1 PF 2 2 n 且 PF 1 PF 2 2 n 2 , 解得PF 1n2n PF2n2n而F F 22n1由勾股定理得SPFF 1 21 2PF PF1 点评 考查双曲线定义和方程思想. 10例 17.x2y21 x2例 18. 1 21 4, 412例 19.设双曲线方程为x2y2 0, 32232916916双 曲 线 方 程 为x2y21; 设 双 曲 线 方 程 为x2k4y216k9k4k041642 2 2 23 2 2 x y1 ,解之得 k=4, 双曲线方程为 116 k 4 k 12 82 2 2 2x y x y

26、评注：与双曲线 2 2 1 共渐近线的双曲线方程为 2 2 0 ,当 0 时,焦a b a b2 2点在 x 轴上；当 0,b 2- k0 ；比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高解a k b k题质量,特殊是充分利用含参数方程的几何意义,可以更精确地懂得解析几何的基本思想 . 例 20. 解题思路分析：法一：明显 AB 斜率存在设AB ：y- 2=kx- 1 由ykx2kx2y21得：2- k 2x 2- 2k2- kx- k 2+4k- 6=0 当 0 时,设 A（x1,y1）,B（x2,y2） 就x 12x 2k 22 k k=1,满意 0 直线 AB ：y=x+1 22 k法二：

27、设 A（x 1,y1）,B（x2,y2）就2 x 1y 121两式相减得： x1-x2x1+x2=1 y1- y2y1+y2 22x22y2212 x1 x2y 1y 22 x 1x 2kAB2 11 AB ：y=x+1 代入x2y21 得： 0 x 1x 2y 1y 222评注：法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处理；在利用点差法时,必需检验条件0 是否成立；（2）此类探干脆命题通常确定满意条件的结论存在,然后求出该结论,并检验是否满意全部条件 .此题应着重分析圆的几何性质,以定圆心和定半径这两定为中心设 A、B、C、D 共圆于 OM,因 AB 为弦,故 M

28、 在 AB 垂直平分线即 CD 上；又 CD 为弦,故圆心 M 为 CD 中点；因此只需证 CD 中点 M 满意 |MA|=|MB|=|MC|=|MD| y x 1由2 y 2 得： A（- 1,0）, B（3,4）又 CD 方程： y=- x+3 x 12名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思yx32. 注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题,一般方法是联立方程组,消元得一元二次方程,由x2y2得： x 2+6x- 11=0 设 C（x3,y3）,D（x4,y4）,CD 中点 M

29、 （x0,y0）1必需争论二次项系数和判别式 ,利用韦达定理查找两根之和与两根之积之间的关系求解有时借助图形的几何性质更为简洁此题设直线方程为x=k y+2p；由于直线过 x 轴上是点 Q2p,20,通常可以这样设,可防止对直线的斜率是否存在争论2凡涉及弦的中点及中点弦问题,就x 0x 32x 43,y 0x 036 M （- 3,6）利用平方差法；涉及垂直关系往往也是利用韦达定理,设而不求简化运算3在引入点参数此题中以AB 弦的两个端点的坐标作为主参数时,应尽量削减参数的个数,以便削减运算 |MC|=|MD|=1 |CD|= 2210又|MA|=|MB|=210 |MA|=|MB|=|MC|

30、=|MD| 量由OAOB 得 x1x2+y1y2=O 这个关系对于解决此类问题非常有用4列出目标函数, A、B、C、D 在以 CD 中点, M （- 3, 6）为圆心,210为半径的圆上|OH|=k45 k24P,运用函数思想解决解析几何中的最值问题是解决此类问题的基本思评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清楚,在复习中必需引起足够重视路,也可利用基本不等式a 2+b22ab 当且仅当 a=b 时“=” 成立求解例 21. Bp2,p4 即x22py8y 例 22. B 2例 31. B 例 32. D 例 33. C 例 34. A 例 35. B 例 23. B过 P 可作抛物

31、线的切线两条,仍有一条与x 轴平行的直线也满意要求； 例 36. 9x+16y=0 椭圆内部分例 37. y 8x例 38.x2y21例 24. C 作为挑选题可采纳特殊值法, 取过焦点,且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p, q,259就 p=q=|F K|而|FK|1, 例 39. 解析： S AFB=2S AOF,当点 A 位于短轴顶点处面积最大.答案： D 2a11224 a例 40. D41. B 42. B 数形结合估算出D pqp10例 43. D 2 a例 40. C由已知得曲线C 的准线为 1x4, 焦点在 x 轴上且a24,a24, 例 25. x 2=8y解析：运用抛物线的准线性质 2 例 27. p.答案： B 例 26.c例 28. x 2 y 3 294例 30. 解：由题意,直线例 29.0,arctan6 6 arctan2 2故可设直线方程为：,x2p. a2,c1, kb23AB 不能是水平线,ky例 45.k233或k233例 46.3例 47. 0,3 2又设A xA,yA