2022年完整word版,机械优化设计试卷期末考试及答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是设计变量、目标函数、约束条件；2.函数fx x 2x 12x 224x x 25在X02点处的梯度为12 0,海赛矩阵4为24423.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映,因此对它最基本的要求是能用来评判设计的优劣, ,同时必需是设计变量的可运算函数；4. 建立优化设计数学模型的基本原就是准确反映 洁；工程实际问题,的基础上力求简5.约束条件的尺度变换常称 规格化,这是为改善数学模型性态常用的一种方法；6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定,此法是指依次迭代的步长按肯定的比例 递增的

2、方法；7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜寻方向,因此最速下降法又称为 梯度法,其收敛速度较 慢；8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是 f X 0 0 必要条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题,这种方法又被称为升维法；10 转变复合形外形的搜寻方法主要有反射,扩张,收缩,压缩11 坐标轮换法的基本思想是把多变量的优化问题转化为单变量的优化问题n和12 在挑选约束条件时应特殊留意防止显现相互冲突的约束,另外应当尽量削减不必要的约束；13 目标函数是n 维变量的函数,它的函数图像只能在n+1,空间中描述出来,为了在维空间中反映

3、目标函数的变化情形,常采纳目标函数等值面的方法；14. 数学规划法的迭代公式是Xk1Xkkdk,其核心是建立搜寻方向,运算正确步长15 和谐曲线法是用来解决 设计目标相互冲突 的多目标优化设计问题的；16.机械优化设计的一般过程中,建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步,它是取得正确结果的前提；二、名词说明名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1凸规划对于约束优化问题如 fmin fjXX0jj1,2,3,m st .gXgjX、1,2,3,m 都为凸函数,就称此问题为凸规划；2可行搜寻方向是指当设计点沿该方向作微量移

4、动时,目标函数值下降,且不会越出可行域；3设计空间： n 个设计变量为坐标所组成的实空间,它是全部设计方案的组合4.牢靠度产品在规定的条件,规定的时间内完成规定功能的概率. 5收敛性是指某种迭代程序产生的序列Xkki0,1,收敛于lim kXk1X6. 非劣解：是指如有m个目标ifX1,2,m ,当要求m-1 个目标函数值不变坏时,找不到一个X,使得另一个目标函数值ifX 比ifX,就将此 X 为非劣解；7. 黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法,使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值；8. 可行域：满意全部约束条件的设计点,它在设计空间中的活动范畴称作可行域；9.修理度 在

5、规定的条件下使用的产品发生故障后,在规定的修理条件下,在规定的修理时间 t 内修复完毕的概率1、设计变量答：在优化设计计程中,一组需要优选的、作为变量来处理的独立设计参数（或需要优选的参数,它们的数值在优化设计过程中是变化的一组独立的设计参数）2、目标函数答：在优化设计中,用来评判设计方案优劣程度、并能够用设计变量所表达成的函数,称为目标函数（或 用设计变量来表达所追求目标的函数）3、设计约束答：在优化设计中,对设计变量取值的限制条件,称为约束条件和设计约束（或对设计变量取值限制的附加设计条件）4、最优点、最优值和最优解名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料

6、 - - - - - - - - - 答：选取适当优化方法,对优化设计数学模型进行求解,可解得一组设计变量,记作：* x1* ,x2* ,x3* ,x*T 使该设计点的目标函数 x* 为最小, 点 x* 称为最优点 （微小点）；相应的目标函数值 x*称为最优值（微小值） ；一个优化问题的最优解包着最优点（微小点）和最优值（微小值）；把最优点和最优值的总和通称为最优解；或：优化设计就是求解 n 个设计变量在满意约束条件下使目标函数达到最小值,即min fx=fx* x n s.t. u（） 0, 1,2, ,m；v（） 0, 1,2,pn 称 x* 为最优解, fx* 为最优值；最优点 三、简答

7、题x* 和最优值 fx* 即构成了最优解1什么是内点惩处函数法？什么是外点惩处函数法？他们适用的优化问题是什么？在构 造惩处函数时,内点惩处函数法和外点惩处函数法的惩处因子的选取有何不同？1）内点惩处函数法是将新目标函数定义于可行域内,序列迭代点在可行域内逐步靠近约束边界上的最优点；内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题；内点惩处函数法的惩罚因子是由大到小,且趋近于0 的数列；相邻两次迭代的惩在可行域之外, 序列迭代点从可行域之外逐步靠近约束边界上的最优点；外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题；外点惩处函数法的惩处因子,它是由小到大,且趋近于的数列；惩处因子按下式递增rkcrk1

8、k1,2,式中c为惩处因子的递增系数,通常取c5 102共轭梯度法中,共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明；名师归纳总结 . 对于二次函数,fX1T X GXT b Xc ,从Xk点动身,沿 G 的某一共轭方向dk作第 3 页,共 9 页2一维搜寻,到达Xk1点,就Xk1点处的搜寻方向dj应满意djTgk1gk0,即终点Xk1与始点k X 的梯度之差gk1g 与k d 的共轭方向j d 正交；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进？. 答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种,在该方法中每一个共轭向量

9、都依靠于迭代点处的负梯度构造出来的；共轭梯度法的第一个搜寻方向取负梯度方向,这是最速下降法；其余各步的搜寻方向是将负梯度偏转一个角度,也就是对负梯度进行修正；所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进；4.写出故障树的基本符号及表示的因果关系；略5.算法的收敛准就由哪些？试简洁说明；略6.优化设计的数学模型一般有哪几部分组成？简洁说明；略7简述随机方向法的基本思路答：随机方向法的基本思路是在可行域内挑选一个初始点,利用随机数的概率特性,产生如干个随机方向, 并从中挑选一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜寻方向；从初始点动身,沿搜寻方向以肯定的步进步行搜寻,得到新的 X 值,新点应当

10、满意肯定的条件,至此完成第一次迭代；然后将起始点移至 X ,重复以上过程,经过如干次迭代运算后,最终取得约束最优解；8 数值运算迭代法的基本思想和迭代格式；数值运算迭代法的基本思想：数值运算迭代法完全是依靠于运算机的数值运算特点而产生的,它不是分析方法, 而是具有肯定规律结构并按肯定格式反复运算的一种方法；（5 分）其迭代法运算的基本格式是：从一点动身,依据目标函数和约束函数在该点的某些信息,确定本次迭代运算的一个方向Sk 和适当的步长 k ,从而到一个新点,即：Xk+1 xk kSk k=0,1,2,3 . 式中： xk 前一步取得的设计方案（迭代点）；在开头运算时, 即为迭代的初始点 x0

11、 ；Xk+1 新的修改设计方案（新的迭代点）；Sk 第 k 次迭代运算的搜寻方向（可以看作本次修改设计的定向移动方向）； k 第 k 次迭代运算的步长因子,是个数量的；运算题名师归纳总结 1 试 用 牛 顿 法 求fX2 8 x 15 x 22的 最 优 解 , 设X01010T； 初 始 点 为第 4 页,共 9 页X01010T,就初始点处的函数值和梯度分别为fX01700fX016 x 14 x 2200,沿梯度方向进行一维搜寻,有4x 110 x 2140- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - X1X00fX01002001020001014010

12、14000为一维搜寻正确步长,应满意极值必要条件fX18minfX002fX010200010140051014002min102004min0 1060000 0 59600 0,从而算出一维搜寻正确步长 0 596000.05622641060000就第一次迭代设计点位置和函数值 X 1 10 200 0 1.245283010 140 0 2.12830191f X 24.4528302,从而完成第一次迭代；按上面的过程依次进行下去,便可求得最优解；2、试用黄金分割法求函数 f 20 的微小点和微小值,设搜寻区间a b 0.2,1（迭代一次即可）解：明显此时,搜寻区间 a b 0.2,1

13、,第一插入两点 1 和 2,由式1 b b a 1 0.618 1 0.2 0.50562 a b a 0.2 0.618 1 0.2 0.6944运算相应插入点的函数值 f 1 40 . 0626 , f 2 29 . 4962；由于 f 1 f 2；所以消去区间 ,a 1,得到新的搜寻区间 1,b ,即 1, b a b 0.5056,1；第一次迭代：名师归纳总结 插入点10.6944 ,f220.50560.61810.50560.81111,b ,第 5 页,共 9 页相应插入点的函数值f129.4962,f225.4690,由于f1,故消去所以消去区间a ,1,得到新的搜寻区间- -

14、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就形成新的搜寻区间1,ba ,b.0 6944 1,；至此完成第一次迭代,连续重复迭代过程,最终可得到微小点；3用牛顿法求目标函数fX16 x 1 225 x +5 的微小点,设 2 2X022T；f解：由X022T,就fX0x 132x 164为f50x2100x2,其逆矩阵2f2f2fX0x 1 2x x 1 23202f2f050x x 12 x 22fX0110320121064050因此可得：X1X02fX01fX0322011000fX15,从而经过一次迭代即求得微小点50X00T,fX54.下表是用黄金分割法求

15、目标函数f20的微小值的运算过程,请完成下表；迭代序号a 12b 1y比较y20 0.2 1 1 迭代序号a 12b 1y比较y2名师归纳总结 0 0.2 0.5056 0.6944 1 40.0626 29.4962 第 6 页,共 9 页1 0.5056 0.6944 0.8111 1 29.4962 25.4690 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5、 求二元函数fx 1,x2=x 12+x 22-4x1-2x2+5 在 x 0=0 0T 处函数变化率最大的方向和数值？解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向,这里用单位向量P 表示函数变化率最大

16、和数值是梯度的模 II f x 0 II ；求 fx 1,x2在 0x 点处的梯度方向和数值,运算如下：ff 0x = xf 1=2 2x x 12 42 x 0 = 42x 2 x 0II f 0x II = f 2 f 2= 4 2 2 22 5x 1 x 24 2P= f x 0 2 5f x 0 2 5 15在 x 1 x 2 平面上画出函数等值线和 x （0,0）点处的梯度方向 P,如图 2-1 所示；从图中可以看出,在 x 点函数变化率最大的方向 0 P 即为等值线的法线方向,也就是同心圆的半径方向；6、 用共轭梯度法求二次函数fx 1,x2=x 12+2x 22-4x 1-2 x

17、1x 2 的微小点及微小值？解： 取初始点g0=x0x011T2x 24x04就f2x 14x 22x 12取d0=-g0=42沿 d0方向进行一维搜寻,得名师归纳总结 x1=x0+0d 0=104140第 7 页,共 9 页12012- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其中的0为正确步长,可通过f（ x1） =min1,100求得0=1 40=2 1就x1 = 10414121202为建立其次个共轭方向d 1,需运算x1 点处的梯度及系数0值,得g1=f（ x1）=2x 12x 2x 14x 114 x2220g1251g02204从而求得其次个共轭方

18、向d 1=-g1+0d0=1142 32422再沿 d 1 进行一维搜寻,得其中的x2=x1+1d1=2 1212 321221131为正确步长,通过f（x221222）=min,0求得x2= 2 111=1 21=42 32 1就3122222运算 x2点处的梯度名师归纳总结 g2=f（x2）=2x 12x 2x 14x200第 8 页,共 9 页4x 220说明 x2点满意极值必要条件,再依据x2点的海赛矩阵Gx2=2224是正定的,可知x2满意极值充分必要条件；故x2为微小点,即* xx242- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而函数微小值为f*x

19、8；7、求约束优化问题s.t. Minfx=x1-22+x 2-12hx=x 1+2x 2-2=0 的最优解？解： 该问题的约束最优解为x*1 6.0.2T,fx*0 .8；由图 4-1a 可知,约束最优点 用间接解法求解时,可取*x 为目标函数等值线与等式约束函数（直线）的切点；2=0.8,转换后的新目标函数为x ,2x 12 2x21 20.8x 12x228其结果和原约束最可以用解析法求minx ,2,即令0 ,得到方程组0 .x 12x 120 8.0x 22x21 1.60解此方程组,求得的无约束最优解为：x*1 .60 .2T,x*,2优解相同；图4-1b 表示出最优点*x 为新目标函数等值线族的中心；图 4-1 a）目标函数等值线和约束函数关系b）新目标函数等值线名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页