2022年完整word版,近世代数期末考试试卷及答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、单项挑选题 本大题共 5 小题,每道题 3 分,共 15 分 在每道题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内；错选、多项或未选均无分；1、设 G 有 6 个元素的循环群, a 是生成元,就 G的子集（ ）是子群；A、 a B、a e C、,e a3 D、e a a 32、下面的代数系统（ G,*）中,（）不是群A、G为整数集合, * 为加法 B C、G为有理数集合, *为加法 D、G为偶数集合, * 为加法、G为有理数集合, *为乘法名师归纳总结 3、在自然数集 N上,以下哪种运算是可结合的？（）第 1

2、页,共 8 页A、a*b=a-b B、a*b=maxa,b C 、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设1、2、3是三个置换, 其中1122313 ,22414 ,31324 ,就3（）A、1 B、12 C 、21 D 、225、任意一个具有 2 个或以上元的半群,它（）；A、不行能是群B、不肯定是群C、肯定是群D、 是交换群6、12 阶有限群的任何子群肯定不是（）；A、2 阶B、3 阶 C、4 阶D、 5 阶7、设 G是群, G有（ ）个元素,就不能确定G是交换群；A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个8、有限布尔代数的元素的个数肯定等于（）；A、偶数B、奇数 C、4 的

3、倍数 D、2 的正整数次幂9、如 I,J均是环 A 的抱负,就（）不肯定是 A 的抱负；A、I+J B、I J C、I J D、IJ 10、S 中元素 123 的中心化子有（）A、1,123,132 B、（12）,13 ,23 C、1 ,123 D、S3 中的全部元素- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二、填空题 本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分 请在每道题的空格中填上正确答案；错填、不填均无分；1、凯莱定理说：任一个子群都同一个f同构；2、一个有单位元的无零因子称为整环；3、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 30,就4 a 的阶等于同

4、构；4、a 的阶如是一个有限整数n,那么 G与5、假如 f 是 A与 A间的一一映射, a是 A 的一个元,就1fa3、区间 1 ,2 上的运算a bmina b , 的单位元是；4、交换群 G中|a|=6,|x|=8,就|ax|= ；5、环 Z8的零因子有；三、解答题（本大题共3 小题,每道题 10 分,共 30 分）1、设集合 A=1,2,3G是 A 上的置换群, H 是 G的子群, H=I,1 2,写出 H的全部陪集；2、设 E 是全部偶数做成的集合, “.” 是数的乘法,就“. ” 是 E 中的运算,（ E, . ）是一个代数系统,问（E,.）是不是群,为什么？3、a=493, b=3

5、91, 求a,b, a,b 和 p, q ；四、证明题（本大题共2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分）1、如 是群,就对于任意的 a、bG,必有惟一的 xG使得 a*x b；2、设 m是一个正整数,利用 m定义整数集 Z上的二元关系：a. b当且仅当 ma b；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 近世代数模拟试题三一、单项挑选题 本大题共 5 小题,每道题 3 分,共 15 分 在每道题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内；错选、多项或未选均无分；1、

6、6 阶有限群的任何子群肯定不是（）；A、2 阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶2、设 G是群, G有（ ）个元素,就不能确定 G是交换群；A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个3、有限布尔代数的元素的个数肯定等于（）；A、偶数 B、奇数 C、4 的倍数 D、2 的正整数次幂4、以下哪个偏序集构成有界格（）A、（N,） B、（Z,）C、（2,3,4,6,12,|（整除关系）D、 PA, 5、设 S31 ,12 ,13 ,23 ,123 ,132 ,那么,在 S3 中可以与 123交换的全部元素有（）A、1 ,123 ,132 B、12 ,13 ,23 C、1 ,123 D、S3中的

7、全部元素二、填空题 本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分 请在每道题的空格中填上正确答案；错填、不填均无分；名师归纳总结 1、群的单位元是 -的,每个元素的逆元素是-1的；-；第 3 页,共 8 页2、假如f是A与A间的一一映射,a是A的一个元,就ffa3、区间 1 ,2 上的运算abmina,b 的单位元是 -；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、可换群 G中|a|=6,|x|=8,就|ax|= ；5、环 Z8的零因子有 -；6、一个子群 H的右、左陪集的个数 -；7、从同构的观点,每个群只能同构于他/ 它自己的 -；8、无零因子环 R

8、中全部非零元的共同的加法阶数称为R的-；9、设群G中元素a的阶为m,假如ane,那么m与n存在整除关系为 -三、解答题（本大题共3 小题,每道题 10 分,共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链？2、S1,S2 是 A 的子环,就 S1S2 也是子环； S1+S2 也是子环吗？3、设有置换1 13451245 ,234456S ；1求和；的奇偶性；和12确定置换四、证明题（本大题共2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分）1、一个除环 R只有两个抱负就是零抱负和单位抱负；名师归纳总结 2、M为含幺半群,证明b=a-1

9、的充分必要条件是aba=a 和 ab 2a=e；第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 近世代数模拟试题一 参考答案一、单项挑选题；1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题 本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分 ；1、,11,1 0,1 1,2,1,2 0,21,；2、单位元； 3、交换环； 4、整数环； 5、变换群； 6、同构 ;7 、零、 -a ；8、S=I 或 S=R ；9、域；三、解答题（本大题共3 小题,每道题 10 分,共 30 分）1、解：把 和 写成不相杂轮换的乘积： 1653 247 8 123

10、48 57 6 可知 为奇置换,为偶置换；和 可以写成如下对换的乘积： 13 15 16 24 27 13 12 48 57 1 1B A A C A A 2、解：设 A 是任意方阵,令 2,2,就 B是对称矩阵,而 C 是反对称矩阵,且 A B C；如令有 A B 1 C 1,这里 B 和 C 分别为对称矩阵和反对称矩阵,就 B B 1 C 1 C,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩阵,于是两边必需都等于 0,即：B B 1,C C 1,所以,表示法唯独；3、答：（M m,m ）不是群,由于 M m 中有两个不同的单位元素 0 和 m；四、证明题（本大题共2 小题,第 1 题 10 分,第

11、 2 小题 15 分,共 25 分）名师归纳总结 1、对于 G 中任意元 x,y,由于xy2e,所以xyxy1y1x1yx（对每第 5 页,共 8 页个 x,从x2e可得xx1）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、证明在 F 里ab1b1aa a ,bR ,b0 0 参考答案b有意义,作 F 的子集Q全部aa,bR ,bbQ 明显是 R的一个商域证毕；近世代数模拟试题二一、单项挑选题 本大题共 5 小题,每道题 3 分,共 15 分 ；1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题 本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分 ；1、变换群

12、； 2、交换环； 3、25；4、模 n 乘余类加群； 5、2 ；6、一一映射； 7、不都等于零的元； 8、右单位元； 9、消去律成立； 10、交换环；三、解答题（本大题共3 小题,每道题 10 分,共 30 分）1、解： H的 3 个右陪集为： I,1 2 ,1 2 3 ,1 3 ,1 3 2 ,2 3 H的 3 个左陪集为： I,1 2 ,1 2 3 ,2 3,1 3 2 ,1 3 2、答：（E,.）不是群,由于（ E,.）中无单位元；3、解 方法一、辗转相除法；列以下算式：a=b+102 b=3 102+85 102=1 85+17 由此得到 a,b=17, a,b=a b/17=1133

13、9；然后回代： 17=102-85=102-b-3 102=4 102-b=4 a-b-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5. 四、证明题（本大题共2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分）1、证明 设 e 是群 的幺元；令 xa1*b,就 a*x a*a 1*b a*a 1*b e*bb；所以, xa1*b 是 a*x b 的解；如 x G也是 a*x b 的解,就 x e*x a 1*a*x a1*a*x a1*bx；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以, xa1*b 是 a*

14、x b 的惟一解；2、简单证明这样的关系是Z 上的一个等价关系,把这样定义的等价类集合Z 记为 Zm,每个整数 a 所在的等价类记为 a= xZ；mx a或者也可记为 a,称之为模 m剩余类；如 ma b 也记为 abm；当 m=2时, Z2仅含 2 个元： 0 与1 ；近世代数模拟试题三 参考答案 一、单项挑选题 本大题共 5 小题,每道题 3 分,共 15 分 在每道题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内；错选、多项或未选均无分；1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题 本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分 请在每道题的空格中填上

15、正 确答案；错填、不填均无分；1、唯独、唯独； 2、a；3、2；4、24；5、9、mn；6、相等； 7、商群； 8、特点；三、解答题（本大题共 3 小题,每道题 10 分,共 30 分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法；用笔在纸上画一下,用黑白两种珠子,分类进行运算：例如,全白只 种, 等等,可得总共 8 种；2、证 由上题子环的充分必要条件,要证对任意S2：1 种,四白一黑 1 种,三白二黑 2a,b S1S2 有 a-b, ab S1由于 S1,S2 是 A 的子环,故 a-b, ab S1 和 a-b, ab S2 ,因而 a-b, ab S1S2 ,所以 S1S2是子

16、环；S1+S2不肯定是子环；在矩阵环中很简单找到反例：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、解： 1 1243 56,116524；2两个都是偶置换；四、证明题（本大题共2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分）1、证明：假定是 R的一个抱负而b不是零抱负,那么a0,由抱负的定义a1a1,因而 R的任意元b.1这就是说=R,证毕；2、证 必要性：将 b 代入即可得；充分性：利用结合律作以下运算：ab=abab2a=abab2a=ab2a=e ,ba=ab2aba=ab2 aba=ab2a=e ,所以 b=a-1；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页