2022年小学数学比和比例问题知识汇总及解析例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学校数学学问总结之比和比例应用题【求比的问题】例 1 两个同样容器中各装满盐水； 第一个容器中盐与水的比是 23,其次个容器 中盐与水的比是 34,把这两个容器中的盐水混合起来,就混合溶液中盐与水的比是_；（无锡市学校数学竞赛试题）就混合溶液中,盐与水的比是：某电子产品去年按定价的80出售,能获利 20,由于今年买入价降（1994 年全国学校数学奥林匹克决赛试题）即：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【比例问题】例 1 甲、乙两包

2、糖的重量比是 41,假如从甲包取出 10 克放入乙包后,甲、乙两包糖的重量比变为 75 那么两包糖重量的总和是 _克；（1989 年全国学校数学奥林匹克初赛试题）例 2 甲容器中有纯酒精11 升,乙容器中有水 15 升,第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器, 使酒精与水混合； 其次次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器；这样甲容器中纯酒精含量为62.5 ,乙容器中纯酒精含量为25,那么,其次次从乙容器倒入甲容器的混合液是_升；（1991 年全国学校数学奥林匹克决赛试题）讲析：由于现在乙容器中纯酒精含量为 25（ 1-25 ）=13 25,所以,乙容器中酒精与水的比为第一次从甲容器中倒 5 升

3、纯酒精到乙容器,才使得乙容器中纯酒精与水的比恰好是 515=13 又甲容器中纯酒精含量为62.5 ,就甲容器中酒精与水的比为62.5 （1-62.5 ） =53 其次次倒后,要使甲容器中纯酒精与水的比为53,不妨把从甲容器中倒入乙容名师归纳总结 - - - - - - -器的混合液中纯酒精作1 份,水作 3 份；那么甲容器中剩下的纯酒精便是11-5=6（升）6 升算作 4 份,这样可恰好配成53；而其次次从乙容器倒入甲容器的混合液共为13=4（份）,所以也应是6 升；第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一.比的意义和性质（1） 比的意义

4、两个数相除又叫做两个数的比；“ ：”是比号,读作 “ 比” ；比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项；比的前项除以后 项所得的商,叫做比值；同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商；比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数；比的后项不能是零；依据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值（2）比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（3） 求比值和化简比0 除外）,比值不变,这叫做比的基本性质；求比值的方法：用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数；依据比的基本性质可以把比化成最简

5、洁的整数比；它的结果必需是一个最简比,即前、 后项是互质的数；（4）比例尺图上距离：实际距离 =比例尺 要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离；线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离；（5）按比例安排在农业生产和日常生活中,经常需要把一个数量依据肯定的比来进行安排；这种安排的方法通常叫做按比例安排；方法：第一求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少；2 比例的意义和性质（1） 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例；组成比例的四个数,叫做比例的项；两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项；（2）比例的性

6、质 在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积；这叫做比例的基本性质；（3）解比例依据比例的基本性质,假如已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项；求比例中的未知项,叫做解比例；3 正比例和反比例（1） 成正比例的量两种相关联的量, 一种量变化, 另一种量也随着变化,假如这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）肯定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系；用字母表示 y/x=k 肯定）（2）成反比例的量 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,假如这两种量中相对应的两个数的积肯定,这两种 量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系；名师归纳总结

7、用字母表示xy=k肯定 第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二 正反比例问题【含义】 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,假如这两种量中相对应 的两个数的比的比值肯定（即商肯定）,那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫 做正比例关系；正比例应用题是正比例意义和解比例等学问的综合运用；两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,假如这两种量中相对应的两个数 的积肯定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系；反比例应用题是反 比例的意义和解比例等学问的综合运用；【数量关系】判定正比

8、例或反比例关系是解这类应用题的关键；很多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷；【解题思路和方法】比例的性质去解应用题；解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比,应用比和例 1 修一条大路,已修的是未修的1/3 ,再修 300 米后,已修的变成未修的1/2 ,求这条大路总长是多少米？例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟,照这样运算, 91 分钟可以做几道应用题？关键：做题效率肯定,做题数量与做题时间成正比例关系例 3 孙亮看十万个为什么这本书,每天看24 页, 15 天看完,假如每天看36 页,几天就可以看完？名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,

9、共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三 按比例安排问题【含义】 所谓按比例安排,就是把一个数依据肯定的比分成如干份；这类题的已知条件 一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份 数；【数量关系】从条件看,已知总量和几个部重量的比；从问题看,求几个部重量各是多 少；总份数比的前后项之和【解题思路和方法】先把各部重量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母,比的前后项分别作分子）,再依据求一个数的几分之几是多少的运算方法,分别求出各部重量的值；例 1 学校把

10、植树 560 棵的任务按人数安排给五年级三个班,已知一班有 47 人,二班有 48 人,三班有 45 人,三个班各植树多少棵？例 2 用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是 345；三条边的长 各是多少厘米？例 3 从前有个牧民,临死前留下遗言, 要把 17 只羊分给三个儿子, 大儿子分总数的 1/2 ,二儿子分总数的 1/3 ,三儿子分总数的 只羊；1/9 ,并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少例 4 某工厂第一、二、三车间人数之比为81221 ,第一车间比其次车间少80 人,三个车间共多少人？名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料

11、 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四 列方程例 1 甲乙两班共 90 人,甲班比乙班人数的2 倍少 30 人,求两班各有多少人？例 2 仓库里有化肥 940 袋,两辆汽车 4 次可以运完,已知甲汽车每次运 125 袋,乙汽车每次运多少袋？智趣题学校买了 4 张办公桌和 1 把椅子,共用去 510 元,后又买来 6 张办公桌和 1 把椅子共用去 750 元；求每张办公桌和每把椅子各多少元？作业1一台拖拉机第一天上午 3 小时平均每小时耕地 7.8 公亩,下午 4 小时平均每小时耕地 8.1 公亩,其次天用了 5 小时耕地 38.4 公亩,正好完成任务；这台拖拉机平均每天耕地

12、多少公亩 . 2王、张两人各带同样多的钱去商店买花布,同种的花布小王买了 9 米,小张买了 6 米；王向张借了 12元,两人的钱刚好用完；这种花布每米多少元 . 比的应用练习题名师归纳总结 - - - - - - -1、两个相同的瓶子都装满了酒精溶液,一个瓶中酒精与水的体积比是3 ：1,另一个瓶中酒精与水的体积比是4 ：1；假如把这两个瓶中酒精溶液混合,混合溶液中酒精和水的比是第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）；学习必备欢迎下载2 、 五 角 人 民 币 与 贰 角 人 民 币 的 张 数 比 为（）；12 ： 35, 那 么 伍 角 与 贰 角 的

13、 总 钱 数 比 为3、甲、乙、丙三个数的平均数是60；甲、乙、丙三个数的比是3 ：2 ：1；甲、乙、丙三个数各是多少？4、一个直角三角形的两个锐角度数的比是2 ：1,这两个锐角分别是多少度？5、大、小两瓶油共重 2.7 千克,大瓶的油用去 0.2 千克后,剩下的油与小瓶内油的重量比是 3 ：2；求大、小瓶里各装油多少千克？6、甲、乙、丙三位同学共有图书108 本,乙比甲多 18 本,乙与丙的图书数之比是5 ：4,求甲、乙、丙三人各有图书多少本？7、一个直角三角形的三条边总和是60 厘米,已知三条边的比是3 ：4 ：5. 这个直角三角形的面积是多少平方厘米？8、一个直角三角形的周长为36 厘米

14、,三条边的长度比是3 ：4 ：5,这个三角形的面积是多少平方厘米？9、一瓶盐水,盐和水的重量比是1 ：24,假如再放入 75 克水,这时盐与水的重量比是1 ：27,原先瓶内盐水重多少千克？10、盒子里有三种颜色的球,黄球个数与红球个数的比是 是 4 ：5；已知三种颜色的球共 175 个,红球有多少个？2 ：3,红球个数与白球个数的比11、王老师用 100 元去买了 20 支圆珠笔和 10 支钢笔,每支钢笔的价钱和每支圆珠笔的价钱 的比是 3 ：1；问买圆珠笔和钢笔各花了多少元？12、甲、乙两包糖果的重量的比是4 ：1,假如从甲包取出10 克放入乙包后,甲、乙两包糖果重量的比变为 7 ：5；那么

15、两包糖果重量的总和是多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载13、某学校男、女生人数之比是16 ：13,后来有几位女生转学到这所学校,男、女生人数之比变成为 6 ：5,这时全体同学共有 880 人,问转学来的女生有多少人？14、小明读一本书,已读的和末读的页数比是 数之比为 3 ：5；这本书共有多少页？1 ：5；假如再读 30 页,就已读的和末读的页15、运输队要运一批货物,已经运走的和剩下的比是1 ：4；假如再运走4 吨,那么运走的和剩下的比为 3 ：7；这批货物共多少吨？16、甲、乙、丙三人的

16、彩球数的比例为9：4：2,甲给了丙 30 个彩球,乙也给了丙一些彩球,比例变为 2 ：1 ：1；乙给了丙多少个彩球？溶液问题一碗糖水中有多少糖,这就要用百分比浓度来衡量. 放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水,这就是配比问题 . 在考虑浓度和配比时,百分数的运算扮演了重要的角色,并产生形形色色的运算问题,这是学校数学应用题中的一个重要内容 . 从一些基本问题开头争论 . 例 15 基本问题一（1）浓度为 10,重量为80 克的糖水中,加入多少克水就能得到浓度为8的糖水？（2）浓度为 20的糖水 40 克,要把它变成浓度为40的糖水,需加多少克糖？解：（ 1）浓度 10,含糖 80 10 8

17、（克）,有水 80-8 72（克） . 假如要变成浓度为 8,含糖 8 克,糖和水的总重量是 8 8 100（克）,其中有水100-8 92（克） . 仍要加入水 92- 72 20 （克） . （2）浓度为 20,含糖 40 20 8（克）,有水40- 8 32 （克） . 假如要变成浓度为40, 32 克水中,要加糖x 克,就有x3240（ 1-40 ）,例 16 基本问题二 20的食盐水与 5的食盐水混合, 要配成 15的食盐水 900 克. 问：20与 5食盐水各需要多少克？解： 20 比 15多（ 20-15 ）, 5 比 15少（ 15-5 ）,多的含盐量（ 20-15 ） 20所

18、需数量名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载要恰好能补偿少的含盐量（15-5 ）5所需数量 . 也就是画出示意图：相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系 . 答：需要浓度 20 的 600 克,浓度 5 的 300 克. 这一例题的方法极为重要,在解很多配比问题时都要用到 . 现在用这一方法来解几个配比的问题 . 例 17 某人到商品买红、蓝两种笔,红笔定价 5 元,蓝笔定价 9 元. 由于买的数量较多,商店就给打折扣. 红笔按定价 85 出售,蓝笔按定价 80 出售 . 结果他付的钱就少了

19、18. 已知他买了蓝笔 30 支,问红笔买了几支？解：相当于把两种折扣的百分数配比,成为 1-18 82. （85%-82）（ 82%-80） 3 2. 依据基本问题二,他买红、蓝两种笔的钱数之比是 23. 设买红笔是 x 支,可列出比例式5x9 3023 答：红笔买了 36 支. 配比问题不光是溶液的浓度才有的,有百分数和比,都可能存在配比 . 要提请留意,例 17 中是钱数配比,而不是两种笔的支数配比,千万不要搞错 . 例 18 甲种酒精纯酒精含量为 72,乙种酒精纯酒精含量为 58,混合后纯酒精含量为 62 . 假如每种酒精取的数量比原先都多取 15 升,混合后纯酒精含量为 63.25

20、. 问第一次混合时,甲、乙两种酒精各取多少升？解：利用例 16 的方法,原先混合时甲、乙数量之比是后一次混合,甲、乙数量之比是名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载这与上一讲例 14 是同一问题 . 都加 15,比例变了,但两数之差却没有变 . 5 与 2 相差 3,5 与 3 相差 2. 前者 3 份与后者 2 份是相等的 . 把 25 中前、后两项都乘 2,3 5 中前、后两项都乘 3,就把比的份额统一了,即现在两个比的前项之差与后项之差都是 5.15 是 5 份,每份是 3. 原先这答：第一次混

21、合时,取甲酒精12 升,乙酒精30 升. 例 19 甲容器中有 8的食盐水 300 克,乙容器中有 12.5 的食盐水 120 克 . 往甲、乙两个容器分别倒入等量的水,使两个容器的食盐水浓度一样 . 问倒入多少克水？解：要使两个容器中食盐水浓度一样,两容器中食盐水重量之比,要与所含的食盐重量之比一样 . 甲中含盐量：乙中含盐量= 300 8 120 12.5 = 8 5. 现在要使（300 克+倒入水）（ 120 克+倒入水） 85. 把“300 克+ 倒入水” 算作8 份,“120 克+ 倒入水” 算作5 份,每份是（300-120 ） （ 8-5 ）= 60 （克） . 倒入水量是 60

22、 8-300 180 （克） . 答：每一容器中倒入 180 克水 . 9 的盐水如干克,从乙取出 240 克盐水倒例 20 甲容器有浓度为2的盐水 180 克,乙容器中有浓度为入甲 . 再往乙倒入水,使两个容器中有一样多同样浓度的盐水. 问：（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？（2）再往乙容器倒入水多少克？解：（ 1）现在甲容器中盐水含盐量是180 2 240 9 25.2 （克） . 浓度是25.2 （ 180 240 ） 100 = 6 . （2）“ 两个容器中有一样多同样浓度的盐水” ,也就是两个容器中含盐量一样多 . 在乙中也含有 25.2 克盐. 由于后来倒入的是水,所以盐只在原有

23、的盐水中 . 在倒出盐水 240 克后,乙的浓度仍是 9 ,要含有25.2 克盐,乙容器仍剩下盐水 25.2 9 280（克）,仍要倒入水 420-280 140（克） . 答：（ 1）甲容器中盐水浓度是 6；（2）乙容器再要倒入 140 克水 . 例 21 甲、乙两种含金样品熔成合金. 如甲的重量是乙的一半,得到含名师归纳总结 乙两种含金样品中含金的百分数. . 第 10 页,共 11 页解：由于甲重量增加,合金中含金百分数下降,所以甲比乙含金少用例 17 方法,画出如下示意图. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于甲与乙的数量之比是12,所以学习必备欢迎下载（68- 甲百分数）（乙百分数-68 ）21 6 3. 留意： 6+327 9. 那么每段是因此乙的含金百分数是甲的含金百分数是答：甲含金 60 ,乙含金 72 . 名师归纳总结 用这种方法解题, 肯定要先弄清晰, 甲和乙分别在示意图线段上哪一端,也就是甲和乙哪个含金百分数大. 第 11 页,共 11 页- - - - - - -