2022年平面向量基本定理及坐标表示.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1平面对量基本定理假如e1、e2 是同一平面内的两个_向量,那么对于这一平面内的任意向量a,_一对实数 1、2,使 a_.其中,不共线的向量e1、e2 叫做表示这一平面内全部向量的一组_2平面对量的坐标运算1向量加法、减法、数乘及向量的模设 ax1,y1,bx2,y2,就ab_,a b_,a _,|a|_.2向量坐标的求法如向量的起点是坐标原点,就终点坐标即为向量的坐标设 Ax1,y1,Bx2, y2,就 AB _,|AB |_.3平面对量共线的坐标表示设 ax1,y1,bx2,y2,其中 b 0.a、b 共线 . _.【摸索辨析】判定下面结论

2、是否正确 请在括号中打“ ” 或“ ”1平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 2如 a,b 不共线,且 1a1b2a 2b,就 12,12. 3平面对量的基底不唯独,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯独名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 表示 4如 ax1,y1, bx2,y2,就 a b 的充要条件可表示成x2 y1 y2.5当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标1设 e1,e2 是平面内一组基底,那么A如实数 1,2使 1e12e20,就 1 2 0B空间内任一向量a 可以表示

3、为a1e12e21,2 为实数 C对实数 1,2,1e12e2 不肯定在该平面内D对平面内任一向量 a,使 a 1e1 2e2 的实数 1,2有很多对m2已知向量 a 2,3,b1,2,如 manb 与 a2b 共线,就 n_.3在.ABCD 中,AC 为一条对角线, AB 2,4,AC 1,3,就向量 BD 的坐标为 _4设 0 2,向量 asin 2,cos ,bcos ,1,如 a b,就 tan _.5教材改编 已知 .ABCD 的顶点 A1,2,B3,1,C5,6,就顶点 D 的坐标为 _.题型一 平面对量基本定理的应用例 1 1在梯形 ABCD 中,AB CD ,AB2CD ,M,

4、N 分别为 CD ,BC 的中点, 如AB AM AN ,就 等于 1 2A. 5 B. 53 4C. 5 D. 522022济南调研 如图,在 ABC 中,AN 1 3NC ,P 是 BN 上的一点, 如AP mAB 2 11AC ,就实数 m 的值为 _名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 思维升华 1应用平面对量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法就或三角形法就进行向量的加、减或数乘运算2用向量基本定懂得决问题的一般思路是先挑选一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决1在平行

5、四边形 ABCD 中,AB e1,AC e2,NC 1 4AC ,BM 1 2MC ,就MN _.用 e1,e2表示 2如图,已知 AB a,AC b,BD 3DC ,用 a,b 表示 AD ,就 AD _.题型二 平面对量的坐标运算例 2 1已知 a5, 2,b4, 3,如 a2b3c0,就 c 等于 A. 1,83 B.13 3, 8C. 13 3,4 D.13 3, 42已知点 A1,3,B4, 1,就与向量 A B同方向的单位向量坐标为 _思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法就进行运算如已知有向线段两端点的坐标, 就应先求出向量的坐标,就解题过程中要留意方程思想的运用及

6、正确使用运算法名师归纳总结 1已知点 A1,5和向量 a2,3,如 AB 3a,就点 B 的坐标为 第 3 页,共 11 页A7,4 B7,14 C5,4 D 5,142在 ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP 2PC ,点 Q 是 AC 的中点, 如PA 4,3,PQ 1,5,就BC 等于 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A2,7 B6,21 C2, 7 D 6, 21题型三 向量共线的坐标表示命题点 1 利用向量共线求向量或点的坐标例 3 1已知平面对量 a1,2,b2,m,且 a b,就 2a3b_.2已知梯形 ABCD ,其中 AB CD

7、,且 DC2AB,三个顶点 的坐标为 _命题点 2 利用向量共线求参数A1,2,B2,1,C4,2,就点 D例 4 如三点 A1, 5,Ba, 2,C 2, 1共线,就实数 a 的值为 _命题点 3 求交点坐标例 5 已知点 A4,0,B4,4,C2,6,就 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 _思维升华 平面对量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略1 利用两向量共线求参数假如已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“ 如 ax1,y1,b x2,y2,就 a b 的充要条件是x1y 2x2y1” 解题比较便利2 利用两向量共线的条件求向量坐标一般地,在求与一个已知向量 a 共线的向量时,

8、可设所求向量为 aR,然后结合其他条件列出关于 到所求的向量的方程,求出 的值后代入 a 即可得3 三点共线问题A,B, C 三点共线等价于 与AC 共线设OA 2,4,OB a,2,OC b,0, a0,b0,O 为坐标原点,如 A,B,C 三点共线,就 a1 b的最小值为 _11解析法 坐标法 在向量中的应用典例12 分给定两个长度为1 的平面对量 OA 和OB ,它们的夹角为 2 3 .如下列图, 点 C 在以名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - O 为圆心的 AB 上运动如 OC xOA yOB ,其中 x,y

9、R,求 xy 的最大值思维点拨可以建立平面直角坐标系,将向量坐标化,求出点A,B 的坐标,用三角函数表示出点 C 的坐标,最终转化为三角函数求最值规范解答解 以 O 为坐标原点, OA 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,如下列图,就1 3A1,0,B2,2 4 分 2设 AOC0,3 , 就 Ccos ,sin ,由OC xOA yOB ,得cos x1 2y,然后用三角函数的知 表达明白析法 坐标法 sin 3 2 y,所以 x cos 3 3 sin ,y2 3 3 sin ,8 分所以 x ycos 3sin 2sin 6,10 分 又 0,2 3 ,所以当 3时, xy 取得最大

10、值2.12 分温馨提示此题第一通过建立平面直角坐标系,引入向量的坐标运算,识求出 xy 的最大值 引入向量的坐标运算使得此题比较简单解决,解决问题的优势,凸显出了向量的代数特点,为用代数的方法讨论向量问题奠定了基础方法与技巧 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1平面对量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法就,将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法就是运算的关键2依据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值失误与防范 1要区分点的坐标和向量的坐标,向量坐标中包含

11、向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情形名师归纳总结 2如 ax1,y1,bx2,y2,就 a b 的充要条件不能表示成x1 x2y1 y2,由于 x2,y2有可能第 6 页,共 11 页等于 0,所以应表示为x1y2x2y1 0.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案解析基础学问 自主学习学问梳理1不共线有且只有1e12e2基底x2 1y221 x1x2,y1y2x1x2,y1y2 x1, y12x2x1,y2y1x2x1 2 y2y1 23x1y2x2y10摸索辨析1234 5考点自测1A122解析 由已知条件可得 ma nb2

12、m,3mn,2n2mn,3m2n,a2b2,32,42mn 3m2n m 14, 1 manb 与 a2b 共线, 41,即 n2m12m8n,n2.33, 5解析AB BC AC ,BC AC AB 1, 1,BD AD AB BC AB 3, 54.1 2解析a b, sin 2 1cos20,2sin cos cos20,0 2, cos 0,2sin cos ,tan 1 2.51,5名师归纳总结 解析设 Dx,y,就由 AB DC ,得 4,15x,6y,第 7 页,共 11 页即45 x,解得x1,16 y,y5.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

13、- - 题型分类 深度剖析例 11D2 3 11CAAN解析1由于 ABAN NBANCNAN2AN CM MA 2AN 1 4AB AM ,所以 AB 8 5AN 4 5AM ,所以 4 5.2设BP kBN ,kR.由于 AP AB BP AB kBNABkAN AB AB1k 4ACAB 1kABk4AC,且AP mAB 11AC 2 ,所以 1 km,k 42 11,解得 k8 11,m3 11.跟踪训练 112 3e15 12e2 21 4a3 4b解析1如图, MN CN CMCN 2BM CN 2 3BC1 4AC 2 3AC AB 1 4e22 3e2e12 3e15 12e2

14、.2AD AB BD AB 34BC名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - AB 3 4AC AB 1 4AB 34AC名师归纳总结 1 4a3 4b.第 9 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 21D2 3 5, 4解析 1由已知 3c a2b5,28, 613, 4所以 c 13 3, 4 3 .2A B O BO A4, 11,3 3, 4,与 A B同方向的单位向量为|A B A B|35,45 .跟踪训练 2 1D 2B解析 1设点 B 的坐标为 x,

15、y,就 ABx1,y5x16,x5,由AB 3a,得 解得y59,y14.2BC 3PC 32PQ PA 6PQ 3PA 6,30 12,9 6,21例 3 14, 8 22,4解析 1由 a1,2, b2, m,且 a b,得 1 m2 2,即 m 4.从而 b 2, 4,那么 2a3b21,23 2, 44, 82在梯形 ABCD 中, AB CD,DC 2AB,DC 2AB .设点 D 的坐标为 x,y,就DC4,2 x, y 4x,2y,AB2,11,2 1, 1,4x,2y21, 1,即 4x,2y2, 2,名师归纳总结 4x2,解得x2,故点 D 的坐标为 2,4第 10 页,共

16、11 页2y 2,y4,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 45 4解析 a1,3,AC 3,4依据题意 AB AC,4a13 3,即 4a 5,a5 4.例 5 3,3解析 方法一 由 O,P, B 三点共线,可设 4,4,就AP OP OA 44,4又ACOCOA 2,6,由 AP 与 AC 共线,得 44 64 20,解得 34,所以 OP 34OB 3,3 ,所以点 P 的坐标为 3,3方法二 设点 Px,y,就 OPx,y,由于 OB4,4,且 OP 与OB 共线,x y所以 44,即 xy.又APx4,y,AC2,6,且 AP 与AC 共线,所以 x 4 6y 20,解得 xy3,所以点 P 的坐标为 3,3名师归纳总结 跟踪训练 33 2 2 2第 11 页,共 11 页解析由题意得 ABa2, 2,ACb2, 4,又AB AC ,所以 a2, 2b2, 4,a2 b2 ,即2 4,整理得 2a b2,所以1 a1 b1 22ab1 a1 b1 232a bb a1 2322a bb a32 2当且仅当b2a 时,等号成立 2- - - - - - -