2022年小学数学奥林匹克竞赛容斥原理.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本容斥原理（二）【例题分析】例 1. 有 25 人参与跳远达标赛,每人跳三次,每人至少有一次达到优秀；第一次达到优秀的有 10 人,其次次达到优秀的有13 人,第三次达到优秀的有15 人,三次都达到优秀的只有 1 人；只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“ 每人至少有一次达到优秀” 说明没有三次都没达到优秀的；要求只有两次达到优秀的人数,就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）；一次 二次10人 13人1人15人三次25人101315251211（人）答：只有两次达到优秀的有 11 人；例 2. 在一个酷热的夏日,几个

2、小伴侣去冷饮店,每人至少要了一样冷饮,其中有 6 人要了冰棍, 6 人要了汽水, 4 人要了雪碧,只要冰棍和汽水的有3 人,只要冰棍和雪碧的没有,只要汽水和雪碧的有1 人；三样都要的有1 人；问：共有几个小伴侣去了冷饮店？分析与解：依据题意画图；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本冰 汽雪6031614.人方法一： 66431 01 11 110（人）方法二： 664311210 （人）答：共有 10 个小伴侣去了冷饮店；例 3. 有 28 人参与田径运动会,每人至少参与两项竞赛；已知有

3、8 人没参与跑的项目,参与投掷项目的人数与参与跑和跳两项的人数都是 多少人？17 人；问：只参与跑和投掷两项的有分析与解：“ 每人至少参与两项竞赛” 说明没有不参与的,也没有参与一项竞赛的,名师归纳总结 我们可以在下图中参与一项的区域用0 表示；第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本跑 跳281783 （人）投0？080答：只参与跑和投掷两项的有 3 人；例 4. 某校六年级二班有 49 人参与了数学、英语、语文学习小组,其中数学有 30 人参加,英语有 20 人参与,语文小组有 10 人；老师告知同学既

4、参与数学小组又参与语文小组的有 3 人,既参与数学又参与英语和既参与英语又参与语文的人数均为质数,而三种全参加的只有 1 人,求既参与英语又参与数学小组的人数；分析与解：依据已知条件画出图；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本数 英303质质20语11049人三圆盖住的总体为49 人,假设既参与数学又参与英语的有x 人,既参与语文又参与英语的有 y 人,可以列出这样的方程：30 20 10 x y 3 1 49整理后得： x y 9由于 x、y 均为质数,因而这两个质数中必有一个偶质数 2

5、,另一个质数为 7；答：既参与英语又参与数学小组的为 2 人或 7 人；例 5. 某班同学参与升学考试,得满分的人数如下：数学 20 人,语文 20 人,英语 20 人,数学、英语两科满分者 8 人,数学、语文两科满分者 7 人,语文、英语两科满分者 9 人,三科都没得满分者 3 人；问这个班最多多少人？最少多少人？分析与解：依据题意画图；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本数语设三科都得满分者为x 英2087920320全班人数 20 20 20 7 8 9 x 3整理后：全班人数39x

6、 39+x 表示全班人数,当 x 取最大值时,全班人数就最多,当 x 取最小值时,全班人数就最少； x 是数学、语文、英语三科都得满分的同学,因而x 中的人数肯定不超过两科得满分的人数, 即 x7,x8且 x9 ,由此我们得到x7 ；另一方面 x 最小可能是0,即没有三科都得满分的；当 x 取最大值 7 时,全班有39746 人,当 x 取最小值 0 时,全班有 39039人；答：这个班最多有46 人,最少有39 人；【模拟试题】 （答题时间： 30 分钟）1. 六年级共有96 人,两种刊物每人至少订其中一种,有2的人订少年报,有1的32人订数学报,两种刊物都订的有多少人？2. 小明和小龙两家

7、合住一套房子,门厅、厨房和厕所为公用,在登记住房面积时,两家 登记表如下表（单位：平方米）名师归纳总结 姓名居室门厅厨房厕所总面积第 5 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本小明14 12 8 4 38 小龙20 12 8 4 44 他们住的一套房子共有多少平方米？3. 某班 45 名同学参与体育测试,其中百米得优者 20 人,跳远得优者 18 人,又知百米、跳远都得优者 7 人,跳高、百米得优者 6 人,跳高、跳远均得优者 8 人,跳高得优者 22人,全班只有 1 名同学各项都没达优秀,求三项都是优秀的人数；

8、4. 某班四年级时,五年级时和六年级时分别评出10 名三好同学,又知四、五年级连续三好生 4 人,五、 六年级连续三好生3 人,四年级、 六年级两年评上三好生的有5 人, 四、五、六三年没评过三好生的有20 人,问这个班最多有多少名同学,最少有多少名同学？名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本【试题答案】1. 六年级共有96 人,两种刊物每人至少订其中一种,有2的人订少年报,有1的32人订数学报,两种刊物都订的有多少人？9629619616人32或96211 16 人32答：两种刊物都订的有

9、16 人；2. 小明和小龙两家合住一套房子,门厅、厨房和厕所为公用,在登记住房面积时,两家登记表如下表（单位：平方米）姓名居室门厅厨房厕所总面积小明14 12 8 4 38 小龙20 12 8 4 44 他们住的一套房子共有多少平方米？38 44 12 8 4 58 平方米 或 20 14 12 8 4 58 平方米 答：这套房子共有 58 平方米；3. 某班 45 名同学参与体育测试,其中百米得优者 20 人,跳远得优者 18 人,又知百米、跳远都得优者 7 人,跳高、百米得优者 6 人,跳高、跳远均得优者 8 人,跳高得优者 22人,全班只有 1 名同学各项都没达优秀,求三项都是优秀的人数

10、；4 5 1 4 4 人 2 0 1 8 2 2 7 6 8 3 9 人 44 39 5 人 4. 某班四年级时,五年级时和六年级时分别评出10 名三好同学,又知四、五年级连续三好生 4 人,五、 六年级连续三好生3 人,四年级、 六年级两年评上三好生的有5 人, 四、五、六三年没评过三好生的有20 人,问这个班最多有多少名同学,最少有多少名同学？设三年连续三好生人数为4x 人x20全班人数10353 名师归纳总结 全班人数38x第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本x 最大是 3,最小是 0 名师归纳总结 所以这个班最多有38341名同学,最少有38038 名同学；第 8 页,共 8 页- - - - - - -