2022年平面向量空间向量知识点.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平面对量2.1.1、向量的物理背景与概念1、 明白四种常见向量：力、位移、速度、加速度 . 2、 既有大小又有方向的量叫做 向量 . 2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做 有向线段 ,有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 . 2、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度（或称 模）,记作 AB ；长度为零的向量叫做 零向量 ；长度等于 1 个单位的向量叫做 单位向量 . 3、 方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行 . 2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等

2、且方向相同的向量叫做 相等向量 . 2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法就和平行四边形加法法就. 2、abab. 2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量 . 2、 三角形减法法就 和平行四边形减法法就 . 2.2.3、向量数乘运算及其几何意义名师归纳总结 1、 规定：实数与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘 .记作：a ,它的长度第 1 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载和方向规定如下：aa, a 的方向与 a 的方向相同；当0时, a

3、 的方向与 a 的方向相反 . a. 当0 时, 2、 平面对量共线定理：向量aa0与 b共线,当且仅当有唯独一个实数,使b2.3.1、平面对量基本定理1、 平面对量基本定理：假如 e 1,e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a ,有且只有一对实数 1, 2,使 a 1 e 1 2 e 2 . 2.3.2、平面对量的正交分解及坐标表示1、aixyjx ,y. 2.3.3、平面对量的坐标运算1、 设ax 1,y 1,bx 2,y 2,就：abx 1x2,y 1y2,abx 1x 2,y 1y2,ax 1, y 1,a/bx 1y2x 2y 1. 2、 设Ax 1,y

4、 1,Bx 2,y2,就：ABx 2x 1,y2y 1. 2.3.4、平面对量共线的坐标表示1、设Ax 1,y 1,Bx2,y2,Cx3,y3,就. 线段 AB 中点坐标为x 1x 2,y 1y 2,22 ABC 的重心坐标为x 1x2x 3,y 1y 2y 3332.4.1、平面对量数量积的物理背景及其含义名师归纳总结 1、ababcos. acos. 第 2 页,共 7 页2、 a 在 b 方向上的投影为：3、a2a2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、aa2. 学习必备欢迎下载5、abab0. 2.4.2、平面对量数量积的坐标表示、模、夹角

5、1、 设ax 1,y 1,bx 2,y 2,就：0abx 1x2y 1y 2x x 1 2y y 1 2a2 x 1y21aba b0a/ /babx y 1 2x y 2 102、 设Ax 1,y 1,Bx 2,y2,就：ABx2x 12y2y12. 3、 两向量的夹角公式c o sa b2 x 1x x 2y y 2y22a by2 1x224、点的平移公式平移前的点为P x y , （原坐标） ,平移后的对应点为Px y（新坐标） ,平移向量为PP , h k ,就xxh.yykykf xh .函数yf x 的图像按向量a , h k 平移后的图像的解析式为2.5.1、平面几何中的向量方

6、法2.5.2、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的很多学问可由平面对量的学问类比而得 值的应用进行总结归纳 . 1、直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量：.下面对空间向量在立体几何中证明,求名师归纳总结 如 A 、B 是直线 l 上的任意两点,就AB 为直线 l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 零向量也是直线l 的方向向量 . 学习必备欢迎下载平面的法向量：如向量 n 所在直线垂直于平面,就称这个向量垂直于平面,记作 n,假如 n,那么向量 n 叫做平面的法向量 . 平面的法向量的

7、求法（待定系数法） ： 建立适当的坐标系设平面的法向量为n , , x y z . a a 2,a 3,bb b b 3求出平面内两个不共线向量的坐标a依据法向量定义建立方程组n a0n b0的法向量 . 解方程组,取其中一组解,即得平面（如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系 线线平行设直线l1,l 的方向向量分别是a、 ,就要证明1l 2l ,只需证明 a b ,即akb kR . 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线；线面平行即（法一）设直线 l 的方向向量是a ,平面的法向量是 u ,就要证明 l ,只需证明 au ,a u0. 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量

8、垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方 向向量是共线向量即可 . 面面平行如平面的法向量为 u ,平面的法向量为 v ,要证,只需证 u v ,即证 uv . 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线；3、用向量方法判定空间的垂直关系 线线垂直设直线l1,l 的方向向量分别是a b、 ,就要证明l1l ,只需证明 ab ,即a b0. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直；线面垂直名师归纳总结 （法一）设直线 l 的方向向量是a ,平面的法向量是 u ,就要证明 l,只需证明 a u ,第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习

9、资料 - - - - - - - - - 即 au . 学习必备欢迎下载（法二）设直线 l的方向向量是 a ,平面 内的两个相交向量分别为 m、 ,如a m 0, 就 l .a n 0即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直；面面垂直如平面的法向量为 u ,平面的法向量为 v ,要证,只需证 uv ,即证u v0. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直；4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知a b 为两异面直线,A,C 与 B,D 分别是a b 上的任意两点,a b 所成的角为,就 cosAC BD.AC BD求直线和平面所成的

10、角定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角求法： 设直线 l 的方向向量为 a ,平面 的法向量为 u ,直线与平面所成的角为, a 与u 的夹角为,就 为 的余角或 的补角的余角 .即有：s incosa u.a u求二面角定义： 平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面；从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面线二面角的平面角是指在二面角ll的棱上任取一点O,分别在两个半平面内作射AOl,BOl,就AOB 为二面角的平面角 . 如图：名师归纳总结 求法： 设二面角A B l

11、 m、 ,再设 m、 的夹角为,第 5 页,共 7 页O O B A 的两个半平面的法向量分别为l- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二面角l的平面角为学习必备欢迎下载或其补角.,就二面角为 m、 的夹角依据详细图形确定是锐角或是钝角：m n,即arccosm n. 假如是锐角,就 coscosm nm n即arccosm n；m n假如是钝角,就 coscosm nm n5、利用法向量求空间距离 点 Q 到直线 l 距离 如 Q 为直线 l 外的一点 , P 在直线 l 上, a 为直线 l 的方向向量, b = PQ ,就点 Q 到直线 l 距离为h

12、|1|a|b|2a b2. a点 A 到平面的距离如点 P 为平面外一点,点M 为平面内任一点,平面的法向量为 n ,就 P 到平面的距离就等于MP 在法向量 n 方向上的投影的肯定值即dMPcosn MPMPn MPn MPn MPn直线 a 与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等；由此可知,直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离；即dn MP n.两平行平面,之间的距离利用两平行平面间的距离到处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离；即dn MP.n异面直线间的距离设向量 n 与两异面直线a b 都垂直,Ma Pb 就两

13、异面直线a b 间的距离 d 就是 MP在向量 n 方向上投影的肯定值；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即dn MP.学习必备欢迎下载n6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线,假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也POa和这条斜线垂直PO,O推理模式：PAAaPAa,aOAA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线,假如和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直名师归纳总结 PO,O第 7 页,共 7 页推理模式：PAAaAOa,aAP概括为：垂直于

14、斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理设 AC 是平面内的任一条直线, AD 是的一条斜线AB 在内的射影, 且 BD AD ,垂足为 D.设 AB 与AD 所成的角为1, AD 与 AC 所成的角为2, AB 与 AC 所成的角为就coscos1cos2. BA1D28、 面积射影定理C已知平面内一个多边形的面积为S S原,它在平面内的射影图形的面积为S S射,平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角,就c o s SS 射=S 原.S9、一个结论长度为 l 的线段在三条两两相互垂直的直线上的射影长分别为l1、 、2l3,夹角分别为1、2、3,就有l2l2l2l22 cos12 cos22 cos311232 si n12 si n22 si n. 2（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. - - - - - - -