2022年小学数学教师业务学习材料.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学校数学老师业务学习材料（请各校印发给数学老师学习）聚焦学校数学系列一：学校数学要留意长远与长效从整体上把握学校数学,着眼点很多；要想理出头绪、抓住重点,最重要；放眼长远是核心“ 放眼长远、留意长效”长远是就目标而言；无论一个人长大以后在不在数学领域内学习或工作,通过数学学习习 得的解决问题策略、思维方式、思想方法及运用工具的才能都将发挥重要作用；学校数学课程 虽然与高考、就业一类的目标相距尚远,但却是整个基础训练数学课程最重要的部分；因此,学校数学训练应当具有立足长远、放眼长远的功能；然而,现实情形不容乐观；应试训练的负面作用挥之不去,以缺少

2、节制的“ 又对、又快、又准” 为标志的评判体系,仍在压抑着同学本应朝气蓬勃的活力；数学多半只在考试中露峥嵘,生活里看不到,工作中用不上,一旦不用考了便会就此再见；这样的数学谈何长远？毫无疑问,数学大有用场；但数学训练有没有长远眼光将取决于：我们是不是为孩子供应 了培育爱好、应用、应变、自信、求实、责任、想象和制造的环境；我们是不是摆脱了题型教 育、考试训练的束缚,是不是给过孩子自己足够的空间,让他们能够独立地去想一想、试一试,而不是完全依据老师的懂得,或是书本上的某个模式去照抄照搬；这些都关乎同学“ 终身学习 的愿望和才能”；数学训练是数学的训练,离不开作为科学的数学；不少前辈一再强调,学数学

3、就要坐得住 冷凳子,就要经得起枯燥和抽象的考查；这对专业数学工作者毋庸置疑,但将这样的主见贯之 于学校就基本是谬误；板着面孔、与枯燥孤寂相伴的数学难以走进孩子的心灵；留意长效是关键 学校数学的长远目标能否落实,关键是要为长效供应支撑；有效教学是学校数学训练争论特殊热衷的课题；有效教学指教学的结果与预期的教学目标 匹配程度高；需要留意的是,“ 有效” 有长、短之分；简洁地说,管长远、能一生受用的成效就 是长效；管眼前、管特殊技能形成的就是短效；依时间考量,长效要长期积存,难于一蹴而就；短效可立竿见影,易在一节课内形成；同时,眼前和长远相互依靠,缺一不行；那短效与长效之间的关系是怎样的呢？一方面,

4、没有一次次短效的磨炼和积存,长效难以 形成；另一方面,某些需要通过高强度、高密度训练才能记住并把握的定义、定理、公式、算 法,注定在人们心里留存的时间不会太久；白天学过的内容,晚上没带书可能就想不起来；然 而,探究、发觉这些定义、定理、公式和算法的过程中形成的积淀,运用这些定义、定理、公 式和算法解决实际问题的体会和体会倒可能会长远留存；这样的经受多了,积存也就多了,不 经意间,往往形成了一些相对稳固的与数学有关的见解,或者说是思路；这些都能长期地驻留 在同学心中,并能在一生的学习、生活和职业生涯中派上用场,成为个人进展的重要支撑点；因此,漠视“ 探究发觉那些定义、定理、公式和算法的过程” 的

5、数学教学,收成的多半是短效,而得来得快、忘得也快的教学大体上是无效的；因此,短效虽然易得,但长效更是关键,短效要为长效服务,要以长效为目标；一方面把“ 过程与方法”、“ 情感、态度与价值观” 实实在在地纳入有效教学的视野；同时,对以密集型、机械性、速率式、硬指标为特点的教学策略要有个清醒的熟识；练就留意长效的“ 独门功夫”举“ 测量” 为例；当同学熟识了角之后,面对形形色色、五花八门的角,比较大小的问题 随之浮出水面,测量成为定量熟识角的主题,包括单位和实测两层含义；一是“ 单位”,也就是 大家都认可的度量单位；学校阶段“ 单位” 的重心在懂得和详细感受单位的实际意义,像掂一掂 500 克一袋

6、的盐、摸一摸0.4 平方米的桌面有多大,量量自己有多高,等等；这些看上去没什么“ 数学味儿” 的举动,都是感受和懂得单位时不行或缺的尝试；更重要的是,单位本身是 规定的结果；公度的必要性和规定性源自人类通过不同途径,长期摸索之后形成的共识,是人名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 类的共同语言；对同学来说,这里有很大的争论、活动和探究空间；在教学上下点功夫,能帮 助同学熟识单位的标准作用和平台作用,懂得个别和一般的关系,知道如何在估量与精确之间 作出挑选,逐步熟识到数学为什么需要抽象,等等,而这些都有助于同学接近和发觉

7、数学的本 质,都与长效联系在一起；二是“ 量”,即如何实测的问题；教学的重心应当从同学自己的体会 动身,从“ 真刀真枪” 的问题开头,通过勉励同学使用自创的工具和单位,逐步导向规范的工 具和单位,引导同学多角度摸索测量的方法,逐步从不那么正规的测量单位和方法一步步接近 直至能够达到科学的测量；测量课应当是用一连串的“ 为什么” 串起来的“ 发觉” 课,每个结 论的得出都应当相伴着同学自己的发觉、归纳与整理；同学不仅要知道如何量,仍要知道量的 方法从哪里来,知道书本上的测量对象和生活中的测量对象的关系,知道测量的意义；假如学校阶段仅仅把测量处理成照本宣科的技能教学,只是实行多快好省、照抄照搬、纸

8、 上谈兵的方式灌输和训练,就可能铺张了这一题材的训练价值；假如由于测量不是考试中的重 头戏而在教学上敷衍了事,结果就更可怕；同学对数学越来越明显地敬而远之,学习数学的目 的越来越趋于实际,多半与此有关；学校阶段的测量,不是单纯的技能培育与训练,而是一块为同学探究与发觉预备的沃土；它供应应同学通过自己的眼和手去发觉与熟识世界的机会,它能自然地沟通过程与结果之间的 联系,能把同学探究的目光从书本、教室引向生活、社会,能为同学供应实实在在的动手机会,让他们“ 真刀真枪” 地解决几个真正的问题；不仅是测量,学校数学课程中的很多技能,多半 会随着儿童的成长淡淡隐去,而相伴着一连串“ 为什么” 发觉的规律

9、、道理和方法倒有可能长 久留存,成为相伴同学一生的本事；放眼长远、留意长效能否在教学中得到表达,关系到新课程推动的质量；当前数学教学中 哪些是要改的,哪些是值得留的,哪些是该适可而止的,哪些是该着力推动的,这一切都将建 基于老师的学问和视野,打算着新课程的主见能否践行；2022 年 2 月 13 日第 5 版 原文载中国训练报聚焦学校数学系列二：别让数学教学沦为解题教学实际教学中,数学教学目标常常被简洁地懂得为数学学问的把握；以学问把握的数量和牢 固程度作为唯独标准的教学评判,引导着师生对学问的单一追求；为了便于同学懂得和接受,抽象、严谨且具有广泛应用性的数学学问常常被老师们分解为一道道数学题

10、,解题成了数学教 学活动的重要组成部分,引导同学解题成了数学教学的一种重要形式和手段；理论上,全部人都知道数学的教学目标是多元的,远不只是把握学问和解题那么简洁；然 而,详细到教学一线,老师们总期望能抓住一些有形的、易于测量的东西来操作；于是,解题 成了一线老师教学评判的抓手；的确,面对一道数学题,同学能否调用相关的数学学问来解决,可以折射出同学相关数学学问的把握情形；同学能敏捷调用数学学问来解决相关的问题,也表 现为数学才能；于是,解题就成了老师衡量同学学习水平的重要标尺,学校也通过编写试卷,让同学解答批量的数学题来出现同学的学习状况,明白、检验老师的教学；说到底,仍是评判的导向在起打算作用

11、；假如高考的影响力及其指挥棒的作用、考试评判 的方式一天不转变,老师和同学们追赶成果、把解题才能当作数学教学最高目标的现状也将很 难转变；华罗庚说过： “ 学数学不做题目,等于入宝山而空返；” 这说明,数学教学离不开解题,但 是解题只能作为数学学习的重要途径,而不是数学学习活动的全部；数学教学对解题的依存关 系表现为：数学学习过程需要解题这一重要的手段；解题作为数学学习过程的重要手段,其作用可以 归结为以下几点：第一,解题过程引导同学规律摸索；很多数学学问之间的关系特别严谨,知 识的起源、熟识、懂得和把握包蕴着严谨的推理、推断过程；这一过程往往是通过解决一个个 数学问题来完成的；数学解题过程是

12、如干数学学问的综合调用和一系列规律推理的组合,是一 项重要的数学思维活动；所以数学解题过程成了数学学习活动的重要组成,成了一次次规律推 证的过程；其次,解题是引导同学有步骤地走进数学的过程；数学学问本身是一个规律链,数名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学学问被分解为一系列相关联的问题,数学教学就是通过这些问题串,以旧引新,层层深化,引导同学逐步走进数学的内核；再其次,数学问题直接挑战同学的聪明；数学学问以问题的形 式出现,在解题过程中同学第一要直面问题,有价值的数学问题能很好地挑战同学的聪明、激 活同学的思维,更大

13、限度地激发同学的制造潜能；解题不能精确地反映同学的全部学习状况；解题的过程受各种因素的影响,同学在解题过 程中的表现也可能是片面的,只能反映同学数学学习的部分情形；人们对学问调用的速度和思 维的敏捷度与心情好坏、留意力集中程度等都有亲密的关系；解题也会受题目质量的影响,如 问题的出现方式、表达习惯、定位的明显程度；个人的体会和成长历程以及对问题及其情境的 熟识程度,也打算个人对问题的适应性和感受性；很多老师要求同学“ 多做题”,认为多做题目 就增长了学问；正是这种“ 一回生,二回熟” 的信念,造成了对解题结果的过分追求,对提高 解题才能手段的过度争论,使得解题成了操练的工具,解题也因此失去了出

14、现同学真实学习水 平的意义；精确把握数学教学的目标与价值；数学作为一种普遍适用的技术,有助于人们收集、整理、描述信息,建立数学模型,进而解决问题,直接为社会制造价值；学习数学的重要目的是接受 数学思想、数学精神的熏陶,提高自身的思维品质和科学素养；这需要每一位老师精确地把握 数学教学的目标与价值,让数学课堂教学成为学习者思维活动沟通的过程；充分发挥解题教学在数学教学中的功能；要想让数学教学不沦为解题的教学,就要帮忙教 师正确定位解题在数学教学中的意义和作用；一是要挑选有教学价值的典型问题；二是要把问 题的教学价值发挥到极致；充分挖掘问题的教学价值,适当支配时机发挥题目资源的效用,尽 可能一题多

15、用；三是在评判解题时,把通法（一般的一般方法）放在第一位,不一味追求速度 或技巧；四是要关注解题过程反馈的价值信息；在关注解题结果的同时,考虑给过程分,关注 解题过程中的各种表现,收集有效信息,帮忙诊断教学,发觉、利用有价值的教学资源；一方 面引导同学重视解题过程,另一方面提示老师从过程中收成信息的教学价值更甚于结果；老师 应答应同学采纳不同的思路,勉励同学大胆发表见解,老师在懂得的基础上应敬重各种合理的 解题思路,并给出中肯的评判；五是要重视解题后的反思；解题过程中的试误过程和胜利体会 都值得反思；回忆自己如何经受“ 山穷水尽疑无路”,又如何达到“ 柳暗花明又一村” 的境地,分析解题过程给带

16、来的熟识上的得与失；这些收成不亚于题目本身带给我们的价值；在数学学习中,我们既要扎扎实实地学好数学学问和技能,又要坚固地把握数学思想和方 法,而且要能敏捷应用数学学问和技能解决实际问题；学习数学需要解题,但不取决于解题的 多少,而在于解题前的分析、探究和解题后的反思；我们要让同学要成为解题的主人,要从解 题中吸取解题的方法、思想,锤炼思维；中国训练报2022 年 2 月 13 日第 6 版聚焦学校数学系列三：什么是真正“ 用教材教”“ 用教材教” 时下已成为老师们常常挂在嘴边的一句话；“ 教教材” 与“ 用教材教” 在语意 上并无多大差别,但“ 用教材教” 反映了教材观的转变,即视教材为主要的

17、课程资源、教学线 索,激活了老师的专业自主性,让老师以教材开发者的姿势,将个人特质、教学体会、教学才 能融入到对教材的加工、改造之中；历史地看,过去我们也反对比本宣科,追求用活教材,现在提倡“ 用教材教”,似乎是旧话 重提,但其中的必要性却不容小视；社会与训练的进展在为教学供应新条件的同时,也对教学 提出了更高的要求；要求教学更加关注同学的个性进展,要求教材多样化,要求教学手段不再 只是一张嘴巴、一支粉笔；因此,传统的话题势必会在新的历史条件下,寻求新的诠释与表达；目前,有种观点认为, “ 教教材” 与“ 用教材教” 是老师教学水平提高的两个阶段；论据一 是目前尚有不少老师的教学连忠实执行教材

18、仍没做到,论据二是“ 教教材” 要作为“ 用教材教”的基础；这样的看法有肯定的道理；但需要明确的是,它只是举出了特定背景下的真实个案,名师归纳总结 不能据此认为它就概括出了老师提升教学水平的一般规律；同时,我们也的确应当先深化教材,第 3 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 再跳出教材,否就难免会显现对教材的误读和背离；事实上,要有效地用教材教,除了正确懂得、精确把握教材之外,仍必需深化分析同学的 学习特点,明白他们的真实情形；教材再好,通常也只能依据一般情形为教与学供应一个思路 和一种设计方案,不行能完全适应每个学校、每个班级、每个同学

19、的详细情形；用教材教,要 求老师具备解读教材、解读同学的聪明；解读教材、解读同学与加工教材,都可以在备课过程 中,即在课前一次完成,实际的备课过程,也常常是将三者结合起来进行的；不能由于它们需 要分别绽开争论,就听任目前的教学停留在“ 教教材” 的水平上；同时,对三者的钻研应当是 老师永无止境的追求,都有待深化,需要体会的逐步累积,不必人为地限定先熟识教材、教教 材,再加工教材、用教材教这样的阶段；任何时候,调整、加工教材都是老师的权益,也是教 师备课的内容之一；如何“ 用教材教” ？需要探讨和解决的问题很多；这里笔者仅就使用新教材以来老师在课 前预设环节遇到的一些问题进行争论；复习铺垫的设计

20、；现在新编的教材,基本上不再显现新学问前的复习、预备或过渡内容；以致有老师问：是不是数学课堂上不要需要复习环节了？教材直接以问题开头,有利于扩大思维和探究空间,有利于同学问题意识的培育；在这个 过程中,同学在新问题的基础上联想回忆出已学学问；当然,假如同学自己联想有关学问有困 难,或者显现夹生、遗忘现象,老师先行组织复习也是可取的；新授前设置复习、预备环节的初衷,一是为了通过再现激活同学头脑中已有的相关学问；二是为探究铺设台阶,分散新授的难点；第一点无可厚非,问题在于其次点；以往的课堂教学 实践中,老师常常铺垫示意过度,或者人为地设置了一条狭窄的思维通道,同学无须探究,或 稍加尝试,结论就出来

21、了；这明显不利于同学主动学习才能的进展；但我们也不必就此因噎废 食；应当承认,这类教学铺垫有很多合理的成分；比如,教循环小数前,很多老师喜爱先以同学熟知的一年四季周而复始的实例,让同学感 知“ 依次不断重复显现” 的周期现象,以此作为同化新学问的认知框架；有了这一铺垫,原本 很抽象的循环小数,通过同学自发的类比,大大降低了懂得的难度；教学手段的挑选；一般认为, 挑选教学手段的依据是教学内容、同学以及老师自身的特点；除此之外,仍应考虑什么？以教学长方体的熟识为例；现在多数教材供应的现实模型是城市建筑、冰箱、纸盒等图片,人民训练出版社的教材考虑到农村和边远地区,给出的素材里仍有长城的图片和其中一块

22、放大 了的砖；老师可以挑选一个或几个实物抽象出长方体的图形,并进一步介绍长方体的面、棱和 顶点等；目前在有条件的学校,老师大多采纳多媒体课件演示长方体的外形；此外,仍能挑选 什么教学手段呢？30 年前笔者在江西教学时,曾用当地的白萝卜作为教具；在东北,老师的创 意是让同学用小刀削土豆；在上海,老师们让同学用小刀削橡皮泥；这不正是因地制宜挑选教 学手段最生动的诠释吗？巩固练习的补充；常常听到老师埋怨新教材配备的练习偏少；不行否认,教材需要修改、完善,但教材不是题库,面对减轻学习负担的社会诉求,教材中的习题必需严格精选；因此,即便改进之后, 仍会众口难调； 比如 20 以内退位减法, 可以用 “

23、破十法” ,也可以用 “ 连减法” ；诸如此类的针对性练习,教材难以一一供应,只能由老师为同学“ 量身定制”,自行补充,当然 教学参考书可以也应当赐予提示；此外,同学的学习有缺漏必需补偿,同时要满意学有余力的同学爱好拓展和提高的需求,老师适当的增补练习,也是因材施教的内涵之一；另外,一些乡土素材、社会时事、学校正在 开展的活动,等等,都可以用来编成数学的实际问题,使数学应用练习更贴近同学的生活和时 代的脉搏；中国训练报2022 年 2 月 20 日 5 版聚焦学校数学系列四：什么才是有效的开放新一轮课程改革提出了自主、探究、合作、生活数学、信息技术、算法多样化等一系列新名师归纳总结 - - -

24、 - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名词,这些都表达出开放的教学内容、教学方式和教学理念；在过去的探究中,我们既显现了 小组围坐其乐融融、合作沟通热喧闹闹、动手操作红红火火的景象,也显现了因沟通挤掉同学 独立摸索的时间,因空间开放未能完成当堂练习的现象；于是,有人开头怀疑开放的教学是否 影响学习效率,甚至开头怀念传统教学中环环相扣的高效率、高质量；开放的教学过程转变了传统封闭式教学中“ 把信息从一个地方传递到另一个地方” 的单向过程,使教学沟通更加多元、立体,更能促进同学充分、全面地进展；封闭式教学追求的是让 同学在有限的时间内把握更多的学

25、问,而开放式教学的价值取向就在于追求自主与创新；应当说,开放与封闭、有效与无效是不同维度的对立面,假如我们将这两组冲突各为横轴、纵轴的话,会显现“ 有效的开放”、“ 无效的开放”、“ 有效的封闭”、“ 无效的封闭” 这四个象限,以自主学习、合作学习为主要方式的开放式教学和以讲授式为主要方式的封闭式教学都存在着有效 和无效的问题；值得摸索的是：何谓有效的开放？特级老师魏洁谈到她在美国听的一节学校六年级的方程课：上课开头, 老师在黑板上写出：x,未作任何示意,只给同学们供应一些方格纸、小方块和白纸,让孩子们解答；有的 孩子左边摆 3 个方块、右边摆 5 个方块,然后从 5 个方块中挪出 3 个,找

26、到了答案“ ”；有的 孩子借助方格纸, 先画 5 个方格, 再圈掉其中的 3 个,找到了答案； 有的孩子直接在等式的“ 5”上写了“3” 并做了一个删除的记号,虽然没有规范的格式,但是他也开心地找到了答案；仍有 一类孩子,想不到任何方法,就伸长了脖子看四周的同伴在忙什么,看看用方格的,似乎不能 懂得,于是就挑选了一个用方块的作为学习对象；人家怎么做,他就怎么做；等到孩子们全部 完成后,老师组织全班同学进行了沟通；接着,没有任何的说明和总结,写出其次题：-,让孩子们自己做；有意思的是,第四类孩子这时也跟着他的学习对象改用方格来帮忙解决 问题了； 更有意思的是, 课后魏老师采访了这个孩子,问他：“

27、 会了吗？”孩子兴奋地回答： “ 会了！” 再问：“ 过两天仍记得吗？” 孩子回答：“ 确定忘了； ” 追问：“ 那你怎么办？” 孩子很爽快 地指指小组的伙伴： “ 有他！” 这是典型的美国课堂,或许正是不少人认为低效的课堂；折腾了一节课,同学连基本的解方程格式都不会；但这类“ 低效” 课堂何以受到美国老师的青睐？国 际相关的比较争论提示我们,我们的孩子在解决封闭性问题时,往往强于美国同学,而在解决 开放性的实际问题时,美国同学却表现出较明显的优势；训练家波兰尼有个观点说,显性学问只是冰山的一角,而缄默学问就是隐匿在冰山底部的大部分；缄默学问只有通过个体的实践与体悟才能获得；如此说来,看似松散

28、的同学探求解决办 法的过程,也正是他们进行底部积存的过程；站在关注每一个个体学习历程的角度看,以上案 例中孩子们对不同方法的挑选与转变,让我们看到了孩子们的思维由详细到抽象的变化过程,看到了孩子们积存数学活动体会逐步形式化的过程,看到了不同的孩子在自己最近进展区的成 长,看到了孩子遇到困难时寻求帮忙的“ 聪明” 之举 , 这样看来,关注同学在教学中是否成长和进展是我们评判现代课堂有效性的核心；除了知识的把握,同学数学学习体会的积存、数学思想方法的感悟、数学基本技能的训练,数学学习 情感的丰富,这些都应当成为考量课堂有效性的重要维度；评判开放性的课堂除了必需保持开放的心态,仍必需采纳开放的评判指

29、标和评判方法；这方面的工作,无疑已成为摆在我们眼前 的重要任务；近年来,我们的训练教学工作者在追求有效开放的探究中积存了很多珍贵体会；有的老师 留意小组建设,从评判入手,努力营造组内合作、组间竞争的学习氛围,为建立有效合作供应了一种范式；有的老师留意同伴沟通的实效,从“ 如何听、如何说” 的指导入手,甚至为每个 小组配备录音笔,即时记录沟通情形,从而实现有针对性的指导工作；仍有不少老师认为开放 式教学要因“ 材” 而为,结合教学内容,在适于探究、适于合作之处予以放手,把“ 挖掘教材、吃透教材,做一名能够整合教材、个性化实施课程的老师” 作为自己追求的抱负；有的老师背下 12 本教材上的全部例题

30、和习题,以自己对学校学问的通透把握,达成课堂上充分探究、思辨练习、课外不留作业的高效教学；这些都显示出老师们为积极探究有效开放教学策略所做的不 懈努力；这些理论与实践相结合的鲜活争论,为我们从仿照开放之形到把握开放之神供应了坚 实的基础；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 我们有理由信任,随着我们视界的敞亮、理论的完善和探究的深化,开放而有效的课堂必将越来越成熟；中国训练报2022 年 2 月 20 日 6 版聚焦学校数学系列五：有过程的教学促进高水平的懂得常听一线老师诉苦说：现在的同学真难教,水平参差不齐；的确,在

31、学习新学问前,同学 早已不是一张“ 白纸”；作为老师,该怎么办？知道事实不等于真懂得 面对同学已经知道“ 答案” 时,我们需要追问：有多少同学知道答案？有多少同学真正理 解要学习的内容？例如,对于“ 长方体的体积=长 宽 高”,假如同学通过背诵记住这一公式,那么他获得的学问仅仅是“ 事实性学问”；假如同学通过拼摆单位小正方体而得到“ 大长方体” 的体积就是单位小正方体的个数,即 数小正方体的个数就能求出长方体的体积,但是“ 数” 比较麻烦,再进一步发觉大长方体的体积是“ 长 宽 高”,这时他对长方体体积公式的懂得就达到“ 概念性水平”；假如同学能进一步深化分析,就会发觉长方体的体积与长方体的一

32、个面的面积以及对应这 个面的高有关；在老师的引导下,同学综合应用所学学问,得出长方体的体积仍可以通过“ 一 个面的面积乘以这个面所对应的高”来求出, 这时同学对该公式的懂得就达到了“ 方法性水平”,由于这个公式不仅仅适用于长方体而且适用于一切柱体；同学不但明白了公式产生的来龙去脉,并且能在所涉及的概念与概念之间,以及概念与已有的体会之间建立起联系,并能依据不同的 条件敏捷挑选公式解决问题；在此基础上,同学仍能进一步说明“ 长方体的体积等于一个面的面积乘以这个面上的高”吗？在教学中,有个同学这样回答：我把长方体看成是“ 底面” 这样的小薄片一片一片垒起来 的,那么长方体的体积不就是这个“ 小薄片

33、” 的面积乘以垒的“ 高度” 吗？这名同学所获得的 学问就已经达到了“ 主体性水平”,他所获得的这一学问,是通过反思“ 制造” 出来的；同学学习数学时,往往停留在“ 事实性水平” 的懂得上；在教学中,我们必需辨别出同学 的懂得所达到的程度,设计恰当活动促进同学对学问的高水平懂得；有过程的教学促进同学高水平的懂得“ 数学是系统化了的常识；” 学校数学中的很多概念都包蕴了朴实的数学思想,基本上都来 源于同学的生活体会；从理论上说,同学熟识这些朴实的思想应当很简洁,但为什么同学学习“ 课本上的数学” 就有很多困难呢？缘由主要在于数学的学科定义高度概括、抽象,教材不易出现其形成与进展的过程,直接 学习

34、现成的结论不符合学校生的思维水平与认知特点；因此,弗罗登塔尔认为“ 教材是教学法 的颠倒” ；假如老师的教学没有过程,而只是简洁的仿照、记忆、背诵、训练,就简洁使同学的 懂得仅仅处于事实性水平；老师无过程教学的根源主要有两点：一是缺少追问学科概念的本质,二是没有真正明白学 生的思维特点与已有的学问体会储备；对于前者,我们强调老师追问为什么学习这些内容、所 学习内容的核心是什么、如何建立联系；后者主要包括同学的生活概念、同学的思维水平与认 知特点及同学已有的学问储备；当老师对这两个根源有深化的摸索后就能设计出有过程的教学；设计有过程的教学,需要老师关注数学概念、思想的本质以及进展的历史本源,关注

35、其形 成、进展的原始动力,关注同学朴实的问题与思维过程,关注同学的生活概念、体会与数学概 念之间的本质联系与区分,关注同学的思维过程,利用思维过程中的冲突、质疑与障碍使同学 获得高水平懂得力,激发同学学习的愿望与动机,体会到制造的乐趣；下面是一位老师教学“ 减法的初步熟识”时发生的主要大事,该课就是一节过程充分的课：老师先利用电脑动画设计了一个停车场的情境,同学很快发觉了信息并提出了问题：停车场原先有 5 辆小汽车,开走了2 辆,问停车场仍剩几辆小汽车？同学顺当地列出算式并运算；老师请同学利用手中的学具,自己动手制造一个用减法解决的问题,并列式解决；这一环节的名师归纳总结 - - - - -

36、- -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设计目的是让每个同学都亲历减法意义的感知过程,并板书出同学所显现的各种不同的减法算式,为后续观看、比较、总结减法的意义作素材预备；但在沟通汇报时,一个小女孩到实物展台前,一边演示“ 小水果” 学具,一边介绍自己刚才的操作过程： “ 我原来拿了 5 个小水果,送给同桌 2 个,问我仍剩几个水果？我列的算式是5-2=3；” 话音刚落,另一位男孩喊到：“ 怎么仍是 5-2=3 啊？重复了！不能写到黑板上；” 展台前的女孩不服气地为自己辩解：“ 我没重复,这次不是汽车,是水果；” 坐在下面的男孩竟站起来反对：“ 反正你的算

37、式是 5-2=3,仍说不重复？” 女孩一脸疑问地看着老师；老师第一请同学发表自己的看法,大部分同学同意男孩的看法,但也觉得女孩说得有道理,辩论不出结果；这时老师问：“ 你仍能想一件事情,也用 5-2=3 来表示吗？” 孩子们的思维活跃了起来,编出了很多的情境；例如：教室有 5 个小伴侣,走了 2 个,仍剩下 3 个；草地上有 5 朵小花,被小伴侣摘走了 2 朵,仍剩下 3 朵； 5 支铅笔,丢了 2 支,仍剩 3 支, 这时刚刚发完言的一个同学不愿坐下：“ 我仍能说这样的好多事呢,都可以用 5-2=3 表示, 5-2=3 的本领真大呀！”老师连续捅破“ 窗户纸”：“ 有的事情发生在停车场里,有

38、的事情发生在教室里；为什么完全不一样的事,却能用同一个算式来表示呢？” 同学们最终发觉,虽然大事不一样,但同一个算式所表示的意思都是一样的；这时,老师趁热打铁,又问：“3+6=9 可以表示的事情多不多？那就一个数 8 都可以表示什么？”同学脱口而出：“ 那太多了！ ” 看到孩子们意犹未尽的样子,老师又问：“ 你现在有什么想法？” 其中一个同学说：“ 我觉得数和算式都太奇妙了,能表示那么多不同的事物；”学校生对所学学问不能都达到高水平懂得由于数学的学科特点及学校生的思维特点、生活体会,同学对所学习的内容不能都达到高水平的懂得； 我们应当答应同学先处于事实性水平的懂得,逐步对所学内容达到高水平懂得

39、；随着体会的增加、思维水平的提高,学校阶段所学习的数学概念有一些是“ 高通达力” 的概念,即不是老师能教会的,懂得这 些概念需要同学认知水平的提高；例如,分数、字母表示数、正反比例关系、方程、极限、平 均数等概念和思想；学习这些概念时,我们应当适当答应同学在懂得上的反复,由于要达到高 水平的懂得既需要老师设计有过程的教学,也有待同学年龄的增长；老师能做的,就是供应有 价值的问题或任务,促进同学的思维投入,而不是把现成的学问灌输给同学；（作者为北京训练学院数学系副教授）聚焦学校数学系列六：训练也是学习竖式除法是同学学习运算中的一个难点；余数问题、商的数位问题、单位问题等类似错 误常常显现在同学的

40、作业中；表面看这些错误各不相同,细细分析会发觉,这些错误的根源在 于不懂得竖式算法的意义；有争论发觉,同学虽然会用竖式运算,但的同学不明白竖式除法为什么从高位算起,的同学不清晰竖式除法的算理；这种情形下,提高同学的运算 才能,就不能只是让同学反复操练；训练是提高运算才能的技术手段,但并不肯定是科学手段；老师应当改进教学,关注同学的已有体会,关注同学的困惑,在此基础上设计教学；寻“ 根” 究“ 理”识的探究中；情境设计,让同学钟情练习,让同学真正参加到知将学习中的仿照、训练转化为同学的内在需要,是我们教学设计的追求；有这样一道题：“ 地球赤道周长万千米,设想用铁丝沿赤道扎紧,然后把铁丝接长米,问

41、铁丝和地面之间能显现多大间隙？”这道题对同学来说是很好玩的；但怎样让同学对题目“ 一见钟情” 呢？有位老师作了如下改进：地球的环境日益恶化；地球大吼：“ 我受不了啦,我快要爆裂啦！” 玉皇大帝听到后很焦急,心想：要是地球真的爆裂了,那全部生灵就会被毁灭；于是他打算沿地球的赤道加一道铁箍,名师归纳总结 以防地球爆裂；可是地球却直喊：“ 太紧了,我喘不过气；” 玉皇大帝只好把铁箍松了一下,使第 7 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得它到处离地球米；可是松一下,铁丝不够长了,需要再加一段,请你帮玉皇大帝算一下需 要加多长的一段铁箍？这样的题

42、目有故事情境,符合学校生的心理,能很好地调动同学的参加愿望；争论发觉,进行情境问题测试的同学,其成果和个体情感的投入都优于进行传统题目测试的同学；在之后 的问卷调查中,进行情境问题测试的同学有挑选“ 以后仍期望再做这样的测试”；而进行传统题目测试的同学挑选该项的只有；这就要求老师改进学习内容和形式,尽量防止重复,多让同学主动制造而削减灌输；“ 凡是能传给他人的,肯定是可以重复的,而可以被他人重复的就肯定不具有制造性；” 这启示我们,为了增加同学的主动性,除了教学方式、教 学方法方面的改进外,仍需要结合同学的现实背景,设计现实的、有意义的、富有挑战性的情境性问题,防止训练中的简洁重复；适时点拨,

43、增强练习实效性 练习要让同学明白目的,不能盲目；练习中,需要老师准时分析同学的错误成因,适时介 入,并依据同学的不怜悯形支配有针对性的练习；有一道找规律题目如下：, , ,（ ）；有个同学说：“ 前面的数除以,就得到后面的数,所以 就可以得到答案；” 另一个同学说： “ 老师,我算出的答案 也是；可是,我找的规律跟他们的不一样；我是这样算的： ,去掉一个,就是；,去掉一个就是；,去掉一个就是；所以,最终一个数是；”这个同学的规律,其他同学是不是听懂了？他与别人的规律是不是真的不一样？假如不一 是特别自然而必要的；样,有什么联系和不同？老师在这儿引导其他同学探讨这个同学的算法,这个同学用到的“

44、加法” 是第一级运算,运算程度最低,也最简易,在说到除时,用到的 是动作“ 去掉”,而不是“ 除以”,表达很通俗,且形象、生动；而其他同学运用的是第 二级运算“ 除法”,方法相对抽象；对这两种思路的对比分析在这一节课中特别重要；跟上时代,不做超标练习 在运算教学的问题上,始终有人批判课改过了头；诚然,素养训练并不排斥运算上的高技 能,但是,运算技能需要高到哪种程度,就是需要画个问号的；两位数的除法在教学中是重点,而瑞典教材是不作要求的；像 ,他们只要求同学能估算 就可以了,不要求笔算；年, 我们与瑞典训练代表团沟通时,瑞典训练代表团团长多丽丝教授反问我们：“ 时间很珍贵, 长大以后这些题目都可

45、以用运算器去解决,你们为什么要花费这么多的时间用于运算？” 这个问题促使我们不得不摸索：我们让孩子花费这么多的时间,到底有什么价值？为什么我们让同学做超出课标要求的大量练习？而我们的课标原来就远超出国际一般要求；有位老师说：“ 有一道题：桃树棵,杨树是它的倍少,桃树、杨树一共多少棵？我讲解了好几回,同学都是 ；你说如何讲同学才会接受？他们都不知道要再加上桃树的数目；” 缘由何在？由“ 生活体会解决” 到“ 数学符号表征” 是一大跨过,同学不会用一个式子把“ 桃树、杨树一共多少棵” 表示出来,这不能怪同学；列综合算式对于四年级的同学来说,仍是太难了；我们的课标和教材是不要求同学列综合算式的,而我

46、们平常的教学仍在远超“ 英美” 的高度上再次拔高；训练是学习的过程,而非学习中的某个环节,从这个意义上说,训练即学习,而不是重复；学习不是传输的过程,也不是接受的过程,学习是个需要建立联系、需要自觉建构实践的过程,离开同学的参加,训练就成为复制的过程；由此, 我们需要加强老师在同学练习中的指导作用,使练习走向科学； （作者为山东省茌平县杜郎口中学老师）中国训练报年月日聚焦学校数学系列七 错误在学习中普遍存在：开启从错误中学习的新视角名师归纳总结 错误并不仅仅显现在学习活动中；一般而言,人们是在熟识论的范畴中争论“ 错误”,把它与第 8 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - “ 真理” 作为相对的概念提出的,认为“ 错误” 就是与客观实际不相符合的熟识；但是,当人们争论学校学习活动中的“ 错误” 时,错误的概念发生了变化；人们认为错误是 同学在学习过程中所产生