2022年平面向量的数量积及运算律教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载S,F （一）、新课引入为什么定义平面对量数量积在物理学中学过功的概念,一个物体在力F 的作用下产生位移那么力 F 所作的功 W=FScos ；S 摸索： W是什么量？ F 和 S 是什么量？和向量有什么关系？W是标量（实数） ,F 和 S 是矢量（向量）这个式子建立了实数和向量之间的关系,是实数和向量相互转化的桥梁；我们学过的向量运算ab,ab,a 结果都是向量； 因此定义一个新的运算,不仅是物理学的需要,也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要； （二）、新课学习新课学习阶梯一怎么定义平面对量数量积摸索：仿照物理学功的

2、定义：a b a b cos摸索：由数学中对称的思想,有余弦出没的地方就少不了正弦的陪伴,可否定义a *b a b sin,有什么几何意义？引导同学阅读课本 P118,找出数学定义的特点：针对两个非零向量定义,规定零向量与任意向量的数量积为 0；B 1两个非零向量夹角的概念已知非零向量 a 与 b ,作 OA a , OB b ,就 bO a A （ ）叫 a 与 b 的夹角 （右图的夹角分别是什么）B 2平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 a与 b ,它b 们的夹角是 ,就数量 | a |b |cos 叫 a与 b 的数量积,记作 a b ,O a A 即有 a b = | a

3、|b |cos ,（ ） 并规定 0 与任何向量的数量积为 0摸索：功怎么用数量积表示：F S数学的定义从实践中来,又回到实践指导实践；新课学习阶梯二怎么全方位熟悉这个定义学习数学两手都要硬,一手抓代数、一手抓几何,渗透数形结合的思想方法,而向量恰好是用量化的方法讨论几何问题的正确工具；1 几何意义：“ 投影” 的概念：作图名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定义： |b |cos学习必备欢迎下载叫做向量b 在 a 方向上的投影摸索：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投影也是一个数量,不是向量；当 为锐角

4、时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为 0；当 = 0 时投影为 |b |；当 = 180 时投影为 |b |几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b |cos 的乘积2代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量 a 与 b , a b a b = 0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量 a与 b ,当 a 与 b 同向时, a b = | a |b |；当 a 与 b 反向时, a b = |a |b |（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（3）cos = a b（此性质可以解决向量的夹角问题

5、）；| a | b |（4） a a = |a | 2, | a | a a ,a a b（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；b cos（5） |a b | |a |b |（此性质要留意和肯定值的性质区分,可以解决不等式的有关问题）；3任何一种运算都满意肯定的运算律,以便利运算,数量积满意哪些算律？实数的运算律向量数量积运算律（交换律）ab=ba a b.b a（结合律） abc=abc a b c.a b c（安排律） ab+c=ab+ac a bc.a ba c a b. a b.a b摸索：运用对比联想的思想方法推测向量数量积保留了实数哪些运算律,变异了哪些运算律？课名师归纳总结

6、 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载下对成立的运算律给出证明,对不成立的运算律举出反例；从性质的分析知道,数量积是应用特别广泛和敏捷的,涉及代数和几何甚至跨学科的学问,因此学习数量积是为了能够应用它解决问题；新课学习阶梯三怎样用定义、性质解决问题（范例讲解）例 1（巩固概念）判定以下各题正确与否：（1）如 a = 0 ,就对任一向量 b ,有 a b = 0 （2）如 a 0 ,就对任一非零向量 b ,有 a b 0 （3）如 a 0 , a b = 0,就 b =0 （4）如 a b = 0,就 a 、 b至少

7、有一个为零 （5）如 a 0 , a b = a c ,就 b = c （6）如 a b = a c ,就b = c 当且仅当 a 0 时成立 （7）对任意向量 a 、 b 、 c ,有 a b c a b c （8）对任意向量 a ,有 a 2 = | a | 2 例 2（课本 P118）已知 a =5, b =4,向量 a 与 b 夹角是 120 0,求 a b （课本资源升华）同学回答： a b = 10 （以下变形向量a 与 b 均为非零向量）0,求 ab变形 1：已知 a =5, b =4,向量 a 与 b 夹角是 120摸索：求长度,怎样将长度和数量积建立起关系？2 2a b 2=

8、 a b a b a b 2a b =25+1610=21,所以 a b = 21 ；变形 2：已知三角形 ABC 的边 AB=5 ,BC=4 , ABC=120 0,求边 AC ；启示： 这个问题看似和向量无关,要想运用向量的学问,必需构造向量, 突破点是如何构造向量；提问同学或老师讲解：AC AB BC ,2 2 2AC AB BC 2AB BC =25+16+2 5 4 cos60 0=61, AC= 61摸索：已知三角形两边一夹角肯定可求第三边吗？名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变形 3：已知三角形学习必备

9、欢迎下载,求边 AC；ABC 的边 AB=5 ,BC=4 ,sin ABC=3 5摸索：已知正弦值,如何求余弦值,几解？变形 4：已知 a =5, b =4, a b = 21 ,求向量 a 与 b 的夹角；摸索：建立长度和角度的关系是数量积的一个重要功能,先求 a b ；变形 5：已知 a =5, b =4, a 在 b 上的投影是 2,求 a b 及 a 与 b 的夹角；变形 6：已知 ab =5, ab =4,求 a b ；摸索：求数量积,怎样将长度和数量积建立起关系？ab2=ab ab2 ab22a b =25,2=2 ab2abab ab2a b =16,两式相减得： 4a b =9

10、, a b =9 4点评：解决该问题,不仅局限于长度和数量积的关系,仍运用了方程这一代数味很浓的思想；变形 7：已知 ab = ab =4,求 a b ；能求向量 a 与 b 的夹角吗？能求a 吗？如不能求,你能补充一个合适的条件求出a 吗？启示：除了用数量积的运算性质求出a b ,你仍能从向量加减法运算的几何意义给出说明吗？变形8：已知 a =5, b =4,向量 a 与 b 夹角是120 0,求使向量 ab 与 ab 的夹角是锐角的实数 的取值范畴；摸索：夹角是锐角如何用数量积表达？（ab ） （ ab ）04b 与 7a2b 垂直, 求向量 a 与变形 9：向量 a 与 b 都是非零向量

11、, 且 a3b 与 7a5b 垂直, ab 的夹角名师归纳总结 解：由 a + 3 b 7 a2 5b = 0 7a2 + 16 a b15 b2 = 0 第 4 页,共 6 页 2b = 0 + 8 b2 = 0 a 4b 7 a 7a2 30 a b两式相减： 2 a b= b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 代入或得：a2 = b2学习必备欢迎下载设 a 、 b 的夹角为,就 cos =| a b a b| 2 | bb 2| 2 12 = 60通过以上问题的变式探究：问题涉及无非是向量的模（长度）、向量的夹角（三角形或多边形的内角或其补角） 、

12、数量积三个量的关系；这是向量数量积定义的灵魂,同时,数量积运算也是沟通实数和向量的桥梁；新课学习阶梯四课堂练习1 | a|=3,| b |=4, 向量 a + 3 b 与 a-3 b 的位置关系为（）4 4A 平行 B C 夹角为 D不平行也不垂直32 已知 | a|=2,| b |=5, a b =-3, 就| a +b |=_,| a - b |= 3 设 | a |=3,| b |=5, 且 a + b 与 a b 垂直,就 新课学习阶梯五学会小结同学自我归纳；新课学习阶梯六制造性学习（备用）CDPFB如图 P 是正方形 ABCD的对角线 BD上的一点, PFAE是矩形,猜猜：不论P 点

13、位置如何, PC和 EF 是否总相等且垂直？E提示：这是一个平几问题,没有向量的踪迹,怎样构造向量、制造性地运用数量积运算解决？A摸索：如何建立基向量；将PC 和 EF 看成向量,用基向量表示；运算PC , EF 是否相等；运算PC EF 是否为零；解析：设 DA =a , DC = b ,就 DB = a + b ,设 DP = （ a + b ）,CP CD DP = b + （ a+ b）=a +（ 1） b,明显 DF = DA = a, FA 1 a,就 EF = EP+ PD + DF =（ 1） a （ a + b ）+ a =（ 1） a b名师归纳总结 就 CP2=（ a+（

14、 1） b ） 2=2 a2+（ 1）2b2,第 5 页,共 6 页2,EF2=（ 1） a b ） 2=（ 1）2a2+2 b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载又 ABCD 是正方形, a 2= b 2,所以 CP 2= EF 2,EF CP =（ 1） a b ）（ a+（ 1） b ）=（ 1） a 2 （ 1） b 2=0,所以 PC和 EF总是相等且垂直； 六、课后反思和巩固（assignment ）1 对数量积的运算律的证明摸索和阅读（课本 P119P120）2 优化设计第一课时、课本 P121 习题 5.6 第 1.2.

15、3.4.5 平面对量的数量积及运算律一课设计思路平面对量的数量积及运算律共两个课时,本课时为第一课时； 环绕数量积的定义、性质和运输律及简洁应用,绽开设计,为下节课敏捷应用数量积的性质和运算律解决 问题奠定基础；例题的选取紧紧扣住课本 P118的例 1,并通过例 1 绽开变式讨论和培养同学的发散性思维,并将课本其余几个例题都整和到例1 的变式讨论中；变式讨论不仅是本节课的一大特点,同时也是本人多年坚持探究的问题怎样用好课本,将 课本的例题资源最大化,将课本的习题资源最大化,将课本的阅读材料充分利用；一 句话,把课本作为第一课程资源用足、用到位；本节是全章的重点内容之一,定义是基础,性质是工具,

16、运算律及应用是难点；因此本节课分层次将教学过程分解为两个步骤：为什么定义平面对量的数量积；怎样 熟悉平面对量的数量积；新课学习分为六个阶梯：怎么定义平面对量的数量积；怎么 全方位熟悉定义；怎样用定义、性质解决问题；课堂演练；怎样小结；怎样制造性地 应用平面对量的数量积；突出学习数学学问的一般过程为什么学、学什么、怎么 用；在新课引入上突出课改的理念,从同学的认知结构和表达数学的有用动身,请教 了物理老师,功、磁通量均与向量运算有关,但同学目前只学过功；所以实行课本的 引入方法；引导同学结合详细情形设计问题,表达开放教学和民主的课堂氛围；同学 在各个阶梯过程中,渗透数学概念的学习策略：抓关键字、抓定义前题；渗透数学思 想方法的学习：类比的思想、数形结合的思想、对称的思想、构造法；渗透发散性思 维的培育意识,通过老师的变式讨论,引导同学怎样把一个题目解活、用活、学活,从而提高有效学习的效率；引导同学自己小结,一方面培育同学对问题的整理综合能 力,另一方面引导同学学习抓主流、抓重点内容,懂得过滤学习内容,取舍得当；淡化次要内容,突出重点、难点；因此对数量积的运算律、长度、角度、垂直等 问题的证明略过,课下引导有爱好的同学阅读、自学；将课堂有限的时间最大限度地 进行有效教学；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页