2022年幂函数知识点练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载幂函数练习例、 函数 fxm 2m1xm 2m3 是幂函数,且当求 fx的解析式x0, 时, fx是增函数,分析解答此题可严格依据幂函数的定义形式列方程求出m,再由单调性确定m. 解依据幂函数定义得m 2m11,解得 m2 或 m 1,当 m2 时, fxx 3在0,上是增函数；点评当 m1 时, fxx3在0,上是减函数,不符合要求故fxx 3. 幂函数 yxR,其中 为常数,其本质特点是以幂的底x 为自变量,指数 为常数 也可以为 0这是判定一个函数是否为幂函数的重要依据和唯独标准对本例来说,仍要依据单调性验根,以免增根名

2、师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载 例 3、如图是幂函数 yx m 与 yx n在第一象限内的图象,就A-1n0m1Bn1,0m1 C1n1 Dn1 解析 在0,1内取同一值 x0,作直线 xx0,与各图象有交点,就 “ 点低指数大 ”如图, 0m1,nx 3,求 x 的取值范畴1 错解 由于 x 20,x 3R,就由 x 2x1 3,可得 xR. 错因分析 上述错解缘由是没有把握幂函数的图象特点,特别是 yx在1 和 01 两种情形下图象的分布正解1名师归纳总结 作出函数 y=x2 和 y=x 的图

3、象 如右图所示 ,易得 x1. 第 3 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 4 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 5 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 6 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载和；分析：底数分别不同而指数相同,可以看作是两个幂函数,利用幂

4、函数的单调性质去懂得；解：1 0,+ 是递增的又1.11.4 利用幂函数的性质比较数的大小；例 3比较 的大小；分析：三个量比较大小,先考虑取值的符号；启示：当直接比较大小难以进行时,可以考虑借助一些中间量特别值,如 0,1或其他数来解决；例 6、比较以下各组中两个数的大小：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）1 . 53,17.3；（2）0.7学习必备欢迎下载2,1. 25 21.5 ,0.61.5 ；（3）1 . 255333解析：（1）考查幂函数 yx 的单调性,在第一象限内函数单调递增,3 31.5 1

5、.7 ,1 . 5 51 7. 5,3（2）考查幂函数 yx 的单调性,同理 0.7 1.50.6 1.5（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数,1 . 2 212.2,1 . 25 21 . 252,又12.21. 252,1 2. 21.25233333333将以下各组数用小于号从小到大排列：2221gxbxb1 ,当fx 1gx22时,有x 1x2,就a, 的大小（ 1）2.5 ,1.4 ,33333（ 2）0.164,0.52,6.258（ 3）21,21511323 ,3,3 ,33532222解：（1） 1.432.53 33333（ 2）6.2580.520.164,（ 3

6、）215 312132233333532【例 1】1已知fxaxa1 ,关系是A.abB.abC.abD.ab【捕获题情】 1在同一坐标系中画出两个递增的指数函图象；2由fx 1gx22添画一条直线y2,显现两个交点；a, 的大小 . x1x 2确认1x 与x 的位置 ,并确认3由f x 与g x 的图象 ,判定y=2 y gxfxO x2 x1x 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1解:在同一坐标系中画出两个递增的指数函图象 , 画上直线 y 2 ,由 f x 1 g x 2 2 与 x 1 x

7、 2 知在右边的图象为 f x 的图象 ,于是由 g x 的图象在 y 轴右边的增加速度较快 ,得 b a,选 C. x b2函数 f a 的图象如图 ,其中 a b为常数 ,就以下结论正确选项A. 0a1,b0yB.a1,b0a1, C.0a1,b0D.a1, b02解:f x 的图象由a 的图象向左平移 b 个单位得到 ,可知 0f x 的图象与 y 轴的交点 0,ab在0,1的下方 ,有ab1,即ab1a ,当 0a1时,函数ya 递减,于是b0,选 A. f5,求 m 的值,例 1已知函数f x x2m2m3mZ 为偶函数,且f3名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共

8、23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 并确定f x 的解析式学习必备欢迎下载分析：函数f x x2m2m3mZ 为偶函数,已限定了322 mm3必为偶数,且 mZ ,f3f5,只要依据条件分类争论便可求得m 的值,从而确定f x 的解析式解：f x 是偶函数,22 mm3应为偶数2m2m31,又f3f5,即32m 2m352m 2m ,整理,得522 mm30,1m3m1时,2m2m32为偶数2又 mZ ,m0或 1当 m=0 时,22 mm33为奇数（舍去）；当故 m 的值为 1,f x x 评注：利用分类争论思想解题时,要充分挖掘已知条件中的每一个信息,做到不重不漏,才

9、可为正确解题奠定坚实的基础例 2已知函数f x x ,设函数g x qf f x 2q1 1,问是否存在实数 q q 0,使得 g x 在区间,4 是减函数,且在区间 4 0, 上是增函数？如存在,恳求出来；如不存在,请说明理由分析：判定函数的单调性时,可以利用定义,也可结合函数的图象与性质进行判定,但要留意问题中符号的确定,要依靠于自变量的取值区间解：f x x ,就g x qx42 q1x211上是减函数,第 10 页,共 23 页假设存在实数q q0,使得g x 满意题设条件,设x 1x ,就g x 1g x 24 qx 12q12 x 14 qx 22q2 1 x 2x 1x2x 2x

10、 12 q x 12 x 22q如x 1,x 2,4,易知x 1x 20,x2x 10,要使g x 在,4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2 q x 12 x 22q10恒成立就应有x 1 4,x 4,x 1 2x 2 232而 q 0,q x 1 2x 2 2 32 q .从而要使 q x 1 2x 2 2 2 q 1 恒成立,就有 2 q 132 q,即 q130如 x 1,x 2 4 0, ,易知 x 1 x 2 x 2 x 1 0,要使 f x 在 4 0, 上是增函数,就应有 q x 1 x 2 2 q 1 0

11、 恒成立2 24 x 1 0,4 x 2 0,x 1 2x 2 232,而 q 0,q x 1 2x 2 2 32 q 要使 q x 1 2x 22 2 q 1 恒成立,就必有 2 q 132 q,即 q130综上可知,存在实数 q 1,使得 g x 在,4 上是减函数,且在 4 0, 上是增函数30评注：此题是一道综合性较强的题目,是幂函数性质的综合应用判定函数的单调性时,可从定义入手,也可依据函数图象和性质进行判定,但对分析问题和解决问题的才能要求较高,这在平常要留意有针对性的训练分类争论的思想例 1已知函数yxn22n3nZ 的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于y 轴对称,求 n 的

12、值,并画出函数的图象名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由于图象与 y 轴无公共点,故学习必备3欢迎下载n22n0,又图象关于 y 轴对称,就n22 n3为偶数,3（ mZ ）的图象由n22n30,得1n ,又由于 nZ ,所以n0, ,当n0时,2 n2n33不是偶数；当n1时,2 n2 n34为偶数；当n1时,n22n30为偶数；当n2时,2 n2n33不是偶数；当n3时,n22 n30为偶数；所以 n 为1,1 或 3此时,幂函数的解析为yx 0 x0或yx ,其图象如图所示例 3 已知幂函数ym x22

13、m与 x 轴、 y 轴都 m的值无交点,且关于原点对称,求分析：幂函数图象与 x 轴、 y 轴都无交点,就指数小于或等于零；图象关于原点对称,就函数为奇函数结合 m Z ,便可逐步确定 m的值解：幂函数 y x m 2 2 m 3（ m Z ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,m 22 m 3 0,1 m 3； m Z , m 22 m 3 Z ,又函数图象关于原点对称,m 22 m 3 是奇数,m 0 或 m 2名师归纳总结 第 12 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数形结合的思想例 2已知点2 2, 在幂函数f

14、 x 的图象上,点2, ,在幂函数 14g x 的图象上x0问当 x 为何值时有：（）f x g x ；（）f x g x ；（）f x g x 分析：由幂函数的定义,先求出f x 与g x 的解析式,再利用图象判定即可解：设f x x ,就由题意,得2 2m ,m2,即f x x 再令g x x ,就由题意,得1 2n,4n2,即g x x2x0在同一坐标系中作出f x 与g x 的图象,如图 2 所示由图象可知：（1）当x1或x1时,f x g x ；（2）当x1时,f x g x ；（3）当1x1且x0时,f x g x 小结：数形结合在争论不等式时有着重要的应用,留意此题中g x 的隐

15、含条件转化的数学思想例 3函数y2 mx4xm212 mmx1的定义域是全体实数,就实数m 的取值范畴是4）1 2（ 5 51, 2 2名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 15,15学习必备欢迎下载解析：要使函数y mx24xm21 m2mx1的定义域是全体实数,4m m204可转化为2 mx4xm20对一切实数都成立,即m0且42解得m51应选（）例：已知幂函数fxxm 22m3mN*的图象关于 y 轴对称,名师归纳总结 且在 0,上是减函数,求满意 a13 m32a3 m的 a 的范畴第 14 页,共 23 页

16、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 15 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 16 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载类型一：求参数的取值范畴例1已知函数f x x2m2m3mZ 为偶函数,且f3f5,Z , 3f5,求 m 的值,并确定f x 的解析式分析：函数f x x2m2m3mZ 为偶函数,已限定了2 m2m3必为偶数,且 m只要依据条件分类争论便可

17、求得m 的值,从而确定f x 的解析式第 17 页,共 23 页解：f x 是偶函数,22 mm3应为偶数又f3f5,即32m 2m352 m 2m ,整理,得32m2m31,5名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 m2m30,1m3学习必备欢迎下载2又 mZ ,m0或 1m1时,2m2m32为偶数当 m=0 时,22 mm33为奇数（舍去）；当故 m 的值为 1,f x x 评注：利用分类争论思想解题时,要充分挖掘已知条件中的每一个信息,做到不重不漏,才可为正确解题奠定坚实的基础类型二：求解存在性问题例2已知函数f x x ,设函数g

18、x qff x 2q1 1,问是否存在实数q q0,使得g x 在区间,4是减函数,且在区间 4 0, 上是增函数？如存在,恳求出来；如不存在,请说明理由分析：判定函数的单调性时,可以利用定义,也可结合函数的图象与性质进行判定,但要留意问题中符号的确定,要依靠于自变量的取值区间解：f x x ,就g x qx42 q1x210恒成立第 18 页,共 23 页假设存在实数q q0,使得g x 满意题设条件,设x 1x ,就g x 1g x 24 qx 12q12 x 14 qx 22q12 x 2x 1x 2x 2x 12 q x 12 x 22q1如x 1,x2,4,易知x 1x 20,x2x

19、 10,要使g x 在,4上是减函数,就应有2 q x 12 x 22q1x 14,x 4,2 x 12 x 232而q0,1 302 q x 1x2 232 q .从而要使2 q x 12 x 22 q1恒成立,就有 2 q132q,即q名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如x 1,x2 4 0, ,易知x 1x2x 2学习必备欢迎下载x 10,要使f x 在 4 0, 上是增函数,就应有2 q x 12 x 22q10恒成立32q,即q14x 10,4x20,2 x 1x2 232,而q0,2 q x 12 x 232q 要使2 q x

20、 12 x 22 q1恒成立,就必有2q130综上可知,存在实数q1,使得g x 在,4上是减函数,30且在 4 0, 上是增函数评注：此题是一道综合性较强的题目,是幂函数性质的综合应用判定函数的单调性时,可从定义入手,也可依据函数图象和性质进行判定,但对分析问题和解决问题的才能要求较高,这在平常要留意有针对性的训练类型三：类比幂函数性质,争论函数值的变化情形例 3争论函数yk2k xk22k1在x0时随着 x 的增大其函数值的变化情形分析：第一应判定函数是否为常数函数,再看幂指数,并参照幂函数的性质争论解：（1）当k2k0,即k0或k1时,y0为常函数；（2）当k22 k10时,k12或k1

21、2,此时函数为常函数；（3）k2k0,0,即 0k12时,函数为减函数,函数值随x 的增大而减小；k22 k1（4）当k2kk0,0,即k1或k12时,函数为增函数,函数值随x 的增大而增大；k221（5）当k2kk0,0,即 12k0时,函数为增函数,函数值随x 的增大而增大；k221名师归纳总结 第 19 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （6）当k2kk0,0,即1k1学习必备欢迎下载x 的增大而减小2时,函数为减函数,函数值随k221评注：含参数系数问题,可以说是解题中的一个致命杀手,是导致错误的一个重要因素这应引起我们的高度警

22、觉幂函数这一学问点,表面上看内容少而且简单,实质上就不然它蕴涵了数形结合、分类争论、转化等数学思想,是培育同学们数学思维才能的良好载体下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用例 1 如 m 1 13 2 m 1,试求实数 m 的取值范畴m 1 0,错解（数形结合）：由图可知 3 2 m 0,m 1 3 2 m,解得 m 2,且 m 33 2剖析：函数 y x 1 x 0 虽然在区间,0 和0, 上分别具有单调性,但在区间 ,0 0, 上不具有单调性,因而运用单调性解答是错误的正解（分类争论）：名师归纳总结 （1）m10,1第 20 页,共 23 页32 m0,m132m,解得2 33 2；d

23、m（2）m10,32 m0,此时无解；m132m,（3）m10,0,解得m32 m- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综上可得m,12 3,3 2学习必备欢迎下载现在把例 1 中的指数 1换成 3 看看结果如何例 2 如 m 1 33 2 m ,试求实数 m 的取值范畴错解（分类争论）：由图 2 知,m10,1, 解得1m2；（1）32 m0,332 mm1,m10,（2）30,此时无解；2 m2 mm1,3（3）m 310,0,解得m12 m综上可得m,11,23剖析：很明显,此解法机械地仿照例的正确解法,而忽视了函数间定义域的不同由此,使我们感受到了

24、幂函数的定义域在解题中的重要作用正解（利用单调性）：由于函数yx 在 , 上单调递增,所以m132 m ,解得m2 3例 2 正确解法深化了对幂函数单调性的懂得,激活了同学们的思维下面再对1 2和4两个问题与解法进行探究例 3 如m11321 m ,试求实数 m 的取值范畴2解：由图 3,m10,0,解得1m2第 21 页,共 23 页32 m332 mm1,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4如m4 132学习必备欢迎下载m ,试求实数 m 的取值范畴解析：作出幂函数yx 的图象如图 4由图象知此函数在,00, 上不具有单调性,如分

25、类争论步骤较繁,把问题转化到一个单调区间上是关键考虑 4时,x 4 x 于是有 m 1 43 2 m ,即 m 1 43 2 m 又幂函数 y x 在 0, 上单调递增,m 1 3 2 m , 解得 m 2,或 m43上述解法意识到幂函数 y x 0 在第一象限的递增性,于是奇妙运用转化思想解题,从而防止了分类争论,使同学们的思维又一次得到深化与进展解题点悟：通过以上探究,我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象又有了较深刻的熟悉, 同时对于形如 f x g x （是常数） 型的不等式的解法有了以下体会：（1）当1,1,1, ,解法同例 1 53（2）当1 3, ,解法同例 2 1 13 5（3）当1,21,1, ,解法同例 3 46（4）当2,4,6, ,解法同例 4编者点评：本文通过对一典型例题的多种变换,使我们对幂函数的性质及图象都有了名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载较深刻的熟悉,其中例 4解题过程中虽涉及了含肯定值不等式的解法,超出了我们的所学范畴,但它其中包蕴的这种“ 转化” 的思想,一方面拓宽了我们的解题思路,同时也表达了对学问的敏捷应用才能,当然此题仍可用分类争论的方法解决,同学们不妨一试名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 23 页