2022年浙江高考数学试卷分析 .pdf

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1、2012 年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分全卷共 5 页，选择题部分1至 3 页，非选择题部分 4 至 5 页满分 150 分，考试时间120 分钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上选择题部分 （共 50 分）注意事项：1答题前， 考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么柱体的体积公式P ABP AP BVSh如果事

2、件 A，B 相互独立， 那么其中 S表示柱体的底面积，h 表示柱体的高P A BP AP B锥体的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p，那么13VShn 次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高1,0,1,2,nkkknnPkC ppknL球的表面积公式台体的体积公式24SR112213Vh SSSS球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积，343VRh 表示台体的高其中 R 表示球的半径一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合Ax|1 x4，

3、 B x|x 22x30 ，则 A( CRB)A(1，4) B(3，4) C(1，3) D(1，2) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 【解析 】 A(1，4)，B-1,3，则 A (CRB)(3，4)【答案 】 B 【考点定位 】本题主要考察集合的概念与运算，是常见和常考的问题。2已知 i 是虚数单位，则3+ i1iA12i B2 i C2i D12i 【解析 】3+i1i)1)(1()1)(3(iiii242

4、i12i【答案 】 D 【考点定位 】本题主要考察复数的代数运算及复数的定义，是复数的内容的主要考点。3设 aR，则“ a1”是“直线l1：ax 2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析 】当 a1 时，直线 l1：x2y10 与直线 l2：x2y40 显然平行；若直线l1与直线 l2平行，则有：211aa，解之得：2, 121aa所以为充分不必要条件【答案 】 A 【考点定位 】本题主要考察逻辑语言中的充分必要条件，同时联系到两条直线的位置关系。4把函数 ycos2x1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2

5、倍(纵坐标不变 )，然后向左平移 1个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到的图像是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 【解析 】把函数ycos2x1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变 )得：y1cosx1，向左平移1 个单位长度得： y2 cos(x+1)1，再向下平移1 个单位长度得：y3cos(x+1)令 x0，得： y30；x12，得： y30；观察即得答案【答案 】 A 【考点定位

6、】本题考察三角函数的图像变化，三角变换是三角函数图象内容的一个重要考点5设 a，b 是两个非零向量A若 |ab|a|b|，则 abB若 ab，则 |ab|a|b| C若 |ab|a|b|，则存在实数 ，使得 a bD若存在实数 ，使得 a b，则 |a b|a|b| 【解析 】利用排除法可得选项C 是正确的， |ab|a|b|，则 a，b 共线，即存在实数 ，使得 a b如选项A： |ab|a| |b|时， a，b 可为异向的共线向量；选项B：若 ab，由长方形得 |ab|a| |b|不成立；选项D：若存在实数 ，使得 a b，当 0时， a 与 b 同向，此时显然|a b|a| |b|不成立

7、【答案 】 C 【考点定位 】本题主要考察向量的概念和线性运算，理解向量的概念，掌握平行四边形法则，三角形法则是根本。6若从 1，2，3， 9 这 9 个整数中同时取4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - A60 种B63 种C65 种D66 种【解析 】 1，2，3， 9 这 9 个整数中有5 个奇数， 4 个偶数要想同时取4 个不同的数其和为偶数，则取法有：4 个都是偶数

8、：144C种；2 个偶数， 2 个奇数：225460C C种；4 个都是奇数：455C种不同的取法共有66 种【答案 】 D 【考点定位 】主要考察分类组合，考察分析问题和解决问题的能力，学会分类处理是关键。7设 S n是公差为 d(d0)的无穷等差数列a n的前 n 项和，则下列命题错误的是A若 d0，则数列 S n 有最大项B若数列 S n有最大项，则d0 C若数列 S n是递增数列，则对任意的nN* ，均有 S n0D若对任意的nN* ，均有 S n0，则数列 S n 是递增数列【解析 】ndandSn)2(212，可以看作是关于n 的一元二次函数， 对 A 选项，当 dS n ,故 D

9、 正确。【答案 】 C 【考点定位 】考察数列概念，前N 项和的单调性，明确数列的有关概念和性质是关键8如图， F1，F2分别是双曲线C：22221xyab(a，b0)的左右焦点， B 是虚轴的端点，直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于P， Q 两点， 线段 PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M 若|MF2| |F1F2|，则 C 的离心率是A2 33B62C2D3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 【解析 】

10、如图： |OB|b，|O F1|c kPQbc，kMNbc直线 PQ 为： ybc(xc)，两条渐近线为：ybax由()byxccbyxa，得： Q(acca，bcca)；由()byxccbyxa-，得： P(acca，bcca)直线MN 为： ybccabc(xacca)，令 y0 得：xM322cca又 |MF2| |F1F2|2c，3cxM322cca，解之得：2232acea，即 e62【答案 】 B 【考点定位 】考察双曲线的标准方程和简单的几何性质，求离心率一般先列出关于a、b、c 的等式，再求解。9设 a0，b 0A若 2223abab ，则 a bB若 2223abab ，则

11、a bC若 2223abab ，则 a bD若 2223abab ，则 a b 【 解析 】若 2223abab ，必有2222abab 构造函数：22xfxx，则2ln 220 xfx恒成立，故有函数22xfxx在 x0 上单调递增， 即 ab 成立其余选项用同样方法排除【答案 】 A 【考点定位 】考察函数的性质和比较大小，利用单调性比较大小是常用的方法，而单调性除了用初等函数的性质来判断外，还有求导法。10已知矩形ABCD，AB1，BC2将ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A存在某个位置，使得直线AC 与直线 BD 垂直B存在某个位置，使得直线AB 与直线 C

12、D 垂直C存在某个位置，使得直线AD 与直线 BC 垂直D对任意位置，三直线“AC 与 BD” ， “AB 与 CD” ， “AD 与 BC”均不垂直名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 【解析 】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项 B 是正确的【答案 】 B 【考点定位 】考察空间图形的形状大小位置的变化规律，动手可以直观的感受到其中的奥妙。名师资料总结 - - -精品资料欢

13、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 2012 年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数学（理科）非选择题部分 （共 100 分）注意事项：1用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上2在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共 28 分11已知某三棱锥的三视图(单位： cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于_1_cm3【解析 】观察三视图知该三棱锥的底

14、面为一直角三角形 ， 右 侧 面 也 是 一 直 角 三 角 形 故 体 积 等 于113 12123【答案 】 1 【考点定位 】考察空间几何的三视图，及多面体体积的求法。12若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是_1120_【解析 】 T，i 关系如下图：T1 12161241120i2 3 4 5 6 【答案 】1120【考点定位 】考察算法的功能，机构， 基本思想， 要明确其算理掌握运算功能13设公比为q(q0)的等比数列 a n的前 n 项和为 S n若2232Sa，4432Sa，则 q_【解析 】将2232Sa，4432Sa两个式子全部转化成用1a，q 表示的式子名师资料总结

15、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 即231123113141121qaqqaqaqqa，两式作差得：0322qq，解之得：)(023舍去或qq. 【答案 】32【考点定位 】考察数列的通项公式、求和公式。14若将函数5fxx表示为250125111fxaaxaxaxL其中0a ，1a，2a ，5a 为实数，则3a _【解析 】 法一： 由等式两边对应项系数相等即：545543315544310100aC aaaC aC aa

16、法二： 对等式：2550125111fxxaaxaxaxL两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)xaaxax，再运用赋值法，令1x得：3606a ，即310a【答案 】 10 【考点定位 】考察二项式定理和函数的综合，通过二项式展开的系数与函数式的系数相等来解。15在ABC 中， M 是 BC 的中点， AM3，BC10，则 AB ACuuu r uuu r_【解析 】此题最适合的方法是特例法假设ABC 是以 AB AC 的等腰三角形，如图，AM3，BC10，ABAC34cosBAC1783421003434 AB ACuu u r uu u r16)178(34cos

17、BACACAB【答案 】 -16 【考点定位 】考察三角形平面和向量的数量积，常见的题型用特例法。16定义：曲线C 上的点到直线L 的距离的最小值称为曲线C 到直线 L 的距离已知曲线C1：yx 2a 到直线 L：yx 的距离等于C2：x 2(y4) 2 2 到直线 L：yx 的距离，则实数 a_【 解析 】C2： x2 (y 4)2 2，圆心 (0， 4)，圆心到直线l： yx 的距离为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - -

18、- - - 0( 4)2 22d，故曲线C2到直线 l：yx 的距离为22ddrd另一方面：曲线C1：yx 2a，令20yx，得：12x，曲线 C1：yx 2a 到直线 l：yx 的距离的点为(12，14a )，47492412)41(212aaaad或。当a=-74时，曲线C1与直线 L 相交，距离为零，故49a【答案 】49a【考点定位 】通过新定义来考察直线与圆的位置关系，要先理解定义， 结合直线与圆的位置知识来求解。17设 aR，若 x0 时均有 (a1)x1( x 2ax1)0，则 a_【解析 】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：(A)2(1)1010axxax， 无解；(B)

19、2(1)1010axxax， 无解因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题其实在 x0 的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负(如下答图 ) 我们知道：函数y1(a1)x1，y2x 2ax1 都过定点P(0，1)考查函数y1(a1)x 1：令 y0，得 M(11a，0)，还可分析得：a1；考查函数y2x2ax 1：显然过点M(11a，0)，代入得：211011aaa，解之得：230aa或，舍去0a，得答案：23a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

20、 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 【答案 】23a【考点定位 】考察参数不等式的解法，既可数形结合法，也可分类讨论法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 三、解答题：本大题共5 小题，共72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18(本小题满分14 分)在ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c已知 cosA23，sinB5cosC()求

21、tanC 的值；()若 a2，求ABC 的面积【解析 】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。()cosA230， sinA251cos3A，又5cosC sinBsin(AC)sinAcosCsinCcosA 53cosC23sinC整理得： tanC5()由 tanC=5及 sinB5cosC 可知cosC0，故可求出sinC56,cosC=61.所以，sinB=65又由正弦定理知：sinsinacAC，故3c又BacSsin21=653221=52ABC 的面积为： S52【答案 】() 5；( ) 52【考点定位 】考察三角函数求值，解三角形，是常见题型

22、。19(本小题满分14 分 )已知箱中装有4 个白球和5 个黑球，且规定：取出一个白球得2 分，取出一个黑球得1 分现从该箱中任取(无放回， 且每球取到的机会均等)3 个球， 记随机变量X 为取出 3 球所得分数之和()求 X 的分布列；()求 X 的数学期望E(X)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 【解析 】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。() X 的可能取值有：3，4，5，635395(3)42CP

23、XC；21543920(4)42C CP XC2110；12543915(5)42C CP XC145；34392(6)42CP XC211故，所求X 的分布列为X 3 4 5 6 P 5422110145211() 所求 X 的数学期望E(X)为：E(X)=31321161455211044253【答案 】()见解析； () 313【考点定位 】考察离散型随机变量的分布列和期望，首先要先明确随机变量的可能取值，再正确的求概率，然后求期望即可。20(本小题满分15 分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面是边长为2 3 的菱形，且BAD120 ，且 PA平面 ABCD， PA 2 6 ，M， N

24、 分别为 PB，PD 的中点()证明： MN平面 ABCD ；() 过点 A 作 AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ 的平面角的余弦值【解析 】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。()如图连接BDM， N 分别为 PB，PD 的中点，在PBD 中， MNBD又 MN平面 ABCD，MN平面 ABCD；()在菱形 ABCD 中，0120BAD得，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - AC=AB=

25、BC=CD=DA ABBD3由因为 PA面 ABCD ，所以ABPA,ACPA,ADPA所以 PB=PC=PD.所以PDCPBC。而 M、N 分别是 PB、PD 的中点，所以MQ=NQ ，且 AM=ANPDPB2121取线段 MN 的中点 E，连结 AE、EQ，则MNQEMNAE,，所以AEQ为二面角QMNA的平面角。由 AB=32，62PA，故在 AMN 中， AM=AN=3 ，MN=21BD=3 ，得233AE在 RtPAC 中，PCAQ，得 AQ=22,QC=2，PQ=4 在 PBC 中，652cos222?PCPBBCPCPBBPC，得5cos222?BPCPQPMPQPMMQ在等腰

26、MQN 中， MQ=NQ=5，MN=3 ，得21122MEMQQE在 AEQ 中，233AE，211QE，22AQ，得33332cos222?QEAEAQQEAEAEQ所求二面角AMNQ 的平面角的余弦值为105【答案 】()见解析； () 105【考点定位 】考察平行关系的证明与二面角的求解，掌握定理，正确理解空间位置是关键。21(本小题满分15 分 )如图，椭圆C：2222+1xyab(ab0)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - -

27、 - - - - - 的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10 不过原点O 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且线段AB 被直线 OP 平分()求椭圆 C 的方程；() 求ABP 的面积取最大时直线l 的方程【解析 】()由题：12cea； (1) 左焦点 (c，0)到点 P(2，1)的距离为：22(2)1dc10 (2) 由(1) (2) 可解得：222431abc，所求椭圆C 的方程为：22+143xy()设 A),(11yx， B),(22yx，线段 AB 的中点为R 当直线 AB 与 x 轴垂直时，直线AB 的方程为x=0，与不过原点的条件不符，舍去。故可设直线 A

28、B 的方程为)0(bbkxy由13422yxbkxy消去 y 整理得，01248)34(222bkbxxk（1） 则0)124)(34(4642222bkbk，341243482221221kbxxkkbxx所以线段AB 的中点 R 坐标为)343,344(22kbkkb，因为 R 在 OP 直线上，所以有22432433kkbkb，得 b=0(舍去 )或23k此时方程（ 1）为033322bbxx，则0)12(32b，3322121bxxbxx所以，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

29、- - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 2212126391bxxkAB?设 P 到直线 AB 的距离为d，则13424928bbd设 ABP的 面 积 为S ， 则)12()4(632122bbdABS?， 其 中)32 ,0()0 ,32(b。令22)4)(12()(bbbf，)32,0()0,32(b)71)(71)(4(4)62)(4(4)(2bbbbbbbf所以当且仅当71b，f(x) 有最大值，即APB 的面积最大。综上，直线l 的方程为027223yx【答案 】 () 22+143xy；()027223yx【考点定位 】该题综合考察椭圆的标准方

30、程，直线和椭圆的位置关系。22(本小题满分14 分)已知 a0，bR，函数342fxaxbxab()证明：当 0 x1 时，()函数fx的最大值为 |2ab|a；() fx|2ab|a 0；() 若 1fx1 对 x0，1恒成立，求ab 的取值范围【解析 】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。() ()2122fxaxb当 b0 时，2122fxaxb 0在 0 x1 上恒成立，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 -

31、- - - - - - - - 此时fx的最大值为：1423fababab|2ab|a；当 b0 时，2122fxaxb在 0 x1 上的正负性不能判断，此时fx的最大值为：max2max(0)1 max()332babafxffbaabab ba，（），()，|2ab|a；综上所述：函数fx在 0 x1 上的最大值为|2ab|a；() 要证fx|2a b|a0，即证g xfx|2ab|a亦即证gx在 0 x1 上的最大值小于(或等于 )|2ab|a，342g xaxbxab，令212206bgxaxbxa当 b0 时，2122gxaxb0 在 0 x1 上恒成立，此时g x的最大值为：03g

32、abab|2ab|a；当 b0 时，2122gxaxb在 0 x1 上的正负性不能判断，maxmax ()1 6bgxgga，（）4max2 36463662bbabbaabbababababa，|2ab|a；综上所述：函数gx在 0 x1 上的最大值小于(或等于 )|2ab|a即fx|2ab|a 0 在 0 x1 上恒成立()由()知：当10 x，abaxf2)(max，所以12aba若12aba，则由（ ii）知1)2()(abaxf所以1)(1xf对任意10 x恒成立的充要条件是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

33、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 012aaba即0102,01302aabbaababa或（1）在直角坐标系aob 中， （1）所表示的区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC 作一组平行直线a+b=t(Rt), 得31ba。所以 a+b 的取值范围是3 ,1【考点定位 】本题是导数的综合应用题，考察函数的单调性，最值，证明不等式及恒成立问题。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -