最新同济六版高等数学第三章第一节课件75816ppt课件.ppt

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1、同济六版高等数学第三章第一同济六版高等数学第三章第一节课件节课件75816一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理3.1 中值定理上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页二、拉格朗日中值定理观察与思考 设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等 提问： 直线AB的斜率k=? f (x)=?提示：下页 f (x)=abafbf)()( k=abafbf)()( 直线AB的斜率上页下页铃结束返回首页 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开

2、区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得f(b)f(a)=f (x)(ba) v拉格朗日中值定理下页 f (x)=abafbf)()( k=abafbf)()( 直线AB的斜率上页下页铃结束返回首页则函数j(x)在区间a b上满足罗尔定理的条件 于是至少存在一点x(a b) 使j (x)=0 即 简要证明 由此得 f(b)f(a)=f (x)(ba) 令j(x)=f(x)f(a)abafbf)()(xa) 下页 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得f(b)f(a)=f (x)(ba) v拉格朗日中值定理j(x)=

3、f (x)abafbf)()( =0上页下页铃结束返回首页 f(b)f(a)=f (x)(ba) f(xDx)f(x)=f (xqDx)Dx (0q1) Dy=f (xqDx)Dx (0q1) 拉格朗日中值公式下页 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得f(b)f(a)=f (x)(ba) v拉格朗日中值定理注： dy=f (x)Dx是函数增量Dy的近似表达式 f (xqDx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式 上页下页铃结束返回首页 f(b)f(a)=f (x)(ba) f(xDx)f(x)=f (xqDx)Dx (0q1) Dy=

4、f (xqDx)Dx (0q上页下页铃结束返回首页 证明 设f(x)=ln(1x) 显然f(x)在区间0 x上满足拉格朗日中值定理的条件 根据定理 就有 f(x)f(0)=f (x)(x0) 0 xx 又由0 xx 有 例3 例例 2 证明当x0时 xxxx)1ln(1 由于 f(0)=0 xxf=11)( 因此上式即为 x=1)1ln(xx xxxx)1ln(1 首页上页下页铃结束返回首页例4. (p134 6)证明等式证明等式. 1, 1,2arccosarcsin=xxx证证: 设,arccosarcsin)(xxxf=上则在) 1, 1(=)(xf由推论可知Cxxxf=arccosar

5、csin)( (常数) 令 x = 0 , 得.2=C又,2) 1(=f故所证等式在定义域 上成立. 1, 1自证自证:),(x,2cotarcarctan=xx211x211x0经验经验: 欲证Ix时,)(0Cxf=只需证在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf=使上页下页铃结束返回首页三、柯西中值定理v柯西中值定理 函数f(x)及F(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 且F (x)在(a b)内恒不为零 那么在(a b)内至少有一点x 使得)()()()()()(xxFfaFbFafbf= 下页 显然 如果取F(x)=x 那么F(b)F(a)=ba F (x)

6、=1 因而柯西中值公式就可以写成 f(b)f(a)=f (x)(ba) (axb) 这样就变成了拉格朗日中值公式了 柯西中值公式上页下页铃结束返回首页0)()()()()()(=xxfFaFbFafbf)(xj分析分析:)()(aFbF)(abF=ba0要证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx=j上页下页铃结束返回首页证证: 作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx=j)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfajj=,),(,)(内可导在上连续在则babaxj且, ),(bax使, 0)(=xj即由罗尔定理知, 至少存在一点.)()(

7、)()()()(xxFfaFbFafbf=思考思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?),(, )()()(baabfafbf=xx),(, )()()(baabFaFbF=xx两个 x 不一定相同错错! !上面两式相比即得结论. 上页下页铃结束返回首页柯西定理的几何意义:)()()()()()(xxFfaFbFafbf=)(xF)(aF=)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy=注意:xyo弦的斜率切线斜率上页下页铃结束返回首页)0() 1 (ff)0() 1 (FF例5. 设).0() 1 (2)(fff=xxxx2)(01)0() 1 (fff=x=xxxf)()(

8、2,)(2xxF=,) 1 ,0(, 1 ,0)(内可导在上连续在xf至少存在一点),1,0(x使证证: 结论可变形为设则)(, )(xFxf在 0, 1 上满足柯西中值定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 x , 使)(xf =)(xF01x2即)0() 1 (2)(fff=xx证明上页下页铃结束返回首页内容小结内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbf=xxF=)()()(afbf=xxF=)(2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维设辅助函数上

9、页下页铃结束返回首页思考与练习思考与练习1. 设,0)(Cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(x使.cot)()(xxxff=2. 若)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 上页下页铃结束返回首页1. 设,0)(Cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(x使.cot)()(xxxff=提示提示: 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(=xxxxff即0sin)(=xxxxf验证)(xF在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(=上页下页铃结束返回首页2. 若)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 提示提示: 设,0)()(2121xxxfxf=欲证:, ),(21xxx使0)()(=xxff只要证0)()(=xxffxexe亦即0 )(=xxxxfe作辅助函数, )()(xfexFx=验证)(xF在,21xx上满足罗尔定理条件.上页下页铃结束返回首页作业作业P134 8, 9