233空间向量的正交分解及其坐标表示.ppt

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1、2.3.2空间向量的正交分解及其坐标表示1211212212e eaaee .e e 如果 ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使 （ 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.）1.平面向量基本定理：2.平面向量的正交分解及坐标表平面向量的正交分解及坐标表示示xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ijyxa,温故知新温故知新填要点记疑点3.空间向量基本定理(1)如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3，使得a .(2)空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个

2、空间的一个 ，a1e12e23e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的 .1e12e23e3基底分解温故知新温故知新问题探究问题探究xyzOijkQPp 一、空间向量的坐标分解一、空间向量的坐标分解 给定一个空间坐标系和向量给定一个空间坐标系和向量 且设且设 为空间两两垂直的向为空间两两垂直的向量，设点量，设点Q为点为点P在在 所确定平所确定平面上的正投影面上的正投影.p ,ij k , i j 我们知道，平面内的任意一个向量我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用都可以用两个互相垂直且不共线的单位向量两个互相垂直且不共线的单位向量 来表示（平来表示（平面向量基本定理）面向量基本定理）.对于空

3、间任意一个向量，有没有对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？类似的结论呢？p ji,一、空间向量的坐标分解一、空间向量的坐标分解,zkOQ实数存在所确定的平面上在, ,i jx y 在所确定的平面上 存在实数jyi xOQ使得kzOQOP使得kzjyi xkzOQOPxyzQPp Oijk 根据空间向量基本定理根据空间向量基本定理,因为因为 是空间两是空间两两垂直的向量两垂直的向量,所以对空间任一向量所以对空间任一向量 , 存在一个存在一个有序实数组有序实数组 x,y,z使得使得 则称则称 为向量为向量 在在 上的分向量（摄影向量）上的分向量（摄影向量）., ,i j k P ,xi y

4、j zk, ,i j k p .pxiy jzk 二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系xyze1e2e3O 单位正交基底：如果空间的一个基底的单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做单位正交基底基底叫做单位正交基底,常用常用 表示表示.123,e e e 123,e e e 123,e e e 空间直角坐标系：在空间选定一点空间直角坐标系：在空间选定一点O和一和一个单位正交基底个单位正交基底 ,以点以点O为原点，分别为原点，分别以以 的方向为的方向为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方向，轴的正方向，建立一个空间直角坐标系建

5、立一个空间直角坐标系O-xyz123,e e e 123,e e e 123,e e e 123,e e e 123,e e e 123,e e e 121323112233,.e e e e eee e ee ee 计算单位正交基之间的数量积121323112233,.e e e e eee e ee ee 计算单位正交基之间的数量积121323112233,.e e e e eee e ee ee 计算单位正交基之间的数量积121323112233,.e e e e eee e ee ee 计算单位正交基之间的数量积xyzOP(x,y,z)e1e2e3P 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O

6、-xyz中，对空间任一向量中，对空间任一向量 ,平平移使其起点与原点移使其起点与原点o重合重合,得到向量得到向量 由空间向量基由空间向量基本定理可知本定理可知,存在有序实数组存在有序实数组 ,使使opp , ,x y z123Pxeyeze 123Pxeyeze 123, , , , .x y zPe e ePx y z 叫做向量 在单位正交基底下的坐标 记做123, , , , .x y zPe e ePx y z 叫做向量 在单位正交基底下的坐标 记做 此时向量此时向量P的坐标恰是点的坐标恰是点P在直角在直角坐标系坐标系O-xyz中的坐标中的坐标 ，其中其中x叫做点叫做点P的横坐标，的横坐

7、标，y叫做点叫做点P的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点P的竖坐标的竖坐标., ,x y z, ,x y z, ,x y z 显然显然, 向量向量 的坐标，就是点的坐标，就是点P在此在此空间直角坐标系中的坐标空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).aOP xyzOP(x,y,z)也就是说也就是说,以以O为起点的有为起点的有向线段向线段 (向量向量)的坐标可以的坐标可以和终点的坐标建立起一一和终点的坐标建立起一一对应的关系对应的关系,从而互相转化从而互相转化.e1e2e3AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).思考：设思考：设A(x1,

8、y1,z1), B(x2,y2,z2),则则AB的坐标表示是什么？的坐标表示是什么？规律方法规律方法把向量用标准正交把向量用标准正交基表示，再写出其坐标，是解基表示，再写出其坐标，是解决这一类问题的常用方法决这一类问题的常用方法想一想：如何求和想一想：如何求和 平行的单位向量？平行的单位向量？1CA)22,522,1023(1e)22,522,1023(2e想一想：想一想：还能用什么方法求向量还能用什么方法求向量 的坐标的坐标？BADO1,_AM _OB1 _PQ 练习2 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD1、CC

9、1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.z zx xy yA AB BC CD DA A1 1B B1C C1D D1O OM MPQ Q（-2,0,1）（1,1,2）（2,-1,1）课时小结：课时小结：P 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一向量中，对空间任一向量 ,平平移使其起点与原点移使其起点与原点o重合重合,得到向量得到向量 由空间向量基由空间向量基本定理可知本定理可知,存在有序实数组存在有序实数组 ,使使opp opp , ,x y z123Pxeyeze 显然显然, 向量向量 的坐标，就是点的坐标，就是点P在此在此空间直角坐标系中的坐标空间直角坐标系中的坐标(x

10、,y,z).aOP AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).布置作业：布置作业：1 1、课本、课本P38P38习题习题23A23A组第组第2,3,42,3,4题题2 2、全品作业手册全品作业手册课后反思课后反思：（：（1 1）本节课重点探讨空间向量的标准正交分）本节课重点探讨空间向量的标准正交分解和坐标表示，是研究空间向量坐标运算的基础，因此解和坐标表示，是研究空间向量坐标运算的基础，因此掌掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标是本节课的教学重点；（坐标是本节课的

11、教学重点；（2 2）通过类比平面向量的坐）通过类比平面向量的坐标表示，学生对空间向量的坐标表示容易理解，但是要在标表示，学生对空间向量的坐标表示容易理解，但是要在具体问题情境中熟练并准确写出空间几何体的顶点坐标，具体问题情境中熟练并准确写出空间几何体的顶点坐标，尤其是非规则的空间几何体对学生有一定难度；（尤其是非规则的空间几何体对学生有一定难度；（3 3）本）本节课任务完成较好，剩余节课任务完成较好，剩余5 5分钟左右，建议设计一个不太分钟左右，建议设计一个不太规则的几何体，让学生求出向量坐标规则的几何体，让学生求出向量坐标. .例题讲解例题讲解例例 1. 11163312:2312()231

12、21()632OAOBOCOPOMMPOAMNOAONOMOAOBOC 解 23练习练习3已知A( ， ， ）,111xyz1(1)则点A( ， ， ）关于xoy平面的对称点A( ， ，-);111111xyzxyz1(2)则点A( ， ， ）关于yoz平面的对称点A(， ，);111111xyzxyz-1(3)则点A( ， ， ）关于xoz平面的对称点A( ，- ，);111111xyzxyz已知A( ， ， ）,111xyz4(4)则点A( ， ， ）关于x轴的对称点A ( ，- ，-);111111xyzxyz5(5)则点A( ， ， ）关于y轴的对称点A (- ， ，-);111111

13、xyzxyz6(6)则点A( ， ， ）关于z轴的对称点A (- ，- ，)。111111xyzxyz 如图，在正方体如图，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，点点E E、F F分别是分别是A A1 1B B1 1，C C1 1D D1 1的一个四等分点，的一个四等分点，求异面直线求异面直线BEBE与与DFDF所成角的余弦值所成角的余弦值. .x xy yz zE EA AB BC CA A1 1F FB B1 1C C1 1D D1 1D D15cos,17B E D F=uuu r uuu r例例 2. 例题讲解例题讲解 如图，在正方体如图，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E、F F分别是分别是BBBB1 1，B B1 1D D1 1的中点，的中点， 求证：求证：EFAEFA1 1D.D.x xy yz zE EA AB BC CA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1D DF例例 3. 例题讲解例题讲解