2011年数学建模D题天然肠衣搭配优化问答题地答案解析.doc

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1、+-2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目D题 天然肠衣搭配问题摘要该题主要研究生产天然肠衣及其搭配问题，并且要求在一定的原料情况下，生产的成品捆数越多越好，该问题属于线性规划并且为取整线性规划来求最优解问题。根据每种规格的规定，在解题的过程中，我们建立线性方程组作为第一层优化，然后将建立的模型带入到lingo软件中，得到第一层优化最优方案，之后又根据实际进行了第二层优化，得到规格一成品捆数的上限为15捆；规格二成品的捆数的上限为37捆；规格三成品的捆数的上限为137捆；总捆数为188捆。在一定的误差允许范围内，该方案较符合题目所属要求和实际生产情况。并且生产后的剩余废弃原料少，做到了在限

2、定原料内创造最大利润的好处。问题简述：原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。成品规格和原料描述如图所示：表1 成品规格表最短长度最大长度根数总长度36.52089713.588914589表2 原料描述表长度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6.46.5-6.9根数4359394127283421长度7-7.47.5-7.98-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410.5-10.9根数2424202521232118长度11-11.411.5-11.91

3、2-12.412.5-12.913-13.413.5-13.914-14.414.5-14.9根数3123225918253529长度15-15.415.5-15.916-16.416.5-16.917-17.417.5-17.918-18.418.5-18.9根数3042284245495064长度19-19.419.5-19.920-20.420.5-20.921-21.421.5-21.922-22.422.5-22.9根数526349352716122长度23-23.423.5-23.924-24.424.5-24.925-25.425.5-25.9根数060001本题要求建立数学模型

4、设计一个原料搭配方案,按题中所给规格完成原料搭配方案，并符合如下要求：(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3) 为提高原料使用率，总长度允许有 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。模型的假设：1、肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），原料在组装过程中长度不发生变化；2、原料按长度分档，分档后原料不可再被分割；

5、3、将原料长度视为离散变量；4、为提高原料使用率，每捆总长度允许有0.5米的误差，每规格的成品总根数允许比标准少一根。问题分析：天然肠衣由于规定的档次（长度）不同，规格也不一样，所以每个规格的每捆肠衣成品长度不同，考虑到要在相同的成品捆数方案里找出最短长度最长的方案，我们想到了整数规划问题1的解决办法。我们首先把肠衣成品的分配问题分开考虑，按下表中的成品规格表的规格将原料分成三类, 即：长度分布在36.5米的原料为规格一；长度分布在713.5米的原料为规格二；长度分布在1425.5米的原料为规格三。每种规格需要满足表中的根数约束，总长度约束，各区间总根数约束及整数约束。表3 成品规格表规格最短

6、长度最大长度根数总长度136.520892713.5889314589模型建立与求解： 第一层优化符号声明：代表三种成品的捆数（取整）；代表从第个区间取得条数；代表从第个区间肠衣的长度，如3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推； 为第个区间总条数。输入Lingo求得： 理论上，根据原料总根数和总长度以及每捆成品的根数和总长度，可求得规格一成品捆数的上限为14捆；规格二成品的捆数的上限为37捆；规格三成品的捆数的上限为137捆；总捆数为188捆。结果分析：第二层优化表4 原料剩余表长度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6

7、.46.5-6.9剩余根数0016.62500000长度7-7.47.5-7.98-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410.5-10.9剩余根数24241000000长度11-11.411.5-11.912-12.412.5-12.913-13.413.5-13.914-14.414.5-14.9剩余根数00000000长度15-15.415.5-15.916-16.416.5-16.917-17.417.5-17.918-18.418.5-18.9剩余根数00000000长度19-19.419.5-19.920-20.420.5-20.921-21.421.5-21.

8、922-22.422.5-22.9剩余根数1.842110000000长度23-23.423.5-23.924-24.424.5-24.925-25.425.5-25.9剩余根数000000根据某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用的原则。将4-4.4剩余的15根与7-7.4的4根组成一捆规格一，所以经过第二层优化后，规格一15捆，规格二37捆，规格三137捆，共189捆。模型稳定性分析我们所建立的模型通过对目标的最优化问题，使得多目标的规划问题转化为单目标线性规划问题，所以能比较好的反映出各个目标函数的重要程度。而且模型在计算中作了一些舍入和取整，不可避免的产生了一些误差，但是这些误差的

9、是可以容忍的。结论此模型在一定的误差允许范围内，较符合题目所属要求和实际生产情况。并且生产后的剩余废弃原料少，做到了在限定原料内创造最大利润的好处。工人可以工人根据这个方案“照方抓药”进行生产，在一定程度上可提高生产效率。并且此模型易于推广，只需稍加改动就可以推广到解决其他分类封装的问题上。参考文献1姜启源，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003 附：1、lingo程序代码model:sets:c/c1.c8/:a1;d/d1.d14/:a2;e/e1.e24/:a3;r/r1.r8/:b1;s/s1.s14/:b2;t/t1.t24/:b3;allowed(r):q1;allow

10、ed1(s):q2;allowed2(t):q3;endsetsmax = x+y+z;for(r(i):q1(i)=b1(i);for(s(i):q2(i)=b2(i);for(t(i):q3(i)=88.5*x;sum(s(i):q2(i)*a2(i)=88.5*y;sum(t(i):q3(i)*a3(i)=88.5*z;sum(r(i):q1(i)*a1(i)=89.5*x;sum(s(i):q2(i)*a2(i)=89.5*y;sum(t(i):q3(i)*a3(i)=19*x;sum(s(i):q2(i)=7*y;sum(t(i):q3(i)=4*z;sum(r(i):q1(i)=2

11、0*x;sum(s(i):q2(i)=8*y;sum(t(i):q3(i)=5*z;gin(x);gin(y);gin(z);data:a1=3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5; a2=7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5;a3=14 14.5 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 20 20.5 21 21.5 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5;b1= 43 59 39 41 27 28 34 21;b2= 24 24 20 25 21 23 21

12、 18 31 23 22 59 18 25;b3= 35 29 30 42 28 42 45 49 50 64 52 63 49 35 27 16 12 2 0 6 0 0 0 1;enddata2、程序运算结果Global optimal solution found. Objective value: 188.0000 Objective bound: 188.0000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 48 Variable Value Reduced Cost X 14

13、.00000 -1.000000 Y 37.00000 -1.000000 Z 137.0000 -1.000000 A1( C1) 3.000000 0.000000 A1( C2) 3.500000 0.000000 A1( C3) 4.000000 0.000000 A1( C4) 4.500000 0.000000 A1( C5) 5.000000 0.000000 A1( C6) 5.500000 0.000000 A1( C7) 6.000000 0.000000 A1( C8) 6.500000 0.000000 A2( D1) 7.000000 0.000000 A2( D2)

14、 7.500000 0.000000 A2( D3) 8.000000 0.000000 A2( D4) 8.500000 0.000000 A2( D5) 9.000000 0.000000 A2( D6) 9.500000 0.000000 A2( D7) 10.00000 0.000000 A2( D8) 10.50000 0.000000 A2( D9) 11.00000 0.000000 A2( D10) 11.50000 0.000000 A2( D11) 12.00000 0.000000 A2( D12) 12.50000 0.000000 A2( D13) 13.00000

15、0.000000 A2( D14) 13.50000 0.000000 A3( E1) 14.00000 0.000000 A3( E2) 14.50000 0.000000 A3( E3) 15.00000 0.000000 A3( E4) 15.50000 0.000000 A3( E5) 16.00000 0.000000 A3( E6) 16.50000 0.000000 A3( E7) 17.00000 0.000000 A3( E8) 17.50000 0.000000 A3( E9) 18.00000 0.000000 A3( E10) 18.50000 0.000000 A3(

16、 E11) 19.00000 0.000000 A3( E12) 19.50000 0.000000 A3( E13) 20.00000 0.000000 A3( E14) 20.50000 0.000000 A3( E15) 21.00000 0.000000 A3( E16) 21.50000 0.000000 A3( E17) 22.00000 0.000000 A3( E18) 22.50000 0.000000 A3( E19) 23.00000 0.000000 A3( E20) 23.50000 0.000000 A3( E21) 24.00000 0.000000 A3( E2

17、2) 24.50000 0.000000 A3( E23) 25.00000 0.000000 A3( E24) 25.50000 0.000000 B1( R1) 43.00000 0.000000 B1( R2) 59.00000 0.000000 B1( R3) 39.00000 0.000000 B1( R4) 41.00000 0.000000 B1( R5) 27.00000 0.000000 B1( R6) 28.00000 0.000000 B1( R7) 34.00000 0.000000 B1( R8) 21.00000 0.000000 B2( S1) 24.00000

18、0.000000 B2( S2) 24.00000 0.000000 B2( S3) 20.00000 0.000000 B2( S4) 25.00000 0.000000 B2( S5) 21.00000 0.000000 B2( S6) 23.00000 0.000000 B2( S7) 21.00000 0.000000 B2( S8) 18.00000 0.000000 B2( S9) 31.00000 0.000000 B2( S10) 23.00000 0.000000 B2( S11) 22.00000 0.000000 B2( S12) 59.00000 0.000000 B2

19、( S13) 18.00000 0.000000 B2( S14) 25.00000 0.000000 B3( T1) 35.00000 0.000000 B3( T2) 29.00000 0.000000 B3( T3) 30.00000 0.000000 B3( T4) 42.00000 0.000000 B3( T5) 28.00000 0.000000 B3( T6) 42.00000 0.000000 B3( T7) 45.00000 0.000000 B3( T8) 49.00000 0.000000 B3( T9) 50.00000 0.000000 B3( T10) 64.00

20、000 0.000000 B3( T11) 52.00000 0.000000 B3( T12) 63.00000 0.000000 B3( T13) 49.00000 0.000000 B3( T14) 35.00000 0.000000 B3( T15) 27.00000 0.000000 B3( T16) 16.00000 0.000000 B3( T17) 12.00000 0.000000 B3( T18) 2.000000 0.000000 B3( T19) 0.000000 0.000000 B3( T20) 6.000000 0.000000 B3( T21) 0.000000

21、 0.000000 B3( T22) 0.000000 0.000000 B3( T23) 0.000000 0.000000 B3( T24) 1.000000 0.000000 Q1( R1) 43.00000 0.000000 Q1( R2) 59.00000 0.000000 Q1( R3) 22.37500 0.000000 Q1( R4) 41.00000 0.000000 Q1( R5) 27.00000 0.000000 Q1( R6) 28.00000 0.000000 Q1( R7) 34.00000 0.000000 Q1( R8) 21.00000 0.000000 Q

22、2( S1) 0.000000 0.000000 Q2( S2) 0.000000 0.000000 Q2( S3) 10.00000 0.000000 Q2( S4) 25.00000 0.000000 Q2( S5) 21.00000 0.000000 Q2( S6) 23.00000 0.000000 Q2( S7) 21.00000 0.000000 Q2( S8) 18.00000 0.000000 Q2( S9) 31.00000 0.000000 Q2( S10) 23.00000 0.000000 Q2( S11) 22.00000 0.000000 Q2( S12) 59.0

23、0000 0.000000 Q2( S13) 18.00000 0.000000 Q2( S14) 25.00000 0.000000 Q3( T1) 35.00000 0.000000 Q3( T2) 29.00000 0.000000 Q3( T3) 30.00000 0.000000 Q3( T4) 42.00000 0.000000 Q3( T5) 28.00000 0.000000 Q3( T6) 42.00000 0.000000 Q3( T7) 45.00000 0.000000 Q3( T8) 49.00000 0.000000 Q3( T9) 50.00000 0.00000

24、0 Q3( T10) 64.00000 0.000000 Q3( T11) 50.15789 0.000000 Q3( T12) 63.00000 0.000000 Q3( T13) 49.00000 0.000000 Q3( T14) 35.00000 0.000000 Q3( T15) 27.00000 0.000000 Q3( T16) 16.00000 0.000000 Q3( T17) 12.00000 0.000000 Q3( T18) 2.000000 0.000000 Q3( T19) 0.000000 0.000000 Q3( T20) 6.000000 0.000000 Q3( T21) 0.000000 0.000000 Q3( T22) 0.000000 0.000000 Q3( T23) 0.000000 0.000000 Q3( T24) 1.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 188.0000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 16.62500 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000