2022年高三数学第一轮复习等比数列数列求和人教版 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载高三数学第一轮复习：等比数列、数列求和人教版【本讲教育信息 】一. 教学内容：等比数列、数列求和二. 重点、难点：1. 理解等比数列的有关概念；掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，并能运用这些知识解决一些简单的实际问题。2. 通过观察数列通项公式的特点选择合适的方法，求数列的前n项和。【典型例题】例 1 在等比数列na中，128,66121nnaaaa，126nS，求n和q。解： 因na是等比数列，故128112nnaaaa，结合661naa，可知naa 、1是方程0128662xx的两根，解方程，得64,221xx故21a，64na或2,641naa当64, 21naa

2、时，12611qqaaSnn，得2q又因为64na，6411nqa，故n6当641a，2na时，1261264,12611qqqqaaSnn得21q又因为6,2, 211nqaann综上所述，6n，公比2q或21例 2 已知数列na为等差数列，公差0d，na的部分项组成下列数列：nkkkaaa,21，恰为等比数列，其中11k，17, 532kk，求321kkknk解： 设na的首项为1a321kkkaaa、成等比数列)16()4(1121daada得da21，312kkaaqdkaankn) 1(1，又113nkaan1321nnknkkknn)331(21211331312nnnn例 3 设

3、na为等差数列，nb为等比数列，111ba，342baa，342abb，分别求出na，nb的前 10 项的和1010,TS。解： 由na为等差数列，nb为等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载3422aaa，2342bbb由已知342342,abbbaa，得23333,2baab2332bb03b213b413a由41, 131aa知na的公差为83d855291010110daS由21, 131bb知22q或22)22(323110T或)22(3231例 4 设等比数列na的各项均为正数，项

4、数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍， 且第二项与第四项的积是第3 项与第 4 项和的 9 倍， 问数列lgna的前多少项和最大？（3.02lg，4 .03lg）解：方法一：设公比为q，项数为m2，*Nm，依题意有)(9)()(1)1(41)1(312131122121qaqaqaqaqqqaqqamm化简得)1(911421qqaqq解得108311aq设数列lgna前n项和为nS，则)1(21111211lglglglgnnnnqaqaqaaS)3lg32lg2(lg) 1(21lg1nqnnan2)23lg(3lg)1(21nnnn)3lg272lg2(可见，当3lg3lg272l

5、g2n时，nS最大而54.024. 073.043lg3lg272lg2，故lgna的前 5 项和最大方法二： 接前，311081qa于是31lg)1(108lg)3(108lglg1nann 数列lgna是以108lg为首项，以31lg为公差的等差数列，令0lgna，得03lg)4(2lg2n5.54 .04.043.023lg3lg42lg2n由于*Nnlgna的前 5 项和最大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载例 5 求数列的前n项和：)23(1,71, 41, 1112naaan，解： 设

6、)71()41()11 (2aaSn)231(1nan)23(741)1111(12naaaSnn当1a时，2)13(2)13(nnnnnSn当1a时，2) 13(12)13(11111nnaaannaaSnnn例 6 在数列na中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列nb的前n项的和。解： 211211nnnnnan)111(82122nnnnbn 数列nb的前n项和)111()4131()3121()211(8nnSn18)111(8nnn例 7求88sin3sin2sin1sin222289sin2的值。解： 设88sin3sin2sin1sin2222S89sin2将式右

7、边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S又 1cossin),90cos(sin22xxxx+得)2cos2(sin)1cos1(sin22222S)89cos89(sin22895 .44S例 8 已知数列na满足精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载1a，,12312nnaaaaaa是首项为1，公比为31的等比数列。（1）求na的表达式；（2）如果) 12( nbnna，求nb的前n项和nS解：（1）11a，当2n时，11)31(nnnaa)()()(123121nnnaa

8、aaaaaa)311 (23)31()31(31112nn因而*),311 (23Nnann（2）)311 (2) 12(3)12(2nnnanb) 12(5312321nbbbSnn)312353331(2nn令nnnT31235333132则311432312332353331nnnnnT得132312)313131(23132nnnnT11312)311(3131nnn故nnnT311又 1+3+5+2)12(nn)311(232nnnnS例 9 已知数列na的前n项和为nS，且满足021nnnSSa（2n） ，211a。（1）求证：1nS是等差数列；（2）求na的表达式；（3）若)2(

9、)1(2nanbnn时，求证：122322nbbb解：（1）证明： 12nnnSSa)2(211nSSSSnnnn0nS（, 3,2, 1n）2111nnSS又21111aS1nS是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载（2）由（ 1）nnSn22) 1(21nSn21当2n时，)1(21) 1(21211nnnnSSannn或2n时，)1(2121nnSSannn 当1n时，2111aS2,)1(211,21nnnnan（3）证明： 由（2）知，nnnnanbn

10、n1)1(21)1 (2)1(22222232213121nbbbnnn)1(1321211111)111()3121()211(nnn【模拟试题】一. 选择题：1. 在各项都为正数的等比数列na中，首项31a，前三项和为21，则543aaa等于（）A. 33 B. 72 C. 84 D. 189 2. 若等比数列an的公比0q，前n项和为nS，则98aS与89aS的大小关系是（）A. 8998aSaSB. 8998aSaSC. 8998aSaSD. 不确定3. 已知数列na满足10a，110nnaaaa（1n） ，则当1n时，na等于（）A. n2B. ) 1(21nnC. 12nD. 12

11、n4. 在数列na中，若nnaaa221，则33231naaa等于（）A. n8B. )18(71nC. )16(51nD. )68(781n5. 化简4321132112111n3211（*Nn）的结果是（）A. 1nnB. 12nnC. 122nnD. 12nn6. 数列)1(nn的前n项和为nS，则2006S等于（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载A. 1003 B. 1003C. 2006 D. 20067. )()3()2()1(32naaaan等于（）A. 2)1(1)1(nnaaa

12、nB. 2)1(1)1(1nnaaanC. 2)1(1)1(1nnaaanD. )1(2)1(1)1(annaaan或)1(22ann8. 某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则下列关系正确的是（）A. 2baxB. 2baxC. 2baxD. 2bax二. 解答题：1. 等比数列na的各项均为正数，其前k项中，数值最大的一项是54，若该数列的前k项之和为kS，且kS=80，65602kS，求：（1）前 100 项之和100S；（2）通项公式na。2. 已知数列1，x3，25x，1)12(nxn（0 x） ，求数列的前n项和。3. 已知nnn

13、nnnbabbabaau1221)0,0,(*baNn（1）当ba时，求数列nu的前n项和nS；（2）求1limnnnuu4. 设数列na是公差为d，且首项为da0的等差数列， 求和：11001nnnCaCaSnnnCa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载【试题答案】一. 1. C 解析： 21)1(21321qqaaaa，31a2q或3（舍）而84723)1(2221543qqqaaaa2. A 解析： 由等比数列通项公式和前n项和公式得818189981)1(qaqqaaSaSqqqqqaqaq

14、qa1)()(1)1(16716821719172178211)(qaqqqa又0q，则08998aSaS， 即8998aSaS3. C 解析： 由已知)1(110naaaann且10a得到110121aa，1210222aaa，13210324aaaa，143210428aaaaa由此猜想出)1(21nann4. D 解析： 由nnaaa221，得111222nnnnnnSSa（2n） ，当1n时，21a不适合，所以33633332312222nnaaa)68(781n5. B 解析： )1(2211kkkak)111()3121()211(2)1(13212112nnnnSn12)111(

15、2nnn6. A 解析：11112 00 62 0 0 520 0 443212 0 0 6S（共 1003个） =1003 7. D 解析： 原式)321 ()(2naaan1,2) 1(1)1(1,22) 1(2annaaaannnnnn8. B 解析： 设平均增长率为x，则第三年产量为2)1 (xA，所以应该有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载)1)(1()1(2baAxA即)1)(1()1(2bax212111)1)(1(bababax从而2bax二. 1. 解：设公比为qkkkSSS64

16、8021q，则最大项是11kkqaa（0ka） 又801)1 (1qqaSkk65601)1(212qqaSkk由解得3,21qa，则（1）前 100 项之和1313)13(2100100100S（2）通项公式为132nna2. 解： 由题意可知，)12(1nxn的通项是等差数列 12 n的通项与等比数列1nx的通项之积，设132)12(7531nnxnxxxSnnxnxxxxxS)12(753432（设置错位）得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）当1x时，利用等比数列的求和公式，得nnnxnxxxSx)12(1121)1(121)1()1() 12()12

17、(xxxnxnSnnn当1x时，2nSn3. 解析：（1）当ba时，nnanu)1(，这时数列na的前n项和32432aaaSn+nnanna)1(1式两边同乘以a，得1432)1(432nnnannaaaaaS式减去式，得132)1(2)1(nnnanaaaaSa若1a，aanaaaSannn1)1(1)1()1(221212)1 (2)2() 1(1) 1()1 ()1(aaaananaanaaaaSnnnnn若2)3() 1(32,1nnnnSan（2）由（ 1） ，当ba时，nnanu)1(则annanaanuunnnnnnn) 1(lim) 1(limlim11精选学习资料 - -

18、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载当ba时，)()(1 211nnnnnnnabababababbaau)(11)(1111nnnnbabaababa此时，nnnnnnbabauu111若0ba，aababbababauunnnnnnnnnnn)(1)(limlimlim111若0ab，bbabbaauunnnnnn1)()(limlim14. 解析： nnnnnnCaCaCaS11001nnnnnnnnnnnnnnCaCaCaCaCaCaS011000111nnnnnnnnCaaCaaCaaS)()()(20111001nnnnnnnaaCCCaa2)()(01001012)(nnnaaS又nddadan,0112)2(nnndS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页