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1、2 “决策” 一词来源于英语 Decision making，直译为“做出决定”。所谓决策，就是为了实现预定的目标在若干可供选择的方案中，选出一个最佳行动方案的过程，它是一门帮助人们科学地决策的理论。9一、最大最小准则（悲观准则，一、最大最小准则（悲观准则， Wald， 1951） 决策者从最不利的角度去考虑问题，先选出每个方决策者从最不利的角度去考虑问题，先选出每个方案在不同自然状态下的最小收益值（最保险），然后从这案在不同自然状态下的最小收益值（最保险），然后从这些最小收益值中取最大的，从而确定行动方案。些最小收益值中取最大的，从而确定行动方案。用用 ( Si，Nj ) 表示收益值表示收益

2、值 自然状态自然状态 行动方案行动方案 N1 （需求量大需求量大） N2 （需求量小需求量小） min (Si, Nj) 1 j 2 S1（大批量生产大批量生产） 30 -6 -6 S2（中批量生产中批量生产） 20 -2 -2 S3（小批量生产小批量生产） 10 5 5(max) 10即确定值即确定值 所对应的方案为行动方案。所对应的方案为行动方案。 在本例中在本例中故它所对应的方案故它所对应的方案 S3 为行动方案。为行动方案。),(minmax11jikjmiNS5),(minmax2131jijiNS11二、最大最大准则（乐观准则）二、最大最大准则（乐观准则） 决策者从最有利的角度去考

3、虑问题，先选出每个方决策者从最有利的角度去考虑问题，先选出每个方案在不同自然状态下的最大收益值（最乐观），然后从案在不同自然状态下的最大收益值（最乐观），然后从这些最大收益值中取最大的，从而确定行动方案。这些最大收益值中取最大的，从而确定行动方案。 用用 ( Si，Nj ) 表示收益值表示收益值 自自然然状状态态 行行动动方方案案 N1 （需需求求量量大大） N2 （需需求求量量小小） max (Si, Nj) 1 j 2 S1（大大批批量量生生产产） 30 -6 30(max) S2（中中批批量量生生产产） 20 -2 20 S3（小小批批量量生生产产） 10 5 10 12即确定值即确定值

4、 所对应的方案为行动方案。所对应的方案为行动方案。 在本例中在本例中故它所对应的方案故它所对应的方案 S1 为行动方案。为行动方案。),(maxmax11jikjmiNS30),(maxmax2131jijiNS13三、等可能性准则三、等可能性准则 ( Laplace 准则准则 ，1825) 决策者把各自然状态发生的机会看成是等可能的，决策者把各自然状态发生的机会看成是等可能的，即，设每个自然状态发生的概率为即，设每个自然状态发生的概率为 1/自然状态自然状态(事件事件)数，数，然后计算各行动方案的收益期望值，从而确定行动方案。然后计算各行动方案的收益期望值，从而确定行动方案。 用用 E(Si

5、 ) 表示第表示第 i 方案的收益期望值方案的收益期望值 自然状态自然状态 行动方案行动方案 N1 （需求量大需求量大） p = 1/2 N2 （需求量小需求量小） p = 1/2 收益期望值收益期望值 E (Si) S1（大批量生产大批量生产） 30 -6 12(max) S2（中批量生产中批量生产） 20 -2 9 S3（小批量生产小批量生产） 10 5 7.5 14即确定值即确定值 所对应的方案为行动方案。所对应的方案为行动方案。 在本例中在本例中故它所对应的方案故它所对应的方案 S1 为行动方案。为行动方案。 ),(1)(max11kjjiimiNSkSE,12 ),(21)(max2

6、131jjiiiNSSE15四、乐观系数四、乐观系数( (折衷折衷) )准则准则( Hurwicz 胡魏兹准则，胡魏兹准则，1951) 决策者取乐观准则和悲观准则的折衷。先确定一个决策者取乐观准则和悲观准则的折衷。先确定一个乐观系数乐观系数 （01），然后计算：，然后计算：CVi = max (Si，Nj) +（1- ）min (Si，Nj ) 最后从这些折衷标准收益值最后从这些折衷标准收益值 CVi 中选取最大的，从而确定中选取最大的，从而确定行动方案。行动方案。（取取 = 0.7） 自自然然状状态态 行行动动方方案案 N1 （需需求求量量大大） N2 （需需求求量量小小） CVi S1（大

7、大批批量量生生产产） 30 -6 19.2(max) S2（中中批批量量生生产产） 20 -2 13.4 S3（小小批批量量生生产产） 10 5 8.5 16即确定值即确定值 所对应的方案为行动方案。所对应的方案为行动方案。 在本例中在本例中故它所对应的方案故它所对应的方案 S1 为行动方案。为行动方案。),(min)1 (),(maxmax111jikjjikjimiNSNSCV,2 .19),(min3 . 0),(max7 . 0max111jikjjikjimiNSNSCV17五、后悔值准则（五、后悔值准则（Savage 沙万奇准则，沙万奇准则，1951） 决策者从后悔的角度去考虑问题

8、，把在不同自然状决策者从后悔的角度去考虑问题，把在不同自然状态下的最大收益值作为理想目标，把各方案的收益值与这态下的最大收益值作为理想目标，把各方案的收益值与这个最大收益值的差称为未达到理想目标的个最大收益值的差称为未达到理想目标的后悔值后悔值，然后从，然后从各方案最大后悔值中取最小者，从而确定行动方案。各方案最大后悔值中取最小者，从而确定行动方案。自然状态自然状态行动方案行动方案N1（需求量大需求量大）N2（需求量小需求量小）S1 (大批量生产大批量生产)30-6S2 (中批量生产中批量生产)20-2S3 (小批量生产小批量生产)105自然状态最大值自然状态最大值30518 自自然然状状态态

9、 行行动动方方案案 N1 （需需求求量量大大） N2 （需需求求量量小小） max aij 1 j 2 S1（大大批批量量生生产产） 0 11 11 S2（中中批批量量生生产产） 10 7 10 (min) S3（小小批批量量生生产产） 20 0 20 用用aij 表示后悔值，构造表示后悔值，构造后悔值矩阵后悔值矩阵：19即确定值即确定值 所对应的方案为行动方案。所对应的方案为行动方案。 在本例中在本例中故它所对应的方案故它所对应的方案 S2 为行动方案。为行动方案。ijkjmia11maxmin,10maxmin2131ijjia202 风险型情况下的决策风险型情况下的决策特征：特征：1、自

10、然状态已知；自然状态已知；2、行动方案已知；行动方案已知；3、各方案在不同自然状态下的收益值已知；各方案在不同自然状态下的收益值已知；4、自然状态自然状态的发生不确定，但发生的的发生不确定，但发生的概率分概率分布已知。布已知。21一、最大可能准则一、最大可能准则 由由概率论知识可知，概率越大的事件其发生的概率论知识可知，概率越大的事件其发生的可能性就越大。因此，可能性就越大。因此，(在一次或极少数几次的决策在一次或极少数几次的决策中，中，) 可认为概率最大的自然状态将发生，按照确可认为概率最大的自然状态将发生，按照确定型问题进行讨论。定型问题进行讨论。 自自然然状状态态 行行动动方方案案 N1

11、 （需需求求量量大大） p(N1) = 0.3 N2 （需需求求量量小小） p(N2) = 0.7 概概率率最最大大的的 自自然然状状态态 N2 S1（大大批批量量生生产产） 30 -6 -6 S2（中中批批量量生生产产） 20 -2 -2 S3（小小批批量量生生产产） 10 5 5 (max) 22二、期望值准则二、期望值准则 根据各自然状态发生的概率，求不同方案的期根据各自然状态发生的概率，求不同方案的期望收益值，取其中最大者为选择的方案。望收益值，取其中最大者为选择的方案。 E(Si) = P(Nj) (Si，Nj) 自自然然状状态态 行行动动方方案案 N1 （需需求求量量大大） p(N

12、1) = 0.3 N2 （需需求求量量小小） p(N2) = 0.7 E(Si) S1（大大批批量量生生产产） 30 -6 4.8 S2（中中批批量量生生产产） 20 -2 4.6 S3（小小批批量量生生产产） 10 5 6.5 (max) 例例 223即确定值即确定值 所对应的方案为行动方案。所对应的方案为行动方案。 在例在例 2 中中故它所对应的方案故它所对应的方案 S3 为行动方案。为行动方案。 ),()()(max11kjjijimiNSNPSE,5 . 6),(7 . 0),(3 . 0)(max2131NSNSSEiiii24三、决策树法三、决策树法 前面的前面的决策问题大多是用决

13、策表来表示和分析问决策问题大多是用决策表来表示和分析问题的，它的优点是简单易行。但是，对于一些较为复题的，它的优点是简单易行。但是，对于一些较为复杂的决策问题，如多级决策问题，只用表格是难以表杂的决策问题，如多级决策问题，只用表格是难以表达和分析的。达和分析的。 决策树法是另一种表示和分析决策问题的方法，决策树法是另一种表示和分析决策问题的方法，它具有直观形象、思路清晰的优点，但其原理同样是它具有直观形象、思路清晰的优点，但其原理同样是使用期望值准则进行决策。使用期望值准则进行决策。25用决策树法进行用决策树法进行决策的具体步骤如下：决策的具体步骤如下：(1) 从左向右绘制决策树；从左向右绘制

14、决策树；(2) 从右向左计算各方案的期望值，并将结果标在相应从右向左计算各方案的期望值，并将结果标在相应方案节点的上方；方案节点的上方；(3) 选收益期望值最大选收益期望值最大 (损失期望值最小损失期望值最小) 的方案为最的方案为最优方案，并在其它方案分支上打优方案，并在其它方案分支上打记号，称记号，称剪枝方案剪枝方案。 符号说明：符号说明： 决策点决策点 - 后跟方案分支；后跟方案分支； 方案方案节点节点 - 后跟概率分支；后跟概率分支； 结果节点结果节点 - 后跟收益值。后跟收益值。26例例2 的决策树法。的决策树法。根据上图可知根据上图可知 S3 是最优方案，收益期望值为是最优方案，收益

15、期望值为6.5。决策S1S2S3大批量生产中批量生产小批量生产N1( 需求量大 )；P(N1) = 0.3N1( 需求量大 )；P(N1) = 0.3N1( 需求量大 )；P(N1) = 0.3N2( 需求量小 )；P(N2) = 0.7N2( 需求量小 )；P(N2) = 0.7N2( 需求量小 )；P(N2) = 0.730-62010-254.84.66.56.527四、灵敏度分析四、灵敏度分析 就是分析决策所用的数据在什么范围内变化时，就是分析决策所用的数据在什么范围内变化时，原最优决策方案仍然有效。本节只对自然状态发生的原最优决策方案仍然有效。本节只对自然状态发生的概率进行灵敏度分析

16、，即考虑自然状态发生概率的变概率进行灵敏度分析，即考虑自然状态发生概率的变化如何影响最优方案的决策。化如何影响最优方案的决策。 例：例：取前例取前例 P(N1) = 0.6 , P(N2) = 0.4，则有则有 E(S1) = 0.630 + 0.4(-6) = 15.6， E(S2) = 0.620 + 0.4(-2) = 11.2， E(S3) = 0.610 + 0.45 = 8。随着自然状态概率的变化，最优方案由随着自然状态概率的变化，最优方案由 S3 变成了变成了S1 。28 一般地，设一般地，设 P(N1) = p , P(N2) = 1- p ，则有则有 E(S1) = p30

17、+ (1-p)(-6) = 36p6， E(S2) = p20 + (1-p)(-2) = 22p2， E(S3) = p10 + (1-p)5 = 5p + 5。 为说明问题，我们把以上三个直线方程放在同一直为说明问题，我们把以上三个直线方程放在同一直角坐标系中表示出来，如下图所示：角坐标系中表示出来，如下图所示：29010.3548p取S3取S1E(S1)= 36p6E(S2)= 22p2E(S3) = 5p + 5由上图可见，直线由上图可见，直线 E(S1) 与与 E(S3) 的焦点为：的焦点为： E(S1) = 36p6 = 5p + 5 = E(S3) ，p = 0.3548 。30

18、因为，当因为，当 p 0.3548 时，时， E(S1) 的取值为最大，这时行动方案的取值为最大，这时行动方案 S1 为最优行动方案；故我为最优行动方案；故我们称们称 p = 0.3548 为为转折概率转折概率。在实际工作中，如果状态概率、收益值在其可能发生变在实际工作中，如果状态概率、收益值在其可能发生变化的范围内变化时，最优方案保持不变，则这个方案是化的范围内变化时，最优方案保持不变，则这个方案是比较比较稳定的稳定的。反之如果参数稍有变化时，最优方案就有。反之如果参数稍有变化时，最优方案就有变化，则这个方案就是变化，则这个方案就是不稳定的不稳定的，需要我们作进一步的，需要我们作进一步的分析

19、。就分析。就 N1 发生的概率而言，当其概率值越远离转折概发生的概率而言，当其概率值越远离转折概率时，其相应的最优方案就越稳定；反之，就越不稳定率时，其相应的最优方案就越稳定；反之，就越不稳定.31五、全情报的价值五、全情报的价值（EVPI）n全情报全情报：关于自然状态的确切的信息。：关于自然状态的确切的信息。n全情报的价值全情报的价值，记为，记为EVPI，即全情报所带来的额外即全情报所带来的额外收益。收益。 通常为了获得全情报，需要一定的投资通常为了获得全情报，需要一定的投资(经费经费) 。为此，我们有必要事先计算出全情报的价值，以便我为此，我们有必要事先计算出全情报的价值，以便我们作出是否

20、投资的决策，即如果获得全情报的成本小们作出是否投资的决策，即如果获得全情报的成本小于全情报的价值，决策者就应该投资获得全情报，反于全情报的价值，决策者就应该投资获得全情报，反之，决策者就不应该投资获得全情报。之，决策者就不应该投资获得全情报。 32 在例在例 2 中，当我们不掌握全情报时，我们得到中，当我们不掌握全情报时，我们得到 S3 是最优行动方案，其数学期望最大值为是最优行动方案，其数学期望最大值为 0.310 + 0.75 = 6.5 (万万)。 我们称它为我们称它为没有全情报的期望收益没有全情报的期望收益，记为，记为 EVW0PI 。假定全情报告诉决策者自然状态是假定全情报告诉决策者

21、自然状态是 N1，决策者必采，决策者必采取方案取方案 S1，可获得收益可获得收益30万；当全情报告诉决策者自万；当全情报告诉决策者自然状态为然状态为 N2 时，决策者必采取方案时，决策者必采取方案 S3，可获得收益可获得收益 5 万。遗憾的是，这时我们并不知道全情报，但我们万。遗憾的是，这时我们并不知道全情报，但我们可以计算出全情报的期望收益。因为可以计算出全情报的期望收益。因为N1 发生的概率为发生的概率为330.3；N2 发生的概率为发生的概率为 0.7，于是我们有全情报的期于是我们有全情报的期望收益为望收益为EVWPI = 0.330 + 0.75 = 12.5 (万万)于是全情报的价值

22、为于是全情报的价值为 EVPI = EVWPI - EVW0PI = 12.5 - 6.5 = 6 (万万) 即这个例子的全情报价值为即这个例子的全情报价值为 6 万。万。 当获得这个全情报需要的成本小于当获得这个全情报需要的成本小于 6 万时，万时，34决策者应该对取得全情报投资，否则不应投资。决策者应该对取得全情报投资，否则不应投资。 由上述分析可以得到由上述分析可以得到 全情报的价值全情报的价值 =全情报的期望收益没有全情报的最大期望收全情报的期望收益没有全情报的最大期望收益益即即EVPI = EVWPIEVW0PI),(max )(11jimikjjNSNP.),()(max11kjj

23、ijmiNSNP35六、具有样本情报的决策分析六、具有样本情报的决策分析( (贝叶斯决策贝叶斯决策) ) 在例在例 2 中，我们提到根据以往中，我们提到根据以往的经验，估计的经验，估计N1 发生的概率为发生的概率为 0.3，N2 发生的概率为发生的概率为 0.7。我们把。我们把这种由这种由过去的经验或专家估计所获得的将要发生事过去的经验或专家估计所获得的将要发生事件的概率称为先验概率。为了做出可能的最好决策，件的概率称为先验概率。为了做出可能的最好决策，除了先验概率外，决策者要追求关于除了先验概率外，决策者要追求关于自然状态的其自然状态的其他信息，用于修正他信息，用于修正先验概率以得到对先验概

24、率以得到对自然状态更好自然状态更好的概率估计。的概率估计。36 这种另外的信息一般是这种另外的信息一般是通过调查或实验提供的通过调查或实验提供的关于关于自然状态的自然状态的样本信息或称样本情报。当然样本信息或称样本情报。当然这种这种样本情报不是样本情报不是“全全”情报，只是情报，只是“部分部分”情报。以情报。以下仍以例下仍以例 2 为例，说明如何用样本情报来为例，说明如何用样本情报来修正修正先验先验概率，概率，这种修正了的概率我们称之为这种修正了的概率我们称之为后验概率。后验概率。先验概率：先验概率：由由过去的过去的经验或专家估计的将要发生事经验或专家估计的将要发生事件的件的概率概率；后验概率

25、：后验概率：通过最新调查或实验得到的样本信息，通过最新调查或实验得到的样本信息，对先验概率进行对先验概率进行修正后修正后得到得到的概率的概率。37在例在例 2 中中 0.3 和和 0.7 是自然状态是自然状态 N1 和和 N2 发生的概率，也是先发生的概率，也是先验概率。通常我们是得不到全情报的，但是我们可以验概率。通常我们是得不到全情报的，但是我们可以得到得到“部分部分”情报，或称情报，或称样本信息样本信息或或样本样本情报情报。 例，该公司为了得到关于新产品需求量自然状态例，该公司为了得到关于新产品需求量自然状态 自自然然状状态态 行行动动方方案案 N1（需需求求量量大大） p(N1) =

26、0.3 N2（需需求求量量小小） p(N2) = 0.7 S1（大大批批量量生生产产） 30 -6 S2（中中批批量量生生产产） 20 -2 S3（小小批批量量生生产产） 10 5 38的更多的信息，委托一家咨询公司进行市场调查。的更多的信息，委托一家咨询公司进行市场调查。咨询公司进行市场调查的结果也有两种：咨询公司进行市场调查的结果也有两种： 1) 市场需求量大市场需求量大; 2) 市场需求量小。市场需求量小。我们用我们用 I1 表示表示咨询公司调查的结果为咨询公司调查的结果为市场需求量大；市场需求量大；用用 I2 表示表示咨询公司调查的结果为咨询公司调查的结果为市场需求量小。市场需求量小。

27、 根据该咨询公司积累的资料统计得知，该咨询根据该咨询公司积累的资料统计得知，该咨询公司进行市场调查的准确程度如下面的公司进行市场调查的准确程度如下面的 (条件条件) 概率概率:39P(I1 | N1)0.8； P(I2 | N1)0.2；P(I1 | N2)0.1； P(I2 | N2)0.9。我们应该我们应该 1) 如何用如何用样本样本情报进行决策呢？情报进行决策呢？ 2) 用用样本样本情报决策其期望收益应该是多少呢？情报决策其期望收益应该是多少呢？ 3) 样本样本情报的价值是多少呢？情报的价值是多少呢？ 4) 如果如果样本样本情报要价情报要价 3 万元，决策者是否要使用万元，决策者是否要使

28、用样本样本情报呢？情报呢？40 为了解决这些问题或在决策是否使用为了解决这些问题或在决策是否使用样本样本情报情报之前，我们要认真分析一下我们的问题。这里我们之前，我们要认真分析一下我们的问题。这里我们使使用决策树方法进行分析，它适合解决多阶段的用决策树方法进行分析，它适合解决多阶段的决决策问题。由于在决策过程中使用了概率论中的策问题。由于在决策过程中使用了概率论中的贝叶贝叶斯公式，故这一方法又称为贝叶斯决策。斯公式，故这一方法又称为贝叶斯决策。 我们首先画出该问题的决策树我们首先画出该问题的决策树41图图 15-51S4：不搞市场调查：不搞市场调查2S5：搞市场调查：搞市场调查36.57.53

29、42图图 15-12456S1 ：大批量生产大批量生产S2：中批量生产中批量生产S3：小批量生产小批量生产N1( 需求量大需求量大 )；P(N1) = 0.3N1( 需求量大需求量大 )；P(N1) = 0.3N1( 需求量大需求量大 )；P(N1) = 0.3N2( 需求量小需求量小 )；P(N2) = 0.7N2( 需求量小需求量小 )；P(N2) = 0.7N2( 需求量小需求量小 )；P(N2) = 0.730-62010-254.84.66.56.54330-62010-230-6-21097S1 N1；P(N1 / I1 ) = 0.7742521.871205 N2；P(N2 /

30、 I1 ) = 0.2258 N1；P(N1 / I1 ) = 0.7742 N1；P(N1 / I1 ) = 0.7742 N2；P(N2 / I1 ) = 0.2258 N2；P(N2 / I1 ) = 0.2258 N2；P(N2 / I2 ) = 0.9130 N2；P(N2 / I2 ) = 0.9130 N2；P(N2 / I2 ) = 0.9130 N1；P(N1 / I2 ) = 0.0870 N1；P(N1 / I2 ) = 0.0870 N1；P(N1 / I2 ) = 0.0870101112131438S1S2S2S3S315.0328.871-2.868-0.0865

31、.43521.8715.43510.533=7.53P(I1)=0.31I1：结论需求大：结论需求大I2：结论需求小：结论需求小P(I2)=0.69图图15-444决策树中的条件概率计算公式：在自然状态为决策树中的条件概率计算公式：在自然状态为 Nj 的的条件下咨询结果为条件下咨询结果为 Ii 的条件概率，可用的条件概率，可用全概率公式全概率公式计算计算再用再用贝叶斯公式贝叶斯公式计算计算条件概率的定义：条件概率的定义： 乘法公式乘法公式：).(,2, 1)()()(1iNPNIPIPkjjjii).(,2, 1),(,2, 1,)()()()()()(ikjIPNIPNPIPNIPINPij

32、ijijiij)()()(APABPABP)()()(ABPAPABP45决策树中的条件概率计算如下决策树中的条件概率计算如下:(1:(1) )用全概率公式得到用全概率公式得到P(I1) P(N1) P(I1 | N1) P(N2) P(I1 | N2)0.31； P(I2) P(N1) P(I2 | N1) P(N2) P(I2 | N2)0.69。(2) 用贝叶斯公式求得后验概率用贝叶斯公式求得后验概率 P(N1 | I1)P(N1) P(I1 | N1) / P(I1)0.7742；P(N2 | I1)P(N2) P(I1 | N2) / P(I1)0.2258；P(N1 | I2)P(

33、N1) P(I2 | N1) / P(I2)0.0870；P(N2 | I2)P(N2) P(I2 | N2) / P(I2)0.9130。46 从上面的讨论可知，当从上面的讨论可知，当委托咨询公司进行市场委托咨询公司进行市场调查，即具有调查，即具有样本情报时，公司的期望收益可达到样本情报时，公司的期望收益可达到 10.53 万元，比不万元，比不进行市场调查的进行市场调查的公司期望收益公司期望收益 6.5 万元要高，其差额为万元要高，其差额为10.536.5 = 4.03 (万元万元)。因此，当因此，当咨询公司进行市场调查的要价低于咨询公司进行市场调查的要价低于 4.03 万元时，公司可以考虑

34、万元时，公司可以考虑委托其进行市场调查，否则委托其进行市场调查，否则就不宜委托其进行市场调查。现因咨询公司要价就不宜委托其进行市场调查。现因咨询公司要价 3 万元，所以应该万元，所以应该委托其进行市场调查。委托其进行市场调查。47 只包括一级决策的问题叫做只包括一级决策的问题叫做单级决策单级决策问题；包括问题；包括两级或两级以上的决策问题叫做两级或两级以上的决策问题叫做多级决策多级决策问题。问题。 本例是一个多级本例是一个多级(两级两级)决策问题，决策问题，决策树中显示决策树中显示的两级决策是：的两级决策是： 1. 要搞要搞市场调查。市场调查。 2. 根据市场调查的结果组织生产：根据市场调查的

35、结果组织生产： 当调查结论为市场需求量大时进行大批量生产；当调查结论为市场需求量大时进行大批量生产；当调查结论为市场需求量小时进行小批量生产。当调查结论为市场需求量小时进行小批量生产。 这时的最大期望收益为这时的最大期望收益为 7.53 (万元万元)。48n样本情报的价值样本情报的价值( EVSI )(用样本情报进行决策的期望收用样本情报进行决策的期望收益益)(不用样本情报进行决策的期望收益不用样本情报进行决策的期望收益)本例中本例中 EVSI10.536.54.03 (万元万元)。n样本情报的效率样本情报的效率(EVSI / EVPI) 100本例中本例中 (EVSI / EVPI) 100

36、 4.03 / 6 67.17 。n显然，样本情报的效率越高这个样本情报就越好。当样本显然，样本情报的效率越高这个样本情报就越好。当样本情报的效率为情报的效率为100 时，这个样本情报就成了全情报。如时，这个样本情报就成了全情报。如果某个样本情报的效率太低，那么这个样本情报就没有考果某个样本情报的效率太低，那么这个样本情报就没有考虑的价值，应去寻找高效的样本情报。虑的价值，应去寻找高效的样本情报。49 在在“管理运筹学管理运筹学”软件包里有关于决策分析的软件包里有关于决策分析的程序，我们可以用它来做不确定型的决策问题，也程序，我们可以用它来做不确定型的决策问题，也可以用它来做风险型的决策问题，

37、还可以用它来求可以用它来做风险型的决策问题，还可以用它来求出全情报的价值出全情报的价值 (EVPI) ，样本情报的价值，样本情报的价值 (EVSI) 以及样本情报的效率。以及样本情报的效率。503 3 效用理论在决策中的应用效用理论在决策中的应用 效用效用是衡量一个决策方案的总体指标，它可是衡量一个决策方案的总体指标，它可以反映决策者对决策问题中诸如利润、损失、风以反映决策者对决策问题中诸如利润、损失、风险、心理承受能力等各种因素的总体看法。险、心理承受能力等各种因素的总体看法。 使用效用值进行决策，首先把要考虑的因素使用效用值进行决策，首先把要考虑的因素折合成效用值，然后用决策准则选出效用值

38、最大折合成效用值，然后用决策准则选出效用值最大的方案作为最优方案。的方案作为最优方案。51例例3. 某公司是一个小型的进出口公司，目前它面某公司是一个小型的进出口公司，目前它面临着两笔进口生意可做，项目临着两笔进口生意可做，项目 A、B，这两笔生意这两笔生意都需要现金支付。鉴于公司财务状况，公司至多做都需要现金支付。鉴于公司财务状况，公司至多做其中一笔生意。根据以往经验，各自然状态商品需其中一笔生意。根据以往经验，各自然状态商品需求量大、中、小的发生概率以及在各自然状况下做求量大、中、小的发生概率以及在各自然状况下做项目项目 A 或或 B 以及不做任何项目的收益都如下表所以及不做任何项目的收益

39、都如下表所示。求这个问题的最优行动方案。示。求这个问题的最优行动方案。52 （单位：万元）（单位：万元）解：解：计算收益期望值得：计算收益期望值得：E(S1) = 0.360 + 0.540 + 0.2(-100 ) = 18 万E(S2) = 0.3100 + 0.5(- 40)+ 0.2(-60) = -2 万 E(S3) = 0.30 + 0.50 + 0.20 = 0 万 自自然然状状态态 行行动动方方案案 N1 （需需求求量量大大） p(N1) = 0.3 N2 （需需求求量量中中） p(N2) = 0.5 N3 （需需求求量量小小） p(N3) = 0.2 S1（作作项项目目A）

40、60 40 -100 S2（作作项项目目B） 100 -40 -60 S3（不不作作项项目目） 0 0 0 53由收益期望值准则知由收益期望值准则知 S1 是最优方案，最高期望收益是最优方案，最高期望收益 为为 18 万。万。一种考虑：一种考虑：由于公司财务情况不佳，无法承受由于公司财务情况不佳，无法承受 S1 方案中亏损方案中亏损 100 万的风险，也无法承受万的风险，也无法承受 S2 方案中亏损方案中亏损 50 万以上万以上的风险，结果公司选择的风险，结果公司选择 S3 方案方案，即不作任何项目。即不作任何项目。 这样的决策似乎有一定的道理，它的理论基础就这样的决策似乎有一定的道理，它的理

41、论基础就是效用理论。下面我们用效用理论对上述决策加以解是效用理论。下面我们用效用理论对上述决策加以解释。释。54把上表中的最大收益值把上表中的最大收益值 100 万元的效用定为万元的效用定为 10，即，即U(100) = 10；最小收益值最小收益值 100 万元的效用定为万元的效用定为 0，即，即U(-100) = 0。然后，对收益然后，对收益 60 万元确定其效用值，其方法是：请公万元确定其效用值，其方法是：请公司经理选择司经理选择 p 值，使下面两个问题在经理看来是等价的值，使下面两个问题在经理看来是等价的 (1) 稳得收益稳得收益60万；万；(2) 以以 p 的概率得到的概率得到 100

42、万，以万，以 1- p 的概率损失的概率损失 100 万。万。 如果经理认为如果经理认为 p = 0.95 时上面两个问题等价，则我们时上面两个问题等价，则我们得到得到 60 万元的效用值为：万元的效用值为：U(60) = pU(100)+(1-p)U(-100) = 0.9510 + 0.050 = 9.555用上述提问方式，类似地可得到，收益值为用上述提问方式，类似地可得到，收益值为 40、0、- 40、- 60 对应的等价概率分别为对应的等价概率分别为 0.90、0.75、0.55、0.40，以及各效用值，以及各效用值： U(40) = 9.0； U(0) = 7.5； U(-40) =

43、 5.5； U(-60) = 4.0。然后，我们然后，我们用效用值计算各方案的期望值，如下表用效用值计算各方案的期望值，如下表： 自然状态自然状态 行动方案行动方案 N1 （需求量大需求量大） p(N1) = 0.3 N2 （需求量中需求量中） p(N2) = 0.5 N3 （需求量小需求量小） p(N3) = 0.2 EU(Si) S1（作项目作项目 A） 9.5 9.0 0 7.35 S2（作项目作项目 B） 10 5.5 4.0 6.55 S3（不作项目不作项目） 7.5 7.5 7.5 7.5(max) 56 一般地说，如果收益期望值能合理地反映决策者一般地说，如果收益期望值能合理地反

44、映决策者的看法和偏好，那么我们可以直接用收益期望值进行的看法和偏好，那么我们可以直接用收益期望值进行决策。否则，我们应该进行效用分析。决策。否则，我们应该进行效用分析。收益期望值决策是效用期望值决策的一种特殊情况。收益期望值决策是效用期望值决策的一种特殊情况。证明：证明：如果用收益值与效用值作为直角坐标系的如果用收益值与效用值作为直角坐标系的 x 轴与轴与 y 轴，并用轴，并用 A、B 两点做一直线，其中：两点做一直线，其中：A 的的坐标为坐标为 xA = 最大收益值，最大收益值，yA = 10；B 的坐标为的坐标为 xB=57最小收益值，最小收益值， yB = 0；如果将问题的所有收益值与其

45、；如果将问题的所有收益值与其对应的效用值组成的点都在此直线上，则用这样的效对应的效用值组成的点都在此直线上，则用这样的效用值进行期望值决策和用收益值进行期望值决策的结用值进行期望值决策和用收益值进行期望值决策的结果是完全一样的。果是完全一样的。 这是因为一个有序的数组中的每一个数同乘一个这是因为一个有序的数组中的每一个数同乘一个正数再同加一个数，则这组数中的各数之间的大小关正数再同加一个数，则这组数中的各数之间的大小关系是不会改变的。系是不会改变的。584 层次分析法层次分析法层次分析法是由美国运筹学家层次分析法是由美国运筹学家 T. L. 沙旦于沙旦于 20 世纪世纪 70 年代提出的，是一

46、种解决多目标的复杂问题的年代提出的，是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。层次分析法用定性与定量相结合的决策分析方法。层次分析法用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理的给出了每个决策方案的的相对重要程度，并合理的给出了每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序。每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序。59一、问题的提出一、问题的提出 下面我们用例子来说明如何用层次分析法来解下面我们用例子来说明如何用层次分析法来解决多目标复杂问题。决多目标复杂问题。 一位顾客决定要购买一套新住宅

47、，经过初步调一位顾客决定要购买一套新住宅，经过初步调查研究确定了三套候选的房子查研究确定了三套候选的房子 A、B、C，问题是如，问题是如何在这三套房子里选择一套较为满意的房子呢？顾何在这三套房子里选择一套较为满意的房子呢？顾客从房地产公司得到了有关这三套房子的资料，各客从房地产公司得到了有关这三套房子的资料，各套房子都给出了下面有关的数据和资料：套房子都给出了下面有关的数据和资料：601）住房的地理位置；住房的地理位置；2）住房的交通情况；住房的交通情况；3）住房附近的商业、卫生、教育情况；住房附近的商业、卫生、教育情况；4）住房小区的绿化、清洁、安静等自然环境；住房小区的绿化、清洁、安静等自

48、然环境；5）住房的建筑结构；住房的建筑结构；6）住房的建筑材料；住房的建筑材料； 7）房子布局；房子布局；8）房子设备；房子设备；9）房子面积；房子面积；10）房子每平方米建筑面积的单价。房子每平方米建筑面积的单价。61 实际上这实际上这 10 个方面也就给出了评判房子满意程个方面也就给出了评判房子满意程度的度的 10 个标准。为简化问题，我们把这个标准。为简化问题，我们把这 10 个标个标准归纳成准归纳成 4 个标准：个标准：1）房子的地理位置与交通；房子的地理位置与交通；2）房子的居住环境；房子的居住环境；3）房子的结构、布局、与设施；房子的结构、布局、与设施；4）房子每平方米建筑面积的单

49、价房子每平方米建筑面积的单价 我们用这四个标准来评判房子的满意度。我们用这四个标准来评判房子的满意度。62二、层次结构图二、层次结构图 层次结构图分为三个层次：目标层、标准层、层次结构图分为三个层次：目标层、标准层、决策方案层，如下图决策方案层，如下图 满意的房子满意的房子地理位置及交通地理位置及交通居居 住住 环环 境境结构、布局、设施结构、布局、设施每每 平平 方方 米米 单单 价价目标层目标层标准层标准层决策方案层决策方案层购买房子购买房子A买买B买买C63 由图可知，一个满意房子要用四个标准来综合由图可知，一个满意房子要用四个标准来综合衡量。这就需要我们求出每个标准的相对权重，也衡量。

50、这就需要我们求出每个标准的相对权重，也就是把每个标准相对于总目标满意的房子的重要程就是把每个标准相对于总目标满意的房子的重要程度予以量化。另外，我们还需要分别用这四个标准度予以量化。另外，我们还需要分别用这四个标准中的单一标准对三个方案进行评估，求得每一个标中的单一标准对三个方案进行评估，求得每一个标准下每个方案的相对的权重。准下每个方案的相对的权重。三、标度及两两比较矩阵三、标度及两两比较矩阵 为使为使各个标准或在某一标准下各方案各个标准或在某一标准下各方案两两比较两两比较以求得其相对权重，我们引入了相对重要性的标度，以求得其相对权重，我们引入了相对重要性的标度，如图所示：如图所示：64表中