最新同济大学《高等数学》第四版3-2节洛必达法则幻灯片.ppt

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1、同济大学高等数学第同济大学高等数学第四版四版3-23-2节洛必达法则节洛必达法则上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 定义定义.00)()(lim)()()()(型型未未定定式式或或常常把把这这种种极极限限称称为为在在通通可可能能存存在在、也也可可能能不不存存极极限限大大，那那末末都都趋趋于于零零或或都都趋趋于于无无穷穷与与时时，两两个个函函数数或或如如果果当当 xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回

2、返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式2203tanlimxxx22031seclimxxx

3、2203limxxx.31 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原式原式2limxxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( 型型 0. 1步骤步骤:,10 .0100 或或上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0

4、 型型 . 2步骤步骤:xxxxxsincos2sinlim0上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回步骤步骤:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln010ln00使指数部分化为运用对数恒等式aea.0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 xxxeln0lim上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1010解解.lim111xxx 求求)1( xxxe11ln1lim原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cot

5、limln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex运用对数恒等式得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式xxxeln111lim上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原原式式. 1 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三

6、、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题思考题设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限，如如果果)()(xgxf 的的极极限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的极极限限也也一一定定不不存存在在？举举例例说说明明.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题解答思考题解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfx

7、xxxxsinlim 1 极限存在极限存在上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、 填空题：填空题：1 1、 洛必达法则除了可用于求洛必达法则除了可用于求“00” ，及” ，及“ ”两种”两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决类型的未定式的极限外，也可通过变换解决_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求极限的问题的求极限的问题. .2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_.3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、二、 用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求下列极限：1 1

8、、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ；3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ；7 7、xxx)arctan2(lim . .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三三、 讨讨论论函函数数 0,0,)1()(2111xexexxfxx当当当当, , 在在处处点点0 x的的连连续续性性. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一一、1 1、00,0,1,0 ； 2 2、1 1； 3 3、1 1. .二二、1 1、81； 2 2、1 1； 3 3、21； 4 4、21； 5 5、1 1； 6 6、1 1； 7 7、 2e. .三三、连连续续. .练习题答案练习题答案