2022年高中数学《平面向量的表示及其运算》导学案北师大版 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第 5 课时平面向量的坐标表示及其运算1.掌握向量的正交分解及坐标表示,理解直角坐标系中的特殊意义.2.理解向量坐标的定义, 并能正确用坐标表示坐标平面上的向量, 对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.足球运动员在踢足球的过程中, 将球踢出时的一瞬间的速度为.能否建立适当的坐标系 , 表示踢出时的水平速度和竖直速度?能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢 ? 问题 1: 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量的线性表示, 叫作向量的正交分解, 向量的正交分解

2、是平面向量基本定理的特例, 即当基底e1、e2时的情况. 问题 2: 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内, 分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底 ,a为坐标平面内的任意向量, 如图 , 以坐标原点O为起点作=a, 由平面向量基本定理可知,一对实数x,y, 使得= , 因此a=xi+yj.我们把实数对叫作向量a的坐标 ,记作. 问题 3: 平面向量在坐标表示下的线性运算(1) 向量和的坐标运算: 若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a+b= . 即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(2) 向量差的坐标运算: 若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则

3、a-b= . 即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3) 实数与向量的积的坐标运算: 设 R,a=(x,y), 则 a= . 即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积.(4)的坐标表示 : 若A(x1,y1),B(x2,y2), 则=-= . 即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载问题 4: 如何用坐标表示两个平面向量共线? 由向量的共线定理可知: 若a,b(b0)共线 ,则存在唯一的实数使得.设a=(x1,y1),b=(x

4、2,y2) 0, 则 (x1,y1)=(x2,y2)= , 得即两式相减消去 得, 这就是两个向量平行的条件.由于规定向量可与任一向量平行, 所以在应用时可以去掉b0, 即 : 当且仅当x1y2-x2y1=0 时, 向量a,b共线.若x20, 且y20(也可写作x2y20), 则x1y2-x2y1=0 可以写成( 两向量平行的条件是相应坐标). 1.已知i、j分别为与x轴正方向、y轴正方向相同的两个单位向量, 若a=(3,4),则a可以用i、j表示为 ().A.a=3i+4jB.a=3i-4jC.a=-3i+4jD.a=4i+3j2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m), 且ab, 则

5、 2a+3b=().A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10) 3.设a=(1,2),b=(2,3),若向量 a+b与向量c=(-4,-7) 共线 , 则 = . 4.(1) 设向量a,b的坐标分别是 (-1,2),(3,-5), 求a+b,a-b,2a+3b.(2) 设a,b,c的坐标分别是(1,-3),(-2,4),(0,5),求 3a-b+c的坐标.平面向量的正交分解在直角坐标系xOy中, 向量a,b的位置如图所示, 已知|a|=4,|b|=3, 且AOx=45, OAB=105, 分别求向量a,b的坐标及A、B点的坐标.精选学习资料 - - - -

6、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载平面向量的坐标运算已知点A(-1,2),B(2,8)及=,=-, 求点C、D和的坐标.平行向量的坐标运算已知四边形ABCD的顶点依次为A(0,-x),B(x2,3),C(x,3),D(3x,x+4), 若ABCD, 求x的值.在平面内以点O的正东方向为x轴的正方向 , 正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系.质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标.(1) 用向量表示沿东北方向移动了2 个长度单位 ; (2) 用向量表示沿西偏北60方向移动了3 个长度单位 ; (3) 用向量表示沿东偏南3

7、0方向移动了4 个长度单位.已知A、B、C的坐标分别为A(2,-4)、B(0,6) 、C(-8,10),求向量+2-的坐标.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载已知a=(1,2),b=(-3,2), 当k为何值时 ,ka+b与a-3b平行 ?平行时它们是同向还是反向? 1.设向量=(-2,-5), 若点A的坐标为 (3,7),则点B的坐标为 ().A.(5,12)B.(12,5) C.(2,1) D.(1,2) 2.已知点A(1,3),B(4,-1), 则与向量同方向的单位向量为().A.(,-) B.

8、(,-) C.(-,) D.(-,) 3.已知边长为单位长度的正方形ABCD, 若A与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴正方向上 , 则向量 2+3+的坐标为. 4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为 (-2,1) 、(-1,3) 、 (3,4),求顶点D的坐标.(20XX 年陕西卷 ) 已知向量a=(1,m),b=(m,2), 若ab, 则实数m等于 ().A.-B.C.-或D.0 考题变式 ( 我来改编 ): 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载答案第 5 课时平面向量

9、的坐标表示及其运算知识体系梳理问题 1: 相互垂直垂直问题 2: 有且仅有xi+yj (x,y)a=(x,y) 问题 3:(1)(x1+x2,y1+y2)(2)(x1-x2,y1-y2)(3)( x, y)(4)(x1-x2,y1-y2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载问题 4:a=b ( x2, y2)x2y2x1y2-x2y1=0零=成比例基础学习交流1.Aa=(3,4)=3i+4j.2.C由a=(1,2),b=(-2,m), 且ab, 得 1m=2(-2) ?m=-4, 从而b=(-2,-4

10、), 那么2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).3.2a+b=( +2,2 +3)与c=(-4,-7) 共线 ,( +2)(-7)-(2+3)(-4)=0, 解得=2.4.解:(1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2+9,4-15)=(7,-11).(2)3a-b+c=3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(3+2+0,-9-4+5)=(5,-8).重点难点探究探究一 :

11、 【解析】设a=(a1,a2),b=(b1,b2), AOx=45,a1=|a|cos 45 =4=2, a2=|a|sin 45 =4=2, a=(2,2)=, A点的坐标为 (2,2).将b的起点平移至原点, 令b的终点为B, 由题意可知BOx=120,所以b1=|b|cos 120 =3(-)=-, b2=|b|sin 120 =3=, b=(-,).又b=-, =b+=(2-,2+).故a=(2,2),b=(-,),A点的坐标为 (2,2),B点的坐标为(2-,2+).【小结】 (1) 相等向量的坐标是相同的, 而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多问题时 , 常常需要把始点不在原

12、点的向量移到原点.(2) 起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标, 起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标.(3) 若已知向量a=(x,y),a的模为|a|,a的方向与x轴正方向的夹角为, 由三角函数的定义可知 ,x=|a|cos ,y=|a|sin .要注意公式中的 是向量a的方向与x轴正方向的夹角.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载探究二 : 【解析】设点C(x1,y1),D(x2,y2), 由题意得=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2

13、,2-y2), =,=-, (x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2), (-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)=(1,2), 则有和解得和点C、D的坐标分别为(0,4) 和(-2,0), =(-2,-4).【小结】求点的坐标时, 可先设点的坐标, 根据题中给出的关系, 列出方程组求解即可.探究三 : 【解析】ABCD, 又=(x2,x+3),=(2x,x+1), x2(x+1)-2x(x+3)=0, 解得x=-2 或x=0 或x=3. 问题 上述解法正确吗? 结论 不正确 ,错误一 : 没有注意四边形ABCD顶点的顺序 , 需满足,反向才行.错误二 : 没有注意向量的平行与线段平行的

14、不同,时,AB与CD可能平行也可能重合.于是 ,正确解答如下: =(x2,x+3),=(2x,x+1), 在四边形ABCD中,ABCD,与平行且反向.于是解得x=-2.经检验 ,x=-2 满足题意.【小结】两个向量平行包括它们对应的有向线段不共线和共线两种情况, 但在含有几何背景的向量平行中就要排除共线的情况,如本题中要保证ABCD是四边形就要注意向量,不能在同一条直线上且反向平行.思维拓展应用应用一 : 设(1)(2)(3)中的向量分别为=a,=b,=c, 并设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3).(1) 如图 , 因为POP=45,|=2, 所以a=+=i+j, 所以a=(

15、,).(2) 因为QOQ=60,|=3, 所以b=+精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载=- i+j, 所以b=(-,).(3) 因为ROR=30,|=4, 所以c=+=2i-2j, 所以c=(2,-2).应用二 :A(2,-4)、B(0,6) 、C(-8,10), 得=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14), +2-=(-2,10)+2(-8,4)-(-10,14) =(-2,10)+(-16,8)-(-5,7) =(-18,18)-(-5,7) =(-13,11).应用三 :( 法一 )

16、ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).(ka+b) (a-3b), (k-3)(-4)-10(2k+2)=0, 解得k=- .此时ka+b=(- -3,- +2)=(-,) =-(10,-4)=-(a-3b).k=-, 且此时ka+b与a-3b平行 , 并且反向.( 法二 ) 由题意知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4), 当ka+b与a-3b平行时 , 存在唯一实数 , 使ka+b=(a-3b), 由(k-3,2k+2)= (10,-4), 解得当k=-时 ,ka+b与a-3b平行 , 这时ka

17、+b=-(a-3b).=- 0,它们的方向相反.k=-, 此时ka+b与a-3b平行 , 并且反向.基础智能检测精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载1.D设点B的坐标为 (x,y), 则=(x,y),=(3,7),=-=(x-3,y-7)=(-2,-5),解得2.A=(3,-4), 所以|=5, 这样同方向的单位向量是=(,-), 选 A. 3.(3,4)如图 , 建立直角坐标系, 有A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), 即=(1,0),=(0,1), =(1,1),则有 2+3+=(2,0)+(0,3)+(1,1)=(3,4).4.解 : 设顶点D的坐标为 (x,y).=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y), 由=, 得(1,2)=(3-x,4-y).顶点D的坐标为 (2,2).全新视角拓展C因为a=(1,m),b=(m,2), 且ab, 所以 12=mm?m= , 所以选 C.思维导图构建xi+yj (x,y)(x1x2,y1y2)( x1, y1)(x2-x1,y2-y1)x1y2=x2y1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页