2022年高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解 .pdf

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1、数列专项之求和 -4 一等差等比数列前n 项求和1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2) 1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn二非等差等比数列前n 项求和错位相减法数列na为等差数列，数列nb为等比数列，则数列nnab的求和就要采用此法.将数列nnab的每一项分别乘以nb的公比，然后在错位相减，进而可得到数列nnab的前n项和 . 此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.例 23.求和：132) 12(7531nnxnxxxS)0(x例 24. 求数列,22,26,24,2232nn前 n 项的和 . 裂项相消法一般地

2、，当数列的通项12()()ncaanbanb12( ,a b bc为常数）时，往往可将na变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设12naanbanb，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得21cbb，从而可得12211211=().()()()ccanbanbbbanbanb常见的拆项公式有：111(1)1n nnn；1111();(21)(21)2 2121nnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页11();ababab11;mmmnnnCCC!(1)!.n nnn)2)(1(1)1(1

3、21)2)(1(1nnnnnnn例 25.求数列,11,321,211nn的前 n项和 .例 26.在数列 an 中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列 bn的前 n项的和 . 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组. 例 27.求数列 n(n+1)(2n+1)的前 n 项和 . 例 28.求数列的前 n 项和：231,71,41, 1112naaan倒序相加法如果一个数列na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把

4、正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：121.nnaaaa例 29. 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210例 30.求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值记住常见数列的前n项和：(1)123.;2n nn2135.(21);nn22221123.(1)(21).6nn nn23333)1(21321nnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页答案详解例 23.解：由题可知， 1) 12(nxn 的通项是等差数列 2n1 的通项与等

5、比数列1nx 的通项之积。132)12(7531nnxnxxxS.设nnxnxxxxxS)12(7531432.设制错位得nnnxnxxxxxSx) 12(222221)1(1432错位相减 再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx) 12(1121)1(121)1()1()12() 12(xxxnxnSnnn例 24.解：由题可知， nn22的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 n21 的通项之积。设nnnS222624223214322226242221nnnS设制错位得1432222222222222)211(nnnnS错位相减 1122212nnn1224nnnS例 25.

6、解：设nnnnan111裂项则11321211nnSn裂项求和)1()23()12(nn11n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页例 26.解： 211211nnnnnan)111(82122nnnnbn裂项数列bn 的前 n 项和)111()4131()3121()211(8nnSn裂项求和)111(8n18nn例 27.解：设kkkkkkak2332)12)(1(nknkkkS1)12)(1()32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得Snkkknknknk1213132分组)21()21(3)21 (222

7、2333nnn2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn分组求和2)2()1(2nnn例 28.解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn分组当 a1 时，2)13(nnnSn2)13(nn分组求和当1a时，2)13(1111nnaaSnn2) 13(11nnaaan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页例 29.证明：nnnnnnCnCCCS) 12(53210把式右边倒转过来得0113)12()12(nnnnnnnCCCnC

8、nS反序又由mnnmnCC可得nnnnnnnCCCnCnS1103)12()12(+得nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2)(22(2110反序相加nnnS2)1(例 30.解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S. 将式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S . 反序又因为1cossin),90cos(sin22xxxx+得反序相加)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S89 S 44.5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页