2019-2020学年数学北师大版必修5检测：2.3 解三角形的实际应用举例 .docx

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1、3解三角形的实际应用举例课后篇巩固探究1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了四种测量方案:(ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c)测量A,C,b测量a,b,C测量A,B,a测量a,b,B则一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为()A.B.C.D.解析:已知三角形的两角及一边,可以确定三角形,故正确;已知两边及夹角,可以确定三角形,故正确;已知两边与其中一边的对角,满足条件的三角形可能有一个或两个,故错误.故选A.答案:A2.已知某路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45角,树干也倾斜为与地面成75角,树干底部与树尖着地处相

2、距20 m,则折断点与树干底部的距离是()m.A.2063B.106C.1063D.202解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则ABO=45,AOB=75,所以OAB=60.由正弦定理知,AOsin45=20sin60,所以AO=20sin45sin60=2063(m).答案:A3.已知一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3 h,该船实际航程为()A.215 kmB.6 kmC.221 kmD.8 km解析:如图,因为|OA|=2 km/h,|OB|=4 km/h,AOB=120,所以OAC=60,|OC|=22+42-

3、224cos60=23(km/h).经过3 h,该船的实际航程为233=6(km).答案:B4.甲船在B岛的正南方10 km处,且甲船以4 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是()A.1507 minB.157 hC.21.5 minD.2.15 h解析:如图,设经过x h后甲船处于点P处,乙船处于点Q处,两船的距离为s,则在BPQ中,BP=(10-4x) km,BQ=6x km,PBQ=120,由余弦定理可知s2=PQ2=BP2+BQ2-2BPBQcosPBQ,即s2=(10-4x)2+(6x)2-

4、2(10-4x)6xcos 120=28x2-20x+100.当x=-20228=514时,s最小,此时514 h=1507 min.答案:A5.已知一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30的方向航行30分后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为()A.20(2+6)海里/时B.20(6-2)海里/时C.20(6+3)海里/时D.20(6-3)海里/时解析:设货轮航行30分后到达N处,由题意可知NMS=45,MNS=105,则MSN=180-105-45=30.而MS=20海里,在MNS中,由正弦定理得MNsin30=MSsin105,即

5、MN=20sin30sin105=10sin(60+45)=10sin60cos45+cos60sin45=106+24=10(6-2)(海里).故货轮的速度为10(6-2)12=20(6-2)(海里/时).答案:B6.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30,向前飞行10 000 m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75,这时飞机与地面目标的水平距离为()A.2 500(3-1) mB.5 0002 mC.4 000 mD.4 0002 m解析:如图,BAC=30,DBC=75,AB=10 000 m,所以ACB=45.由正弦定理,得10 000sin45=BCsi

6、n30,又cos 75=BDBC,所以BD=10 000sin30sin45cos 75=2 500(3-1)(m).答案:A7.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的持续时间为()A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h解析:设t h后,B市处于危险区内,则由余弦定理得(20t)2+402-220t40cos 45302.化简得4t2-82t+70,所以t1+t2=22,t1t2=74.从而|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=1.答案:B8.如图,已知海岸线上有相距5 n

7、mile的两座灯塔A,B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲位于灯塔A的北偏西75方向,与A相距32 n mile的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60方向,与B相距5 n mile的C处,则两艘船之间的距离为n mile.解析:连接AC,BC=AB=5 n mile,ABC=60,所以ABC为等边三角形,所以AC=5 n mile,且DAC=180-75-60=45.在ACD中,由余弦定理得CD2=(32)2+52-2325cos 45=13,所以CD=13 n mile.故两艘船之间的距离为13 n mile.答案:139.如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的

8、俯角=60,在塔底C处测得点A的俯角=45.已知塔高60 m,则山高为.解析:在ABC中,BC=60 m,BAC=15,ABC=30,由正弦定理,得AC=60sin30sin15=30(6+2)(m).所以CD=ACsin 45=30(3+1)(m).答案:30(3+1)m10.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角MAN=60,点C的仰角CAB=45及MAC=75,从点C测得MCA=60.已知山高BC=50 m,则山高MN= m.解析:在RtABC中,CAB=45,BC=50 m,所以AC=502 m.在AMC中,MAC=75,MCA=60,从而AM

9、C=45,由正弦定理得,ACsin45=AMsin60,因此AM=503 m.在RtMNA中,AM=503 m,MAN=60,由MNAM=sin 60,得MN=50332=75(m).答案:7511.导学号33194045如图,CM,CN为某公园景观湖畔的两条木栈道,MCN=120.现拟在两条木栈道的A,B两处设置观景台,记BC=a,AC=b,AB=c(单位:百米).(1)若a,b,c成等差数列,且公差为4,求b的值;(2)已知AB=12,记ABC=,试用表示观景路线A-C-B的长,并求观景路线A-C-B长的最大值.解(1)因为a,b,c成等差数列,且公差为4,所以a=b-4,c=b+4,因为

10、MCN=120,所以由余弦定理得,(b+4)2=(b-4)2+b2-2b(b-4)cos 120,解得b=10.(2)由题意,得ACsin=BCsin(60-)=12sin120,所以AC=83sin ,BC=83sin(60-),所以观景路线A-C-B的长AC+BC=83sin +83sin(60-)=83sin(60+)(03,所以此时没有触礁的危险.(2)方法一:要使船没有触礁危险,只要使d3,即5tan-tan3.因为00,所以tan -tan 53,所以当,满足tan -tan 3时没有触礁危险.13.某海军护航舰艇在某海域执行护航任务时,收到某渔船在航行中发出的求救信号,海军舰艇在

11、A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45、距离A为10 n mile的C处,并测得渔船正沿方位角为105的方向,以9 n mile/h的速度航行,海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间(角度精确到0.1,时间精确到1 min).解如图,设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为x h,则AB=21x n mile,BC=9x n mile,AC=10 n mile,ACB=1+2=45+(180-105)=120,根据余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120,即(21x)2=102+(9x)2-2109xcos 120,亦即36x2-9x-10=0,解得x1=23,x2=-512(舍去),所以AB=14 n mile,BC=6 n mile.由余弦定理可得cos BAC=AB2+AC2-BC22ABAC=142+102-62214100.928 6,所以BAC21.8,所以方位角为45+21.8=66.8,又因为23 h=40 min,所以舰艇应以北偏东66.8的方向航行,靠近渔船需要40 min.