2019-2020学年数学人教A版4-5检测：1.1.2 基本不等式 .docx

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1、2.基本不等式课后篇巩固探究A组1.下列结论正确的是()A.若3a+3b23a3b,则a0,b0B.若ba+ab2,则a0,b0C.若a0,b0,且a+b=4,则1a+1b1D.若ab0,则ab2aba+b解析当a,bR时,则3a0,3b0,所以3a+3b23a3b(当且仅当a=b时,等号成立),故选项A错误.要使ba+ab2成立,只要ba0,ab0即可,这时只要a,b同号,故选项B错误.当a0,b0,且a+b=4时,则1a+1b=4ab.因为aba+b22=4,所以1a+1b=4ab1(当且仅当a=b=2时,等号成立),故选项C错误.当a0,b0时,a+b2ab,所以2aba+b2ab2ab

2、=ab.而当a0,b0时,一定有ab2aba+b(当且仅当a=b,且a,b0时,等号成立),故选项D正确.答案D2.若a1,则a+1a-1的最大值是()A.3B.aC.-1D.2aa-1解析因为a1,所以a-10,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则1x+13y的最小值是()A.2B.22C.4D.23解析lg 2x+lg 8y=lg 2,lg(2x8y)=lg 2,2x+3y=2,x+3y=1.x0,y0,1x+13y=(x+3y)1x+13y=2+3yx+x3y2+23yxx3y=4,当且仅当x=3y=12时,等号成立.故选C.答案C4.函数f(x)=x+4x-1的值域是()A.(-

3、,-35,+)B.3,+)C.(-,-53,+)D.(-,-44,+)解析当x0时,x+4x-12x4x-1=3(当且仅当x=2时,等号成立);当x0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.解析直线xa+yb=1过点(1,2),1a+2b=1.a0,b0,2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab4+2ba4ab=8.当且仅当b=2a时“=”成立.答案87.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+600x6=4x+900

4、x42900=240,当且仅当x=900x,即x=30时等号成立.答案308.已知x1,y1,且xy=1 000,求lg xlg y的最大值.解因为x1,y1,所以lg x0,lg y0,所以lg xlg ylgx+lgy22=lgxy22=lg1 00022=322=94,当且仅当lg x=lg y,即x=y时,等号成立,故lg xlg y的最大值等于94.9.已知x0,y0,x+y=1,求证1+1x1+1y9.证明左边=1+1x1+1y=1+x+yx1+x+yy=2+yx2+xy=5+2yx+xy5+4=9,当且仅当yx=xy,即x=y=12时,等号成立,所以1+1x1+1y9.10.某单

5、位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的长方体房屋,由于地理位置的限制,房屋侧面的长度x不得超过5米.房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元.如果墙高为3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?解设侧面的长度为x米(0x5).由题意可得,总造价y=32x150+12x400+5 800=900x+16x+5 800(0t2B.t1h2v1v2v1v2=h2v1v2,t2=2hv1+v22=h4v1+v2t2.答案A3.(2017天津高考)若a,bR,ab0,则a4+4b4+1ab的最小值为.解析a,bR,

6、且ab0,a4+4b4+1ab4a2b2+1ab=4ab+1ab4当且仅当a2=2b2,4ab=1ab,即a2=22,b2=24时取等号.答案44.导学号26394006已知关于x的二次不等式ax2+2x+b0的解集为xx-1a,且ab,则a2+b2a-b的最小值为.解析由已知可得关于x的方程ax2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是=4-4ab=0,则ab=1,所以a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)+2a-b2(a-b)2a-b=22当且仅当a-b=2a-b时,等号成立,故a2+b2a-b的最小值为22.答案225.已知a2,求证log(a-1)aloga(a+1).

7、证明log(a-1)a-loga(a+1)=lgalg(a-1)-lg(a+1)lga=lg2a-lg(a-1)lg(a+1)lgalg(a-1),而lg(a-1)lg(a+1)lg(a-1)+lg(a+1)22=lg(a2-1)220.又a2,lg alg(a-1)0,lg2a-lg(a-1)lg(a+1)lgalg(a-1)0,即log(a-1)a-loga(a+1)0,log(a-1)aloga(a+1).6.导学号26394007某水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元进行技术革新,并计划以后每年比上一年多投入

8、100万元进行技术革新.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)(单位:元)与进行技术革新的投入次数n的关系是g(n)=80n+1.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求出f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?解(1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为80n+1元,进行技术革新投入为100n万元.所以,年利润为f(n)=(10+n)100-80n+1-100n(nN+).(2)由(1)知f(n)=(10+n)100-80n+1-100n=1 000-80n+1+9n+1520.当且仅当n+1=9n+1,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.