2022年高考常用数学公式及结论 .pdf

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1、高考常用公式及常用结论 1.德摩根公式();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B. 2 集合12,na aa的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个；非空的真子集有2n2 个. 3. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式2( )(0)f xaxbxc a; (2) 顶点式2( )()(0)f xa xhk a; (3) 零点式12( )()()(0)f xa xxxxa. 4.方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根, 与0)()(21kfkf不等价 , 前者是后者的一个必要而不是充分条件. 特别地 , 方程)0(02acbxax有且只有一个

2、实根在),(21kk内 , 等 价 于0)()(21kfkf, 或0)(1kf且22211kkabk, 或0)(2kf且22122kabkk. 5. 闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1) 当 a0 时，若qpabx,2，则minmaxmax( )(),( )(),( )2bfxff xfpf qa；qpabx,2，maxmax( )( ),( )f xf pf q，minmin( )( ),( )f xf pf q. (2) 当 a0) （1）)()(axfxf， 则)(xf的周期 T=a （2

3、）0)()(axfxf， 则)(xf的周期 T=2a；26. 分数指数幂(1)1mnnmaa（0,am nN，且1n） . (2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）. 27根式的性质（1）()nnaa. （2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 28有理指数幂的运算性质(1) (0, ,)rsrsaaaar sQ. (2) ()(0, ,)rsrsaaar sQ. (3)()(0,0,)rrraba babrQ. 注：若 a0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 29. 指数式与对数式的互化式l

4、ogbaNbaN(0,1,0)aaN.30. 对数的换底公式logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 31对数的四则运算法则若 a0，a1， M 0，N0，则(1)log ()loglogaaaMNMN; (2) logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR. 32. 设函数)0)(log)(2acbxaxxfm, 记acb42. 若)(xf的定义域为R, 则0a，且0; 若)(xf的值域为R, 则0a，且0. 对于0a的情形 , 需要单独检验

5、 . 33.对数换底不等式及其推广若0a,0b,0 x,1xa, 则函数log()axybx (1)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log ()axybx为增函数 . ，(2) 当ab时, 在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页推论 :设1nm，0p，0a，且1a，则（1）log()logmpmnpn.（2）2logloglog2aaamnmn.34 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N， 平均增长率为p， 则对于时间x的总产值y， 有( 1)xy

6、 Np. 39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2nnnsnassn( 数列na的前 n 项的和为12nnsaaa). 35. 等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. 36. 等比数列的通项公式1*11()nnnaaa qqnNq；其前 n 项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q. 37. 等比差数列na:11,(0)nnaqad ab q的通项公式为1(1) ,1(),11nnnbnd qabqdb qdqq

7、；其前 n 项和公式为(1) ,(1)1(),(1)111nnnbn ndqsdqdbn qqqq. 38.分期付款 (按揭贷款 ) 每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a元,n次还清 ,每期利率为b). 39常见三角不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页（1）若(0,)2x，则sintanxxx. (2) 若(0,)2x，则1sincos2xx. (3) |sin|cos| 1xx. 40. 同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=cossin，tan1cot. 41. 正弦、余弦的诱导公式

8、212( 1) sin,sin()2( 1)s ,nnnco212( 1)s,s()2( 1)sin,nnconco42. 和角与差角公式sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantantan()1tantan. 22sin()sin()sinsin( 平方正弦公式); 22cos()cos()cossin. sincosab=22sin()ab( 辅 助 角所 在 象 限 由 点( , )a b的 象 限 决定,tanba ).43. 二倍角公式sin 2sincos. 2222cos2cossin2cos112sin. 22tantan21tan.

9、44. 三倍角公式3sin33sin4sin4sinsin()sin()33. 3cos34cos3cos4coscos()cos()33.323tantantan3tantan()tan()13tan33. 45. 三角函数的周期公式函数sin()yx，xR 及函数cos()yx，xR(A, ,为常数，且A0， 0) 的周期2T；函数tan()yx，,2xkkZ(A, ,为常数，且A0，(n 为偶数 ) (n 为奇数 ) (n 为偶数 ) (n 为奇数 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页0) 的周期T. 46

10、. 正弦定理2sinsinsinabcRABC. 47. 余弦定理2222cosabcbcA; 2222cosbcacaB; 2222coscababC. 48. 面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、 、分别表示a、b、 c 边上的高） . （2）111sinsinsin222SabCbcAcaB. (3)221(| |)()2OABSOAOBOA OB. 49. 三角形内角和定理在 ABC中，有()ABCCAB222CAB222()CAB. 50. 实数与向量的积的运算律设 、为实数，那么(1) 结合律： ( a)=( )a; (2) 第一分配律：( +) a=a+

11、 a;(3) 第二分配律：( a+b)= a+b. 51. 向量的数量积的运算律：(1) ab= b a（交换律） ; (2) （a） b= （ab）=ab= a （b）; (3) （a+b） c= ac +b c.52. 平面向量基本定理如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、2，使得 a=1e1+2e2不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 53向量平行的坐标表示设 a=11(,)x y, b=22(,)xy，且 b0，则 ab(b0)12210 x yx y.54. a与 b 的数量积 ( 或内积 ) ab=

12、|a| b|cos 55. a b的几何意义数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的积56. 平面向量的坐标运算(1) 设 a=11(,)xy,b=22(,)xy，则 a+b=1212(,)xxyy. (2) 设 a=11(,)xy,b=22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy. (3) 设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy. (4) 设 a=( , ),x yR，则a=(,)xy. (5) 设 a=11(,)x y, b=22(,)xy，则 ab=1212()x xy y. 57. 两向量的夹角

13、公式121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)xy, b=22(,)xy). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页58. 平面两点间的距离公式,A Bd=|ABAB AB222121()()xxyy(A11(,)xy，B22(,)xy). 59. 向量的平行与垂直设 a=11(,)x y, b=22(,)xy，且 b0，则A| bb=a 12210 x yx y. ab(a0)ab=012120 x xy y. 60. 点的平移公式xxhxxhyykyykOPOPPP . 注: 图形 F 上的

14、任意一点P(x，y) 在平移后图形F上的对应点为( ,)P x y，且PP的坐标为( ,)h k. 61. “按向量平移”的几个结论（1）点( , )P x y按向量 a=( , )h k平移后得到点(,)P xh yk. (2) 函数( )yf x的图象C按向量a=( , )h k平移后得到图象C, 则C的函数解析式为()yf xhk. (3) 图象C按向量a=( , )h k平移后得到图象C, 若C的解析式( )yf x, 则C的函数解析式为()yf xhk. (4) 曲 线C:( , )0f x y按 向 量a=( , )h k平 移 后 得 到 图 象C, 则C的 方 程 为(,)0f

15、xhyk. (5) 向量 m=( , )x y按向量 a=( , )h k平移后得到的向量仍然为m =( , )x y. 62.三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为, ,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC. （2）O为ABC的重心0OAOBOC. （3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. （4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC. （5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC. 63. 常用不等式：（1）,a bR222abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) （2）,a bR2abab( 当且仅当 a

16、b 时取“ =”号)（3）3333(0,0,0).abcabc abc（4）柯西不等式22222()()() , , , ,.abcdacbda b c dR（5）bababa.64. 极值定理已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx时和yx有最小值p2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页（2）若和yx是定值s，则当yx时积xy有最大值241s. 推广已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22（1）若积xy是定值 , 则当|yx最大时 ,|yx最大；当|yx最小时 ,|yx最小 . （2）若和|y

17、x是定值 , 则当|yx最大时 , | xy最小；当|yx最小时 , | xy最大 . 65. 一 元 二 次 不 等 式20(0)axbxc或2(0,40)abac， 如 果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或. 66.斜率公式2121yykxx（111(,)P x y、222(,)P xy）. 67.直线的五种方程（1）点斜式11()yyk xx( 直线l过点111(,)P x y，且斜率为k)（2）斜截

18、式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy (12xx). (4) 截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为0).68.两条直线的平行和垂直(1)若111:lyk xb，222:lyk xb121212|,llkk bb; 12121llk k. (2)若1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零 , 11112222|ABCllABC；1212120llA AB B；69

19、.夹角公式(1)2121tan|1kkk k. (111:lyk xb，222:lyk xb,121k k)(2)12211212tan|A BA BA AB B. (1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B). 直线12ll时，直线l1与 l2的夹角是2. 70. 1l到2l的角公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页(1)2121tan1kkk k. (111:lyk xb，222:lyk xb,121k k)(2)12211212tanA BA BA AB B. (11

20、11:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B). 直线12ll时，直线l1到 l2的角是2. 71.点到直线的距离0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC). 72.0AxByC或0所表示的平面区域设直线:0lAxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：若0B，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之 ,同号在上 ,异号在下 .若0B，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之 ,同号在右 ,异号在左

21、.73.111222()()0A xB yCA xB yC或0所表示的平面区域设曲线111222:()()0CA xB yCA xB yC（12120A A B B） ，则111222()()0A xB yCA xB yC或0所表示的平面区域是：111222()()0A xB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分；111222()()0A xB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分. 74. 圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr. （2）圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF0). （3）圆的参数方程cossinxarybr. （4） 圆的直径式方程

22、1212()()()()0 xxxxyyyy( 圆的直径的端点是11(,)A x y、22(,)B xy). 75. 圆系方程(1) 过点11(,)A x y,22(,)B xy的圆系方程是1212112112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx1212()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc, 其中0axbyc是直线AB的方程 , 是待定的系数(2) 过直线l:0AxByC与圆C:220 xyDxEyF的交点的圆系方程是22()0 xyDxEyFAxByC, 是待定的系数(3) 过圆1C:221110 xyD xE yF与圆2C:222220 xyD

23、 xE yF的交点的圆系方程是2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF,是待定的系数76. 点与圆的位置关系点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若2200()()daxby，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页dr点P在圆外 ;dr点P在圆上 ;dr点P在圆内 . 77. 直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种: 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 其中22BACBbAad. 78. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心

24、分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21条公切线外离421rrd; 条公切线外切321rrd; 条公切线相交22121rrdrr; 条公切线内切121rrd; 无公切线内含210rrd. 79. 圆的切线方程(1) 已知圆220 xyDxEyF若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D xxE yyx xy yF. 当00(,)xy圆外时 , 0000()()022D xxE yyx xy yF表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为00()yyk xx，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线斜率为k 的

25、切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线(2) 已知圆222xyr过圆上的000(,)P xy点的切线方程为200 x xy yr; 斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk. 80. 椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 81. 椭圆22221(0)xyabab焦半径公式)(21caxePF，)(22xcaePF. 82椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 83. 椭圆的切线方程精选学习资料

26、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页(1) 椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过椭圆22221(0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. （3）椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc.84. 双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式21| ()|aPFe xc，22| () |aPFexc. 85. 双曲线的内外部(1) 点00(,)P xy在双

27、曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab. (2) 点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab. 86. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1 ）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax. (3) 若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x 轴上，0，焦点在y 轴上） . 87. 双曲线的切线方程 (1) 双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221

28、x xy yab. （2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. （ 3 ） 双 曲 线22221(0,0)xyabab与 直 线0AxByC相 切 的 条 件 是22222A aB bc.88. 抛物线pxy22的焦半径公式抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx. 过焦点弦长pxxpxpxCD212122. 89. 抛物线pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或或)2,2(2ptptP P(,)x y，其中22ypx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

29、- -第 12 页，共 19 页90. 二次函数2224()24bacbyaxbxca xaa(0)a的图象是抛物线： （1）顶点坐标 为24(,)24bacbaa；（ 2 ） 焦 点 的 坐 标 为241(,)24bacbaa；（ 3 ） 准 线 方 程 是2414acbya. 91. 抛物线的内外部(1) 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (2) 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx

30、p的外部22(0)ypx p. (3) 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. (4) 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. 92. 抛物线的切线方程(1) 抛物线pxy22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx. （2）过抛物线pxy22外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00()y yp xx. （3）抛物线22(0)ypx

31、 p与直线0AxByC相切的条件是22pBAC. 93. 两个常见的曲线系方程(1) 过曲线1( , )0f x y,2( , )0fx y的交点的曲线系方程是12( , )( , )0f x yfx y(为参数 ). (2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程22221xyakbk, 其 中22max,kab. 当22min,ka b时, 表示椭圆 ; 当2222min,max,abkab时, 表示双曲线 . 94. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或2222211212(1)()|1tan| 1tABkxxxxyyco（弦端点A),(),(221

32、1yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy消去 y 得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）. 95. 圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线( , )0F x y关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是00(2- ,2)0Fx xyy. （2）曲线( , )0F x y关于直线0AxByC成轴对称的曲线是22222 ()2 ()(,)0A AxByCB AxByCF xyABAB. 96. “四线”一方程对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF，用0 x x代2x，用0y y代2y，用002x yxy代xy，用02xx代x，用02yy代y即得方程精选学习资料 - -

33、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页0000000222x yxyxxyyAx xBCy yDEF，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到. 97证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 98证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 99证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线

34、面垂直. 100证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 101证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 102证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 103. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1) 加法交换律：ab=b a(2) 加法结合律：(

35、ab) c=a( bc) (3) 数乘分配律：( ab)= ab104. 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 105.共线向量定理对空间任意两个向量a、 b(b0 )，a b存在实数 使 a=bPAB、 、三点共线|APABAPt AB(1)OPt OAtOB. |ABCDAB、CD共线且ABCD、不共线ABtCD且ABCD、不共线 . 106. 共面向量定理向量 p 与两个不共线的向量a、b 共面的存在实数对,x y, 使paxby推论空间一点P位于平面 MAB 内的存在有

36、序实数对, x y, 使MPxMAyMB，或对空间任一定点O，有序实数对, x y，使OPOMxMAyMB. 107. 对 空 间 任 一 点O和 不 共 线 的 三 点A、 B、 C， 满 足OPxOAyOBzOC（xyzk） ，则当1k时，对于空间任一点O，总有 P、A、B、C四点共面；当1k时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页若O平面 ABC ，则 P、A、B、 C四点共面；若O平面 ABC ，则 P、A、B、 C四点不共面 CAB、 、 、D四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC(1)ODxy O

37、AxOByOC（O平面 ABC ）. 108. 空间向量基本定理如果三个向量a、b、c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 pxaybzc推论设 O 、A、 B、C是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OPxOAyOBzOC. 109. 射影公式已知向量AB=a和轴l，e 是l上与l同方向的单位向量. 作 A点在l上的射影A，作 B点在l上的射影B，则|cosABABa，e=ae 110. 向量的直角坐标运算设a123(,)a a a，b123( ,)b b b则(1)ab112233(,)ab ab ab；(2)ab112

38、233(,)ab ab ab；(3) a123(,)aaa ( R)；(4)ab1 12233a ba ba b；111. 设 A111(,)x y z，B222(,)xyz，则ABOBOA= 212121(,)xxyy zz. 112空间的线线平行或垂直设111(,)ax y zr，222(,)bxyzr，则a brrP(0)ab brr rr121212xxyyzz；abrr0a br r1212120 x xy yz z. 113. 夹角公式设a123(,)a a a，b123( ,)b b b，则cosa，b=1 12233222222123123a ba ba baaabbb. 推论

39、22222221 12 233123123()()()aba ba baaabbb，此即三维柯西不等式. 114. 空间两点间的距离公式若 A111(,)x y z，B222(,)xyz，则,A Bd=|ABAB AB222212121()()()xxyyzz. 115. 点Q到直线l距离221(|)()|haba ba( 点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量 b=PQ). 116.三个向量和的平方公式2222()222abcabca bb cc a2222 | |cos,2 | |cos,2 | |cos,abcaba bbcb ccac a精选学习资料 - - - - - - -

40、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页117. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、 、，夹角分别为123、, 则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 118. 面积射影定理cosSS. ( 平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为). 119作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 120棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，

41、截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等， 对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比121. 球的半径是R，则其体积343VR, 其表面积24SR122. 球的组合体(1) 球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2) 球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a

42、, 外接球的半径为64a. 123柱体、锥体的体积13VSh柱体（S是柱体的底面积、h是柱体的高）. 13VSh锥体（S是锥体的底面积、h是锥体的高）. 124不定方程2nxxxm1+的解的个数(1)方程2nxxxm1+（, n mN）的正整数解有11mnC个. (2) 方程2nx xxm1+（,n mN）的非负整数解有11n mnC个. (3) 方程2nx xxm1+（,n mN）满足条件ixk(kN,21in)的非负整数解有11(2)(1)mnnkC个. (4) 方程2nx xxm1+（,n mN）满足条件ixk(kN,21in)的正整数解有12222321 (2)11121221( 1)

43、n mnm nknm nknmnknnnnnnCCCCCCC个. 125. 二项式定理nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)( ; 二项展开式的通项公式rrnrnrbaCT1)210(nr，. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页126. 等可能性事件的概率()mP An. 127. 互斥事件 A，B分别发生的概率的和P(AB)=P(A) P(B) 128.n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 129. 独立事件 A，B同时发生的

44、概率P(AB)= P(A) P(B). 130.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 131.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率( )(1).kkn knnP kC PP 132.方差 、标准差133. 回归直线方程yabx，其中1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnxaybx. 134. 相关系数12211()()niiinniiiixxyyrxxyy1222211()()niiinniiiixxyyxnxyny. |r|1，且 |r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.

45、 135.)(xf在0 x处的导数（或变化率）000000()()()limlimxxxxf xxf xyfxyxx. 136. 瞬时速度00()( )( )limlimttss tts ts ttt. 137.)(xf在),(ba的导数( )dydffxydxdx00()( )limlimxxyfxxf xxx. 138. 函数)(xfy在点0 x处的导数的几何意义函数)(xfy在点0 x处的导数是曲线)(xfy在)(,(00 xfxP处的切线的斜率)(0 xf，相应的切线方程是)(000 xxxfyy. 139. 几种常见函数的导数(1) 0C（C为常数） (2) 1()()nnxnxnQ

46、. (3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5)xx1)(ln；eaxxalog1)(log. (6) xxee )(; aaaxxln)(. 140. 导数的运算法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页（ 1）()uvuv（ 2）()uvuvuv. （3）2()(0)uuvuvvvv. 141. 复合函数的求导法则设函数( )ux在点x处有导数( )xux，函数)(ufy在点x处的对应点U处有导数( )uyfu， 则 复 合 函 数( ( )yfx在 点x处 有 导 数 ， 且xuxyy

47、u， 或 写 作( ( )( )( )xfxfux. 142. 判别)(0 xf是极大（小）值的方法当函数)(xf在点0 x处连续时，（1）如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；（2）如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极小值 . 143. 复数的相等,abicdiac bd. （, , ,a b c dR）144. 复数zabi的模（或绝对值）|z=|abi=22ab. 145. 复数的四则运算法则(1)()()()()abicdiacbd i; (2)()()()()abicdiacbd i; (3)()()()()abic

48、diacbdbcad i; (4)2222()()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd. 146. 复数的乘法的运算律对于任何123,z z zC，有交换律 :1221z zzz. 结合律 :123123()()zzzzzz. 分配律 :1231213()zzzz zz z . 147. 复平面上的两点间的距离公式22122121|()()dzzxxyy（111zxyi，222zxy i）. 148.向量的垂直非零复数1zabi，2zcdi对应的向量分别是1OZ，2OZ，则12OZOZ12zz的实部为零21zz为纯虚数2221212|zzzz2221212|zzzz1212| |zzzz0acbd12ziz( 为非零实数).149. 实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20axbxc，若240bac, 则21,242bbacxa; 若240bac, 则122bxxa; 若240bac，它在实数集R内没有实数根； 在复数集C内有且仅有两个共轭复数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页根22(4)(40)2bbac ixbaca.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页