2022年高考数学一轮复习精品学案――直线与圆的位置关系 .pdf

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1、学习必备欢迎下载20XX年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）直线、圆的位置关系一 【课标要求】1能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；4能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；5在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。二 【命题走向】本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题） ，此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方

2、程知识.预测 20XX年对本讲的考察是：（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力.三 【要点精讲】1直线 l1与直线 l2的的平行与垂直（ 1）若 l1， l2均存在斜率且不重合： l1/l2k1=k2； l1l2k1k2=1。（ 2）若0:,0:22221111CyBxAlCyBxAl若 A1、 A2、B1、B2都不为零。l1/l2212121CCBBAA；l1l2A1A2+B1B2=0；l1与 l

3、2相交2121BBAA；l1与 l2重合212121CCBBAA；注意： 若 A2或 B2中含有字母， 应注意讨论字母=0 与0 的情况。 两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数.距离（1）两点间距离：若)y,x(B),y,x(A2211，则212212)()(yyxxAB特别地：x/AB轴，则AB|21xx、y/AB轴，则AB|21yy。（ 2 ） 平行 线间 距 离： 若0:,0:2211CByAxlCByAxl，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载则：2

4、221BACCd。注意点： x，y 对应项系数应相等.（ 3）点到直线的距离：0CByAx:l),y,x(P，则P 到l 的距离为：22BACByAxd3直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种（1）若22BACBbAad，0相离rd；（2）0相切rd；（3）0相交rd。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组0022FEyDxyxCByAx求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2 个公共解时（直线与圆有2 个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1 个公共解时（直线与圆只有1 个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即

5、：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心 C 到直线 l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r0；相交d0；相离dr0。4两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1， r2，dOO21。条公切线外离421rrd；条公切线外切321rrd；条公切线相交22121rrdrr；条公切线内切121rrd；无公切线内含210rrd；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载外离外切相交内切内含判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决.

6、四 【典例解析】题型 1：直线间的位置关系例 1 （全国文15）已知圆 O：522yx和点 A（1，2） ，则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于【解析】 由题意可直接求出切线方程为y-2=21(x-1)，即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5 和25，所以所求面积为42552521。【答案】254【总结点评】 本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系等知识，数形结合与分类讨论的思想方法，以及定性地分析问题和解决问题的能力.（2）已知两条直线12:330,:4610.laxylxy若12/ll，则a_ _。解析： （ 1）答案：12； （2）2。点

7、评： （1）三点共线问题借助斜率来解决，只需保证ACABkk； （2）对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。例 2已知两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则a等于（）A2B1C0D1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载（2） （2007 安徽理， 7）若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy垂直，则l的方程为（）A430 xyB450 xyC430 xyD430 xy解析： （1） 答案为 D；（2） 与直线480 xy垂直的直线l为40 xym， 即4yx在某一点的导数为4，

8、而34yx，所以4yx在 (1 ， 1) 处导数为4，此点的切线为430 xy，故选 A。点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。题型 2：距离问题例 3将直线20 xy沿x轴向左平移1 个单位，所得直线与圆22240 xyxy相切，则实数的值为（）（A） 3 或 7 （B）2 或 8 （ C）0 或 10 （ D）1 或 11【思路点拨】 本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系，只要正确理解平移公式和直线与圆相切的充要条件就可解决.【正确解答】由题意可知：直线20 xy沿x轴向左平移1 个单位后的直线l为：2(1)0 xy.已知圆的圆心为(

9、 1,2)O，半径为5.解法 1：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有| 2( 1 1)2|55，得3或 7.解法2：设切点为( , )C x y，则切点满足2(1)0 xy，即2(1)yx，代入圆方程整理得：225(24 )(4)0 xx， （*）由直线与圆相切可知， （* ）方程只有一个解，因而有0，得3或 7.解法3：由直线与圆相切，可知COl，因而斜率相乘得1，即2211yx，又因为( ,)C x y在圆上，满足方程22240 xyxy，解得切点为(1,1)或(2,3)，又( , )C x y在直线2(1)0 xy上，解得3或 7.（2） （湖北文 14）过原点 O 作

10、圆 x2+y2-6x8y20=0 的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为。【解析】可得圆方程是22(3)(4)5xy又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得4PQ.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载例 4。 ( 圆、向量与三角函数)设 A、B为圆221xy上两点， O为坐标原点（ A、O、B不共线）（）求证：OAOBOAOB与垂直 .（）当3,(,),4445xOAxOBOA OB且时. 求sin的值 .解： （）由22| | 1|1OAOBOAOB得则221OAOB220OAOB()

11、()0OAOBOAOB则OAOBOAOB与垂直（）由(cos,sin)444xOAOA得又(cos ,sin)xOBOB由33coscossinsin5445OA OB得即3cos()4540sin()444245sinsin()sincos()cossin()444444 =23242252510点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了精选学习资料 - -

12、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度. 题型 3：直线与圆的位置关系例 5 （2009 江苏卷 18） （本小题满分16 分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆221:(3)(1)4Cxy和圆222:(4)(5)4Cxy. （1）若直线l过点(4,0)A，且被圆1C截得的弦长为2 3，求直线l的方程；（2）设 P为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l和2l，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相

13、等，试求所有满足条件的点P的坐标 . 解(1)设直线l的方程为：(4)yk x，即40kxyk由垂径定理，得：圆心1C到直线l的距离222 34()12d，结合点到直线距离公式，得：2|314 |1,1kkk化简得：272470,0,24kkkor k求直线l的方程为：0y或7(4)24yx，即0y或724280 xy(2) 设点 P坐标为(, )m n，直线1l、2l的方程分别为：1(),()ynk xmynxmk，即：110,0kxynkmxynmkk因为直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得： ：圆心1C到直线1l与2C直线2l的距离相等

14、。故有：2241|5| 31|111nmknkmkkkk，化简得：(2)3,(8)5mn kmnmnkmn或关于k的方程有无穷多解，有：20,30mnmnm-n+8=0或m+n-5=0解之得：点P坐标为3 13(,)22或51(,)22。例 6已知圆M： （xcos ）2（ ysin ）21，直线 l：ykx，下面四个命题：（A）对任意实数k 与 ，直线 l 和圆 M 相切；（B）对任意实数k 与 ，直线 l 和圆 M 有公共点；（C）对任意实数，必存在实数k，使得直线l 与和圆 M 相切；（D）对任意实数k，必存在实数，使得直线l 与和圆 M 相切 . 其中真命题的代号是_（写出所有真命题的

15、代号）解析：圆心坐标为（cos ，sin ）d222|k cossin|1k |sin|1k1k|sin|1（ ）（ ）故选（ B） （D）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。题型 4：直线与圆综合问题例 7 （江西理16） 设直线系:cos(2)sin1(02 )Mxy,对于下列四个命题：AM中所有直线均经过一个定点B存在定点P不在M中的任一条直线上C对于任意整数(3)n n，存在正n边形 ,其所有边均在M中的直线上DM中的直线所能围成的正三角形

16、面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）【 解 析 】 因 为c o s(2 ) s i nxy所 以 点( 0 , 2 )P到M中 每 条 直 线 的 距 离2211cossind即M为圆C:22(2)1xy的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以 A 错误；又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以 B正确；对任意3n,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故 D 错误 , 故命题中正确的序号是B,C. 【答案】,B C例 8 （江西理16） 设直线系:cos(2)sin1(02 )Mxy,对于下列四个命题：AM中

17、所有直线均经过一个定点B存在定点P不在M中的任一条直线上C对于任意整数(3)n n，存在正n边形 ,其所有边均在M中的直线上DM中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）【 解 析 】 因 为c o s(2 ) s i nxy所 以 点( 0 , 2 )P到M中 每 条 直 线 的 距 离2211cossind即M为圆C:22(2)1xy的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以 A 错误；又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以 B正确；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 1

18、3 页学习必备欢迎下载对任意3n,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故 D 错误 , 故命题中正确的序号是B,C. 【答案】,B C例 9 （江西理16） 设直线系:cos(2)sin1(02 )Mxy,对于下列四个命题：AM中所有直线均经过一个定点B存在定点P不在M中的任一条直线上C对于任意整数(3)n n，存在正n边形 ,其所有边均在M中的直线上DM中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）【 解 析 】 因 为c o s(2 ) s i nxy所 以 点( 0 , 2 )P到M中 每 条 直 线

19、的 距 离2211cossind即M为圆C:22(2)1xy的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以 A 错误；又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以 B正确；对任意3n,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故 D 错误 , 故命题中正确的序号是B,C. 【答案】,B C例 10已知函数f(x)=x21(x1)的图像为C1，曲线 C2与 C1关于直线y=x 对称。（ 1）求曲线C2的方程 y=g(x)；（ 2）设函数y=g(x)的定义域为M，x1，x2M，且 x1 x2，求证 |g(x1)g(x2)| x1 x2|; （ 3

20、）设 A、B为曲线 C2上任意不同两点，证明直线AB 与直线 y=x 必相交。解析： （ 1）曲线 C1和 C2关于直线y=x 对称，则g(x)为 f(x)的反函数。y=x21， x2=y+1，又 x1， x=1y，则曲线C2的方程为g(x)= 1x(x0)。（2）设 x1，x2M，且 x1 x2，则 x1x20。又 x10， x2 0，|g(x1) g(x2)|=| 11x12x|=112121xxxx221xx| x1x2| 。（3）设 A(x1，y1)、B（x2，y2）为曲线C2上任意不同两点，x1，x2M，且 x1x2，由（ 2）知， |kAB|=|2121xxyy|=|)()(|21

21、21xxxgxg1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载直线 AB 的斜率 |kAB| 1，又直线y=x 的斜率为1，直线AB与直线 y=x 必相交。点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系 . 题型 6：轨迹问题例 11 已知动圆过定点,02p， 且与直线2px相切，其中0p。（I ）求动圆圆心C的轨迹的方程；（II ）设 A、B 是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当,变化且为定值(0)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定

22、点的坐标。解析： （I ）如图，设M为动圆圆心，,02p为记为F，过点M作直线2px的垂线，垂足为N，由题意知：MFMN即动点M到定点F与定直线2px的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中,02pF为焦点，2px为准线，所以轨迹方程为22(0)ypx P；（II ）如图， 设1122,A x yB xy，由题意得12xx（否则）且12,0 x x所以直线AB的斜率存在， 设其方程为ykxb，显然221212,22yyxxpp，将yk x b与22(0)ypx P联立消去x，得2220k yp yp b由韦达定理知121222,ppbyyyykk（1）当2时，即2时，tantan

23、1所以121212121,0yyx xy yxx，221212204y yy yp所以2124y yp由知：224pbpk所以。因此直线AB的方程可表示为2ykxPk，即(2 )0k xPy，所以直线AB恒过定点2 ,0p。yAxoB,02pFMN2px精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载（2）当2时，由，得tantan()=tantan1tantan=122122 ()4p yyy yp，将式代入上式整理化简可得：2tan2pbpk，所以22tanpbpk，此时， 直线AB的方程可表示为ykx22t

24、anppk即2(2 )0tanpk xpy，所以直线AB恒过定点22 ,tanpp。所以由 （1） （2）知，当2时，直线AB恒过定点2 ,0p，当2时直线AB恒过定点22 ,tanpp。点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。例 12 如图， 圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O. 过动点P分别作圆2O 、 圆2O 的切线 PMPN，（ MN，分别为切点） ，使得2PMPN . 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程 .解析：以12O O 的中点O为原点，12O O 所在直线为 x 轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 ，

25、 则1( 2 0)O， ，2(2 0)O，。由已知2PMPN ，得222PMPN。因为两圆半径均为1，所以221212(1)POPO。设()P xy，则2222(2)12(2)1xyxy，即22(6)33xy( 或221230 xyx) 。点评：本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力. 题型 7：课标创新题例 13已知实数x、 y 满足1)1()2(22yx，求xyz1的最大值与最小值。解析：xy1表示过点A （ 0，1）和圆1)1()2(22yx上的动点（ x， y）的直线的斜率。如下图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值精选学习资料 - - - - - - - - -

26、名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载和最小值 . 设切线方程为1kxy，即01ykx，则11|22|2kk，解得374k。因此，374374minmaxzz，点评： 直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用. 例 14设双曲线xy1的两支分别为CC12、，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上。若P11，在C2上， Q、R 在C1上，求顶点Q、R 的坐标 . 分析：正三角形PQR中，有PQPRQR， 则以P11，为圆心，PR为半径的圆与双曲线交于R、Q

27、两点。根据两曲线方程可求出交点Q、R坐标 . 解析：设以P为圆心，PRr r ()0为半径的圆的方程为：xyr11222，由xyrxy111222得：xrx221110。（其中，可令txx1进行换元解之）设 Q、R 两点的坐标分别为xyxy1122，则xxrx x122121 11。即xxxxx xr12212212224114，同理可得：yyr12222114，且 因 为 PQR 是 正 三 角 形 ， 则222rQRPQ，即rxxyyr2122122222114，得r224。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页

28、学习必备欢迎下载代入方程xrx221110，即xx2410。由方程组xxxy24101，得：xy112323或xy222323，所以，所求Q、 R的坐标分别为23232323，点评： 圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用. 五 【思维总结】1关于直线对称问题：（1）关于l ：Ax By C 0 对称问题：不论点，直线与曲线关于l 对称问题总可以转化为点关于l 对称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求P（x0，y0）关于l ： Ax By C 0 对称点 Q （

29、x1， y1） 有1010 xxyyBA（ 1） 与 A210 xxB210yyC 0。（2）解出 x1与 y1；若求 C1：曲线 f（x ，y） 0（包括直线）关于l ：Ax By C10 对称的曲线C2，由上面的 （1） 、 （2）中求出 x0g1（x1，y1）与 y0g2（x1，y1） ，然后代入C1：f g1（x1，y1） ，g2（x2，y2）0，就得到关于l 对称的曲线C2方程： f g1（x ，y） ，g2（x ，y）0。（3）若 l ：Ax By C 0 中的 x ， y 项系数 | A| 1，| B | 1就可以用直接代入解之，尤其是选择填空题。如曲线 C1： y24 x 2

30、关于 l ： x y 40 对称的曲线l2的方程为： (x 4) 24（y 4） 2即 y 用 x 4 代， x 用 y 4 代，这样就比较简单了. （4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决. 点与圆位置关系：P（ x0，y0）和圆 C ：(x a) 2(y b) 2r2。点 P 在圆 C 外有 (x0a) 2(y0 b) 2r2；点 P 在圆上： (x0a) 2(y0b) 2r2；点 P 在圆内： (x0a) 2(y0b) 2r2。3直线与圆的位置关系：l ：f1（x ，y） 0圆 C ：f2（x ，y） 0 消 y 得 F（ x2）0。（1）直线与圆相交：F（x ，y） 0

31、 中 0；或圆心到直线距离d r 。直 线 与 圆 相 交 的 相 关 问 题 ： 弦 长 | AB|21k | x1 x2|21k212214)(xxxx，或| AB| 222dr；弦中点坐标 （221xx，221yy） ；弦中点轨迹方程。（2）直线与圆相切： F （x）0 中0，或 d r 其相关问题是切线方程如 P （ x0，y0）是圆 x2 y2r2上的点，过P 的切线方程为x0 x y0y r2，其二是圆外点P（x0，y0）向圆到两条切线的切线长为22020)()(rbyax或22020ryx；其三是P（x0，y0）为圆 x2y2r2外一点引两条切线，有两个切点A ，B ，过 A ，

32、B 的直线方程为 x0 x y0y r2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载（3）直线与圆相离：F（x） 0 中0；或 d r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值，设 Q 为圆 C ：(x a) 2(y b) 2r2上任一点， | PQ|max| PC | r ；| PQ|min| PQ| r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值4圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距| O1O2| 与两半径r1，r2的和差关系判定（1）设 O1圆心 O1，半径 r1， O2圆心 O2，半

33、径 r2则：当 r1r2| O1O2| 时 O1与 O2外切；当 | r1r2| | O1O2| 时，两圆相切；当| r1r2| | O1O2| r1r2时两圆相交； 当 | r1r2| | O1O2| 时两圆内含； 当 r1r2| O1O2| 时两圆外离 . （2）设 O1：x2y2D1x E1y F10，O2：x2y2D2x E2y F2 0。两圆相交A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D1D2）x （ E1E2） y F1F20；经过两圆的交点的圆系方程为x2y2 D1x E1y F1 （ x2y2D2x E2yF2） 0（不包括 O2方程） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页