2022年高考数学专题复习——导数 .pdf

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1、2016 年高考数学专题复习导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之别离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页导数运用中常见结论(1) 曲线( )yf x在0 xx处的切线的斜率等于0()fx，且切线方程为000()()()yfx

2、xxf x。(2) 假设可导函数( )yf x在0 xx处取得极值，则0()0fx。反之，不成立。(3) 对于可导函数( )f x，不等式( )fx00（）的解集决定函数( )f x的递增减区间。(4) 函数( )f x在区间 I 上递增减的充要条件是：xI( )fx0(0)恒成立( )fx不恒为 0. (5) 函数( )f x非常量函数在区间I 上不单调等价于( )f x在区间I 上有极值，则可等价转化为方程( )0fx在区间I 上有实根且为非二重根。假设( )fx为二次函数且I=R ，则有0 。(6)( )fx在区间I 上无极值等价于( )fx在区间在上是单调函数，进而得到( )fx0或(

3、 )fx0在 I 上恒成立(7) 假设xI，( )f x0恒成立，则min( )f x0; 假设xI，( )f x0恒成立，则max( )f x0(8) 假设0 xI，使得0()f x0，则max( )f x0；假设0 xI，使得0()f x0，则min( )f x0. (9) 设( )f x与( )g x的定义域的交集为D，假设xD ( )( )f xg x恒成立，则有min( )( )0f xg x. (10) 假设对11xI、22xI，12()()f xg x恒成立，则minmax( )( )f xg x. 假设对11xI，22xI，使得12()()fxg x,则minmin( )( )

4、f xg x. 假设对11xI，22xI，使得12()()fxg x，则maxmax( )( )f xg x. 11 已知( )f x在区间1I上的值域为A,，( )g x在区间2I上值域为B，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页假设对11xI,22xI，使得1()f x=2()g x成立，则AB。(12) 假设三次函数f(x) 有三个零点， 则方程( )0fx有两个不等实根12xx、，且极大值大于0，极小值小于0. (13) 证题中常用的不等式: ln1 (0)xxxln+1(1)xx x（） 1xex 1xex

5、ln1(1)12xxxx 22ln11(0)22xxxx sinxx (0 x ) lnxx0) 1xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页一、有关切线的相关问题例题、 【2015 高考新课标1，理 21】已知函数fx=31,( )ln4xaxg xx. ()当 a 为何值时， x 轴为曲线( )yf x的切线；【答案】34a跟踪练习：1、【2011 高考新课标1， 理 21】已知函数ln( )1axbfxxx， 曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy。求a、 b的值；解： 221(ln )(

6、 )(1)xxbxfxxx由于直线230 xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1) 1,1(1),2ff即1,1,22bab解得1a，1b。2、(2013 课标全国，理 21)设函数 f ( x) x2axb，g( x) ex( cxd) 假设曲线 yf ( x) 和曲线 yg(x) 都过点 P(0,2) ，且在点 P处有相同的切线 y4x2. (1) 求a，b，c，d的值；解：(1) 由已知得 f (0) 2，g(0) 2，f (0) 4，g(0) 4. 而 f (x) 2xa，g(x) ex( cxdc) ，故 b2，d2，a4，dc4. 从而 a4，b2，c2，d2. 精选学习资料

7、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页3、 (2014 课标全国， 理 21)设函数1( 0lnxxbef xaexx，曲线( )yf x在点1，(1)f处的切线为(1)2ye x. ( ) 求,a b；【解析】：() 函数( )f x的定义域为0,，112( )lnxxxxabbfxaexeeexxx由题意可得(1)2,(1)ffe，故1,2ab 6 分二、导数单调性、极值、最值的直接应用一单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论例题：【2015 高考江苏， 19】已知函数),()(23Rbabaxxxf. 1试讨论)(xf的单

8、调性；【答案】1当0a时，fx在,上单调递增；当0a时，fx在2,3a，0,上单调递增，在2,03a上单调递减；当0a时，fx在,0，2,3a上单调递增，在20,3a上单调递减当0a时，2,0,3ax时，0fx，20,3ax时，0fx，所以函数fx在,0，2,3a上单调递增，在20,3a上单调递减精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页练习： 1、已知函数1( )ln1af xxaxx()aR. 当12a时，讨论( )f x的单调性；答案：1( )ln1(0)af xxaxxx，222l11( )(0)aaxxafxax

9、xxx令2( )1(0)h xaxxa x当0a时，( )1(0)h xxx， 当(0,1), ( )0,( )0 xh xfx, 函数( )f x单调递减；当(1,), ( )0,( )0 xh xfx，函数( )f x单调递增 . 当0a时，由( )0fx，即210axxa，解得1211,1xxa. 当12a时12xx，( )0h x恒成立，此时( )0fx，函数( )fx单调递减；当102a时，1110a,(0,1)x时( )0,( )0h xfx，函数( )f x单调递减；1(1,1)xa时，( )0,( )0h xfx，函数( )f x单调递增；1(1,)xa时，( )0,( )0h

10、 xfx，函数( )f x单调递减 . 当0a时110a，当(0,1), ( )0,( )0 xh xfx, 函数( )f x单调递减；当(1,), ( )0,( )0 xh xfx，函数( )f x单调递增 . 综上所述：当0a时，函数( )f x在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；当12a时12xx,( )0h x恒成立 , 此时( )0fx，函数( )f x在(0,)单调递减；当102a时, 函数( )f x在(0,1)递减 ,1(1,1)a递增 ,1(1,)a递减 . 2、已知 a 为实数，函数( )(1)exf xax，函数1( )1g xax，令函数( )( )( )F xf

11、xg x 当0a时，求函数( )F x的单调区间解：函数1( )e1xaxF xax，定义域为1x xa当0a时，222222221()21( )ee(1)(1)xxaaxa xaaFxaxax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页令( )0Fx，得2221axa9 分当210a，即12a时，( )0Fx当12a时，函数( )F x 的单调减区间为1(,)a，1(,)a11 分当102a时，解2221axa得122121,aaxxaa121aaa，令( )0Fx，得1(,)xa，11(,)xxa，2(,)xx；令( )

12、0Fx，得12(,)xxx13 分 当102a时 ， 函 数( )F x的 单 调 减 区 间 为1(,)a，121(,)aaa，21(,)aa；函数( )F x 单调增区间为2121(,)aaaa 15 分当210a，即12a时，由 2知，函数( )F x 的单调减区间为(, 2) 及( 2,)2、根据判别式进行讨论例题：【2015 高考四川，理21】已知函数22( )2()ln22f xxaxxaxaa，其中0a. 1设( )g x是( )f x的导函数，评论( )g x的单调性；【答案】1当104a时，( )g x在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(

13、,)22aa上单调递减；当14a时，( )g x在区间(0,)上单调递增. 【解析】1由已知，函数( )f x的定义域为(0,)，( )( )222ln2(1)ag xfxxaxx，所以222112()2()2224( )2xaag xxxx. 当104a时，( )g x在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页在区间114114(,)22aa上单调递减；当14a时，( )g x在区间(0,)上单调递增 . 练习：已知函数( )lnaf xxxx，aR1求函数( )f

14、x的单调区间；解：函数( )f x 的定义域为 (0,) 2221( )1axxafxxxx令( )0fx，得20 xxa，记14a当14a时，( )0fx，所以( )f x 单调减区间为(0,) ； 5 分当14a时，由( )0fx得12114114,22aaxx，假设104a，则120 xx，由( )0fx，得20 xx ，1xx ；由( )0fx，得21xxx 所以，( )f x 的单调减区间为114(0,)2a，114(,)2a，单调增区间为114114(,)22aa；7 分假设0a，由 1知( )f x 单调增区间为(0,1) ，单调减区间为(1,) ；假设0a，则120 xx ，由

15、( )0fx，得1xx ；由( )0fx，得10 xx ( )f x 的单调减区间为114(,)2a，单调增区间为114(0,)2a 9 分综上所述：当14a时，( )f x 的单调减区间为(0,) ；当104a时，( )f x 的单调减区间为114(0,)2a，114(,)2a，单调增区间为114114(,)22aa；当0a时 ，( )f x单 调 减 区 间 为114(,)2a， 单 调 增 区 间 为114(0,)2a10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页2. 已知函数1( )()2ln()f xa xx

16、 axR求函数( )fx 的单调区间；解：函数的定义域为0,，222122( )(1)axxafxaxxx 1 分1当0a时，2( )20h xaxxa在(0,)上恒成立，则( )0fx在(0,)上恒成立，此时( )f x 在(0,)上单调递减 4 分2当0a时，244a，假设01a，由( )0fx，即( )0h x，得211axa或211 axa； 5 分由( )0fx，即( )0h x，得221111aaxaa6 分所以函数( )f x 的单调递增区间为211(0,)aa和211(,)aa，单调递减区间为221111(,)aaaa7 分假设1a，( )0h x在(0,)上恒成立，则( )0

17、fx在(0,)上恒成立，此时( )f x在(0,)上单调递增3、含绝对值的函数单调性讨论例题：已知函数( )lnf xx xax. 1假设 a=1，求函数( )f x在区间1, e的最大值 ; 2求函数( )fx的单调区间；3假设( )0f x恒成立，求a 的取值范围解： 1假设 a=1, 则( )1lnf xx xx当1, xe时 , 2( )lnf xxxx,2121( )210 xxfxxxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页所以( )fx在1, e上单调增 , 2max( )( )1f xf eee. 2

18、 分 2由于( )lnf xx xax，(0,)x当0a时，则2( )lnf xxaxx，2121( )2xaxfxxaxx，令( )0fx，得20804aax负根舍去 ，且当0(0,)xx时，( )0fx；当0(,)xx时，( )0fx，所以( )fx在28(0,)4aa上单调减，在28(,)4aa上单调增 . 4 分当0a时，当xa时，2121( )2xaxfxxaxx, 令( )0fx，得2184aax284aaxa舍 ，假设284aaa，即1a, 则( )0fx，所以( )f x在( ,)a上单调增；假设284aaa， 即01a, 则当1(0,)xx时，( )0fx； 当1(,)xx时

19、，( )0fx，所以( )f x在区间28(0,)4aa上是单调减，在28(,)4aa上单调增. 6 分当0 xa时, 2121( )2xaxfxxaxx, 令( )0fx，得2210 xax，记28a，假设280a，即022a, 则( )0fx，故( )f x在(0, )a上单调减；假设280a，即22a, 则由( )0fx得2384aax，2484aax且340 xxa，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页当3(0,)xx时，( )0fx；当34(,)xx x时，( )0fx；当4(,)xx时，( )0fx，所

20、以( )f x在区间28(0,)4aa上是单调减，在2288(,)44aaaa上单调增；在28(,)4aa上单调减 . 8 分综上所述，当1a时,( )f x单调递减区间是28(0,)4aa，( )f x单调递增区间是28(,)4aa；当122a时, ( )fx单调递减区间是(0, )a，( )f x单调的递增区间是( ,)a；当2 2a时, ( )f x单调递减区间是(0, 284aa)和28(, )4aaa，( )f x单调的递增区间是2288(,)44aaaa和( ,)a. 10 分3函数( )f x的定义域为(0,)x由( )0f x，得ln xxax* 当(0,1)x时，0 xa ，

21、ln0 xx，不等式 * 恒成立，所以Ra；当1x时， 10a ，ln0 xx，所以1a； 12 分当1x时，不等式 *恒成立等价于ln xaxx恒成立或ln xaxx恒成立令ln( )xh xxx，则221ln( )xxh xx因为1x，所以( )0h x，从而( )1h x因为ln xaxx恒成立等价于min( ( )ah x，所以1a令ln( )xg xxx，则221ln( )xxg xx再令2( )1lne xxx ，则1( )20e xxx在(1,)x上恒成立，( )e x 在(1,)x上无最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

22、-第 11 页，共 19 页综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)16 分2设a为实数，函数2( )|f xx xa2求函数( )f x的单调区间4、分奇数还是偶数进行讨论例题：【2015 高考天津，理20 已知函数( )n,nf xxxxR，其中*n,n2N. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页(I)讨论( )f x的单调性；【答案】 (I) 当n为奇数时，( )f x在(, 1)，(1,)上单调递减， 在( 1,1)内单调递增；当n为偶数时，( )fx在(, 1)上单调递增，( )f x在(1,)上单调

23、递减 . (II) 见解析； (III)见解析 . (2)当n为偶数时，当( )0fx，即1x时，函数( )f x单调递增；当( )0fx，即1x时，函数( )f x单调递减 . 所以，( )f x在(, 1)上单调递增，( )f x在(1,)上单调递减 . 5、已知单调区间求参数范围例题：14 年全国大纲卷文函数f(x)=ax3+3x2+3x(a0). 1讨论函数f(x)的单调性；2假设函数f(x)在区间 1，2是增函数，求a 的取值范围 . 解： 12( )363fxaxx，2( )3630fxaxx的判别式 =361-a. i假设 a1，则( )0fx，且( )0fx当且仅当a=1，x=

24、-1，故此时fx在 R 上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页是增函数 . ii 由于 a0，故当 a1 时，( )0fx有两个根：121111,aaxxaa，假设 0a0，x0 时, ( )0fx，所以当a0 时， fx在区间 1，2是增函数 . 假设a0 时， fx在区间 1,2是增函数当且仅当(1)0f且(2)0f，解得504a. 综上， a 的取值范围是5,0)(0,)4. 二、极值一判断有无极值以及极值点个数问题例题：【2015 高考山东，理21】设函数2ln1fxxa xx，其中aR. 讨论函数fx极值

25、点的个数，并说明理由；2当0a时，28198aaaaa当809a时，0，0g x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页所以，0fx，函数fx在1,上单调递增无极值；当89a时，0设方程2210axaxa的两根为1212,(),x xxx因为1212xx所以，1211,44xx由110g可得：111,4x所以，当11,xx时，0,0g xfx，函数fx单调递增；当12,xx x时，0,0g xfx，函数fx单调递减；当2,xx时，0,0g xfx，函数fx单调递增；因此函数fx有两个极值点3当0a时，0由110g可得：

26、11,x当21,xx时，0,0g xfx，函数fx单调递增；当2,xx时，0,0g xfx，函数fx单调递减；因此函数fx有一个极值点综上：当0a时，函数fx在1,上有唯一极值点；当809a时，函数fx在1,上无极值点；当89a时，函数fx在1,上有两个极值点；例题：【2015 高考安徽，理21】设函数2( )f xxaxb. 讨论函数(sin)fx在(,)22内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；【解析】2(sin )sinsinsin (sin)fxxaxbxxab，22x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共

27、19 页(sin)(2sin) cosfxxax，22x. 因为22x，所以cos0, 22sin2xx. 当2,abR时，函数(sin)fx单调递增，无极值. 当2,abR时，函数(sin)fx单调递减，无极值. 当22a，在(,)2 2内存在唯一的0 x，使得02sin xa. 02xx时，函数(sin)fx单调递减；02xx时，函数(sin)fx单调递增 . 因此，22a，bR时，函数(sin)fx在0 x处有极小值20(sin)( )24aafxfb. （二）已知极值点个数求参数范围例题： 【14年山东卷理 】设函数)ln2(2xxkxexfxk为常数，2.71828e是自然对数的底数

28、I当0k时，求函数fx的单调区间；II 假设函数fx在0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页）。的取值范围为（综上则）令（单调递增。时，当单调递减；时，当则令时，当）解：（2,:1ln0lnln2022, 0)2(01)0(,01)0(ln,)(2)(),2()()2 ,0(2, 0)(0e0,kx0k)0()(2()12(2)(12ln222x3242eeeekkkkekgekkegkeggkgkxkekexgkxexgxfxxfxxxfkxxxkxexxxkxxexexf

29、kxxxxxx练习： 1、 【2014年天津卷理】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页2、2014 湖南本小题总分值13 分已知常数0a，函数2( )ln(1)2xf xaxx. 讨论( )f x在区间(0,)上的单调性；假设( )f x存在两个极值点12,x x，且12()()0f xf x，求a 的取值范围 . 【解析】 2412afxaxx2224 112a xaxaxx224112axaaxx, *因为2120axx,所以当10a时, 当1a时,0fx,此时，函数fx在0,单调递增 , 当01a时, 121

30、102,2aafxxxaa舍去，当1(0,)xx时，0fx；当1(,)xx时，0fx. 故fx在区间1(0,)x单调递减 ,在1(,)x单调递增的 . 综上所述当1a时,0fx,此时，函数fx在0,单调递增 , 当01a时, fx在区间10,2aa上单调递减 ,在12aa上单调递增的. 由 * 式知，当1a时，0fx函数fx不存在极值点， 因而要使得fx有 两 个 极 值 点 ， 必 有01a， 又fx的 极 值 点 只 可 能 是112axa和212axa，且由fx的定义可知，1xa且2x，所以112aaa，122aa，解得12a，此时，* 式知1x,2x分别是fx的极小值点和极大值点，而1

31、212121222()()ln(1)ln(1)22xxf xf xaxaxxx121221212121244ln 1224x xxxa xxa x xx xxx22412ln 21ln 2122121aaaaa令21ax，由01a且12a知当102a时,10;x当112a时 ,01.x记22( )ln2g xxx当10 x时，2( )2ln2g xxx，所以222222( )xg xxxx因此，( )g x在1,0上单调递减，从而( )( 1)40g xg，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页故当102a时，12()()0f xf x当01x时，2( )2ln2g xxx，所以222222( )xg xxxx因此，( )g x在0,1上单调递减，从而( )(1)0g xg，故当112a时，12()()0f xf x综上所述，满足条件的a的取值范围是为1,12. 【考点定位 】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式. 三最值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页