2022年高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结 .pdf

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1、名师精编欢迎下载高考数学圆锥曲线重要结论一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0）， F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a 的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。第二定义：平面内到一个定点F 的距离与到定直线1 的距离比为常数e（0e1）的点的轨迹，定点叫椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线；引申定义 :若一个圆C1内含于另一个圆C2，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。

2、过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m 的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。（ -1m0 时，焦点在x 轴上；当m-1 时，焦点在y 轴上）例：过点（ -8，0），（ 8，0）的两直线11，12的斜率之积为 -3/8，求其交点的轨迹。将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的m 倍，该圆变成椭圆；连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x 轴的垂线，则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。对应练习：

3、在椭圆上任一点M 与焦点 F1F2构成 MF1F2，I 为该三角形的内心，连MI 交长轴于N 点，则 MI/IN 的值为多少？若过点 P 作 F1PF2的平分线交过点F1作其平分线的垂线于M,交 PF2于 N 点,则有 PF1=PN,所以有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页名师精编欢迎下载在椭圆上任一点P 求:的最大值 (a2-c2),PF1 PF2的最大值 a2,点 P 到对应顶点的最短距离为a-c. 若在椭圆内部有一点M，要求作一点P 使该点到右焦点F 的距离与到该定点的距离和最小。则应连接 M 与左焦点 F，

4、由|MF|+|MP|+|PF|PF|+|PF|=2a,当 P,M,F 在同一条直线上时距离最小 .最小距离为2a-|MF|. 二、椭圆的标准方程：(略) P（x1，y1）为椭圆上任点则焦半径（椭圆上任一点与焦点之间的线段长）为：|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex2；从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆反射后会经过另一个焦点。(8)离心率的求解可根据具体情况对相关线段整体设置,也可以进行坐标设置. 对应小题题例 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页名师精编欢迎下载当 m+nb）作垂直于x 轴的直线炮大圆于第一

5、象限办点A，OA 交小圆于点B,设直线 BF 是小圆的切线。证明： c2=ab，并求直线BF 与 y 轴的交点 M 的坐标；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页名师精编欢迎下载解：由题设条件知：RtOFARtOBF 直线 BF 与 y 轴的交点 . 直线 BF 与 y 轴交点为（ 0，a）点为 M（0,a）（ b2+a2k2）x2 +2a3kx+a4-a2b2=0 由消去 x 整理得：（ b2+a2k2）y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0 注意到： a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2 例已知椭圆的中

6、心为坐标原点O,焦点在 x 轴上 ,斜率为 1,且过右焦点F 交椭圆于 A,B 两点，+ 与=（3，-1)共线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页名师精编欢迎下载求椭圆的离心率：设 M 为椭圆上任意一点，且= +（ ， R）由+=（x1+x2，y1+y2）,=（3，1）且+与共线得： 3（y1+y2-2c）+（x1+x2）=0，又 y1=x1-c，y2=x2-c。由知 a2=3b2椭圆方程为：x2+3y2=3b2，设=（x，y）由已知（ x，y）= （x1，y1）+ （x2，y2）又 x21+3y21=3b2x22

7、+3y22=3b2代入得2+2=1 故所求为定值。双曲线 : 一、概念：第一定义：到两定点F1（-c，0）、F2（c，0）的距离差为定值2a（小于两定点的距离）的点的轨迹叫做双曲线。两定点叫做双曲线的焦点，两点间的距离叫做焦距。引申定义：与两个相离的非等定圆均外切的圆的圆心的轨迹为以这两定型圆圆心连线为实轴的双曲线的一支 ; 过两定点且相交的两条直线的斜率之积为正常数的点的轨迹（两定点除外）为双曲线。圆外一定点与圆上任意一点连线的垂直平分线和圆心与圆上动点连线的交点的轨迹为双曲线。圆半径为双曲线的实轴长，圆心与定点(为焦点 )间的距离为焦距长。精选学习资料 - - - - - - - - -

8、名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页名师精编欢迎下载二、标准方程：(略)三、相关运算：注意直线是交在双曲线的同一支上还是交在两支上，特别是焦点弦交在同一支上，最短弦是垂直于过焦点焦半径公式：P（x0，y0）为双曲线右支上一点，与左右焦点之间的线段为焦半径。|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a 若点 P 在左支上时 ,|PF1|=-ex0-a,|PF2|=-ex0+a. A.内切B.外切C.内切或外切D.外切或相交在证明或解答相关双曲线的问题时，要注意运用设而不求的点差法。如直线y=kx+m，若焦点在x 轴上的精选学习资料 - - - - - - - - -

9、 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页名师精编欢迎下载如果在进行直线与双曲线的相关求解时，若直线斜率需要考虑不存在时，可设直线为x=my+c 的形式，只不过这样求出的直线的斜率与所求的直线的斜率呈负倒数关系，若是求的范围， amb，则所求的直线的斜率为1/bk0) 的 左 右 顶 点 分 别 是A,B, 双 曲 线 在 第 一 象 限 的 图 象 上 有 一 点P,PAB= , PBA= , APB= , 试确定三个角之间的关系. 双曲线上任一点到焦点的距离大于等于焦点到对应顶点的距离.即 dc -a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

10、结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页名师精编欢迎下载若在双曲线外部有一点P,要在双曲线上求作一点M,使该点到 P 点与到对应焦点的距离之和最小 .其主要方法 :过点 P 作准线的垂线与双曲线的交点就是所求作的点. 小题题例 :A,F 分别是双曲线9x2-3y2=1 的左顶点和右焦点,P 是双曲线右支上任一点,若PFA= PAF,则 = 2 .(特值检验通径 ) A. B.2 C. D. C 设 e1,e2分别为有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率,p 为两曲线的一个公共点且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1

11、2 页，共 16 页名师精编欢迎下载右准线 l:x=1/2,|AF|=3, 过 F 作直线交双曲线右支于P,Q 两点,延长 PB 交右准线 l 于 M 点。求双曲线的方程；若=-17，求 PBQ 的面积 S；若=，（ 0, -1),问是否存在实数=f （ ）的左右焦点，使得=,若存在，求出=f （ ）表达式，否则说明理由（题中=及所求 =f （ ）其实都是两点P，Q 之间的关系，故首当其冲就是求出两点的坐标之间的关系）注：在求解与证明与圆锥曲线相关的问题时，如果是直线与圆锥曲线相交的问题时一定要注意该直线斜率是否存在的问题，应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当然有时也将该直线设成x=my+

12、n 的形式，但要注意求解后对相关斜率的对应处理，即式中的m 与所求的斜率为负倒数关系；同时也要注意对图中相关面积的处理，尽量用较简化的方式处理，如利用题中相关线段的互相垂直关系，这时常常要利用某个三角形是由两个三角形组成的公共底来处理以简化运算。对相关点的处理：主要有两种，利用向量的关系；利用点差法处理。例（成都市07 第二次毕业诊断性测试22）如图 ,与抛物线 x2=-4y 相切于 A（-4,-4）的（理）求中切点T 到直线 PQ 的距离的最小值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页名师精编欢迎下载抛物线一、概念

13、：平面内与定点F 的距离和一定直线的距离相等的点的轨迹。定点为焦点,定直线为准线 ;与圆锥曲线的第二定义:到一定点与一定直线的距离比为定值(1)的点的轨迹 .即 离心率为 1. 注意 :不能把抛物线看成双曲线的一支,它们是有本质区别的:当抛物线上的点趋于无穷大时,曲线 上点的切线趋近于和对称轴平行 ;而双曲线上的切线趋近于与渐近线平行. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页名师精编欢迎下载e:设 AB的中点为 M,过 M作 MMl, 连结 AM,BM,MF.则 AM平分 AAB,BM 平分 ABB, AMB=90,

14、MF AMB( MBB MFB). 故以 AB为直径的圆必与准线相切。 f:焦点在 x 轴上的抛物线y2=2px(p0) 时, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 设过 AB的直线为 l; 其斜率为k, 则AF 与 AM,BF 与 BM 均交于一点 .故有：以 AB 为直径的圆与准线相切，以AB 为直径的圆与AB 相切 ,以 AF 为直径的圆与x 轴相切 ,以 BF 为直径的圆与x 轴相切 . 例:过定点 A(0,2) 作与抛物线y2=2x 只有一个公共点的直线,共几条 ? 当 x=0 时,即斜率不存在时,符合题意 , g:最值问题 :利用抛物线的定义进行转化: h:过抛物线的焦点弦的两

15、端点作抛物线的切线,其交点的轨迹是该抛物线的准线; 例定长为3 的线段 AB 端点在 y2=x 上移动 ,求 AB 中点到 y 轴的最小距离 ,并求出 M 的坐标 .(本题只需转化成A,B 两点横坐标最小即可,即到准确性线的距离之和) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页名师精编欢迎下载建立目标函数 : 为 y=x2上一动弦 ,且|AB|=a(0a0）上任一弦 ,F 为抛物线的焦点 ,1 为准确性线 ,m 为过 A 点且以=(0,-1)为方向向量的直线. 若以 A 为切点的抛物线的切线1 与 y 轴交于 C 点,求证 :|AF|=|CF|; 若*+p2=0,(A,B 异于原点 )直线 OB 与 m相交于点P,求点 P 的轨迹方程 ; 若 AB 为焦点弦分别过A,B 的抛物线的两条切线相交于点T,求证 :AT BT, 且点 Tl. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页